Kepler'in gezegen hareketinin üç kanunu. Kepler'in yasaları. Kozmik hızlar

Elipsin şekli ve daireye benzerlik derecesi aşağıdaki ilişki ile karakterize edilir: C- elipsin merkezinden odağına kadar olan mesafe (odaklar arası mesafenin yarısı), A- ana yarı eksen. Büyüklük e elipsin dışmerkezliği denir. Şu tarihte: C= 0 ve e= 0 elips daireye dönüşür.

Kepler'in birinci yasasının kanıtı

Kanun evrensel yerçekimi Newton, "evrendeki her nesne, nesnelerin kütle merkezlerini birleştiren bir çizgi boyunca diğer tüm nesneleri, her nesnenin kütlesiyle orantılı ve nesneler arasındaki mesafenin karesiyle ters orantılı olarak çeker" diyor. Bu, ivmenin olduğunu varsayar Aşekli var

Koordinat formunda yazıyoruz

İkinci denklemi yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

hangisi basitleştirilmiş

Entegrasyondan sonra ifadeyi yazıyoruz

belirli bir açısal momentum () olan bir sabit için.

Yöndeki hareket denklemi eşit olur

Newton'un evrensel çekim yasası, birim kütle başına kuvveti mesafeyle ilişkilendirir:

Nerede G- evrensel yerçekimi sabiti ve M- yıldızın kütlesi.

Sonuç olarak

Bu diferansiyel denklem Var ortak karar:

keyfi entegrasyon sabitleri için e ve θ 0.

Değiştirme sen 1/ R ve θ 0 = 0 koyarsak şunu elde ederiz:

Eksantriklikli bir konik bölümün denklemini elde ettik e ve koordinat sisteminin odak noktalarından birindeki orijini. Böylece Kepler'in birinci yasası doğrudan Newton'un evrensel çekim yasasından ve Newton'un ikinci yasasından kaynaklanır.

Kepler'in İkinci Yasası (Alanlar Yasası)

Kepler'in ikinci yasası.

Her gezegen Güneş'in merkezinden geçen bir düzlemde hareket eder ve Güneş ile gezegeni birbirine bağlayan yarıçap vektörü eşit zamanlarda eşit alanlı sektörleri tarar.

Güneş sistemimizle ilgili olarak bu yasayla iki kavram ilişkilendirilir: günberi- Yörüngenin Güneş'e en yakın noktası ve günöte- yörüngenin en uzak noktası. Böylece, Keppler'in ikinci yasasından, gezegenin Güneş'in etrafında eşit olmayan bir şekilde hareket ettiği ve daha büyük bir açıya sahip olduğu sonucu çıkar. doğrusal hız aphelion'dan daha.

Her yıl Ocak ayının başında, Dünya günberi noktasından geçerken daha hızlı hareket eder, bu nedenle Güneş'in ekliptik boyunca doğuya doğru görünen hareketi de yılın ortalamasından daha hızlı gerçekleşir. Temmuz ayının başında, günöteyi geçen Dünya daha yavaş hareket eder ve bu nedenle Güneş'in ekliptik boyunca hareketi yavaşlar. Alanlar kanunu, gezegenlerin yörünge hareketini belirleyen kuvvetin Güneş'e doğru yönlendirildiğini gösterir.

Kepler'in ikinci yasasının kanıtı

Tanım gereği, kütleli bir nokta parçacığın açısal momentumu M ve hız şu şekilde yazılır:

parçacığın yarıçap vektörü ve parçacığın momentumu nerede.

A-tarikatı

Sonuç olarak elimizde

Denklemin her iki tarafının da zamana göre türevini alalım

Çünkü vektör çarpımı paralel vektörler sıfıra eşittir. dikkat et ki F her zaman paralel R kuvvet radyal olduğundan ve P her zaman paralel v a-tarikat. Dolayısıyla bunun bir sabit olduğunu söyleyebiliriz.

Kepler'in Üçüncü Yasası (Harmonik Yasası)

Gezegenlerin Güneş etrafındaki dönüş periyotlarının kareleri, gezegenlerin yörüngelerinin yarı büyük eksenlerinin küpleri ile ilişkilidir.

Nerede T 1 ve T 2, iki gezegenin Güneş etrafındaki dönüş dönemleridir ve A 1 ve A 2 - yörüngelerinin yarı ana eksenlerinin uzunlukları.

Newton, belirli bir kütleye sahip bir gezegenin yerçekimsel çekiminin, bileşim veya sıcaklık gibi diğer özelliklere değil, yalnızca uzaklığına bağlı olduğunu tespit etti. Ayrıca Kepler'in üçüncü yasasının tamamen doğru olmadığını da gösterdi; aslında bu yasa aynı zamanda gezegenin kütlesini de içeriyor: M Güneş'in kütlesidir ve M 1 ve M 2 – gezegen kütleleri.

Hareket ve kütlenin ilişkili olduğu tespit edildiğinden, Kepler'in harmonik yasası ile Newton'un yerçekimi yasasının bu birleşimi, yörüngeleri ve yörünge dönemleri biliniyorsa gezegenlerin ve uyduların kütlesini belirlemek için kullanılır.

Kepler'in üçüncü yasasının kanıtı

Kepler'in ikinci yasası, dönen bir cismin yarıçap vektörünün, eşit alanlar eşit süreler için. Şimdi gezegenin noktalarda olduğu anda çok küçük zaman dilimlerini alırsak A Ve B(günberi ve günöte), o zaman alanı, yüksekliği gezegenden Güneş'e olan mesafeye eşit ve tabanı gezegenin hızı ve zamanının çarpımına eşit olan üçgenlerle tahmin edebiliriz.

Enerjinin korunumu yasasını kullanarak toplam enerji noktalardaki gezegenler A Ve B, Hadi yaz

Şimdi bulduğumuza göre V B sektörel hızı bulabiliriz. Sabit olduğu için elipsin herhangi bir noktasını seçebiliriz: örneğin nokta için B aldık

Ancak elipsin toplam alanı (π'ye eşittir) AB, Çünkü ). Tam bir devrimin süresi bu nedenle eşittir

Eğer kütle M karşılaştırıldığında göz ardı edilemez M O zaman gezegen, kütlenin etrafında dönen maddi noktayla aynı hızda ve aynı yörüngede Güneş'in etrafında dönecektir. M + M(santimetre.

I. Kepler tüm hayatını güneş sistemimizin bir tür mistik sanat olduğunu kanıtlamaya çalışarak geçirdi. Başlangıçta sistemin yapısının eski Yunan geometrisindeki düzenli çokyüzlülere benzediğini kanıtlamaya çalıştı. Kepler'in zamanında altı gezegenin varlığı biliniyordu. Kristal kürelere yerleştirildiklerine inanılıyordu. Bilim adamına göre, bu küreler çokyüzlülerin bitişik kürelerin arasına tam olarak oturacağı şekilde yerleştirilmişti. doğru biçim. Jüpiter ve Satürn'ün arasına üzerinde şu yazılı bir küp yerleştirildi: dış ortam, kürenin yazılı olduğu yer. Mars ve Jüpiter arasında bir tetrahedron vb. vardır. Sonrasında uzun yıllar boyunca Gök cisimlerinin gözlemlenmesiyle Kepler'in yasaları ortaya çıktı ve çokyüzlüler teorisini çürüttü.

Kanunlar

Dünyanın jeosantrik Ptolema sistemi, yerini Kopernik'in yarattığı güneş merkezli tipte bir sisteme bıraktı. Daha sonra Kepler Güneş'in çevresini tespit etti.

Uzun yıllar gezegenleri gözlemledikten sonra Kepler'in üç yasası ortaya çıktı. Makalede bunlara bakalım.

Birinci

Kepler'in birinci yasasına göre sistemimizdeki tüm gezegenler elips adı verilen kapalı bir eğri boyunca hareket eder. Armatürümüz elipsin odak noktalarından birinde yer almaktadır. Bunlardan iki tane var: Bunlar eğrinin içindeki iki noktadır; elipsin herhangi bir noktasına olan mesafelerin toplamı sabittir. Uzun gözlemlerden sonra bilim adamı, sistemimizdeki tüm gezegenlerin yörüngelerinin neredeyse aynı düzlemde bulunduğunu ortaya çıkarmayı başardı. Bazı gök cisimleri daireye yakın eliptik yörüngelerde hareket eder. Ve yalnızca Plüton ve Mars daha uzun yörüngelerde hareket ediyor. Buna dayanarak Kepler'in ilk yasasına elips yasası adı verildi.

İkinci Kanun

Cisimlerin hareketini incelemek, bilim insanının Güneş'e daha yakın olduğu dönemde hareketin daha büyük olduğunu ve Güneş'ten maksimum uzaklıkta olduğu dönemde daha az olduğunu tespit etmesine olanak tanır (bunlar günberi ve günöte noktalarıdır).

Kepler'in ikinci yasası şunu belirtir: Her gezegen, yıldızımızın merkezinden geçen bir düzlemde hareket eder. Aynı zamanda Güneş ile incelenen gezegeni birbirine bağlayan yarıçap vektörü eşit alanları tanımlamaktadır.

Bu nedenle, cisimlerin sarı cücenin etrafında dengesiz bir şekilde hareket ettiği ve günberi noktasında olduğu açıktır. azami hız ve aphelion'da - minimum. Pratikte bu, Dünya'nın hareketinde görülebilir. Her yıl Ocak ayının başında gezegenimiz günberi noktasından geçerken daha hızlı hareket eder. Bu nedenle Güneş'in ekliptik boyunca hareketi yılın diğer zamanlarına göre daha hızlı gerçekleşir. Temmuz ayının başlarında, Dünya günöteden geçerek Güneş'in tutulum boyunca daha yavaş hareket etmesine neden olur.

Üçüncü Kanun

Kepler'in üçüncü yasasına göre, bir gezegenin bir yıldız etrafındaki dönüş süresi ile ona olan ortalama uzaklığı arasında bir bağlantı kurulur. Bilim adamı bu yasayı sistemimizdeki tüm gezegenlere uyguladı.

Kanunların açıklanması

Kepler'in yasaları ancak Newton'un yerçekimi yasasını keşfetmesinden sonra açıklanabildi. Buna göre fiziksel nesneler yerçekimsel etkileşime katılır. Maddi türdeki ve fiziksel alandaki tüm nesnelerin tabi olduğu evrensel evrenselliğe sahiptir. Newton'a göre iki hareketsiz cisim birbirlerine ağırlıklarının çarpımı ile orantılı, aralarındaki mesafelerin karesi ile ters orantılı bir kuvvetle etki ederler.

Öfkeli hareket

Vücudumuzun hareketi Güneş Sistemi sarı cücenin çekim kuvveti tarafından kontrol ediliyor. Eğer cisimler yalnızca Güneş'in kuvveti tarafından çekilseydi, o zaman gezegenler Güneş'in etrafında tam olarak Kepler'in hareket yasalarına göre hareket edeceklerdi. Bu tip yer değiştirmelere pertürbe edilmemiş veya Keplerian denir.

Gerçekte sistemimizdeki tüm nesneler sadece yıldızımız tarafından değil aynı zamanda birbirleri tarafından da çekilmektedir. Bu nedenle hiçbir cisim tam olarak elips, hiperbol veya daire şeklinde hareket edemez. Bir cisim hareket sırasında Kepler yasalarından saparsa buna pertürbasyon, hareketin kendisine ise perturbasyon denir. Gerçek sayılan şey budur.

Yörüngeler gök cisimleri sabit elipsler değildir. Diğer cisimlerin çekimi sırasında yörünge elipsi değişir.

I. Newton'un Katkısı

Isaac Newton, Kepler'in gezegensel hareket yasalarından evrensel çekim yasasını çıkarmayı başardı. Kozmik-mekanik problemleri çözmek için Newton evrensel yerçekimini kullandı.

Isaac'tan sonra gök mekaniği alanındaki ilerleme, gelişmelerden oluşuyordu. matematik bilimi Newton yasalarını ifade eden denklemleri çözmek için kullanılır. Bu bilim adamı, bir gezegenin yerçekiminin uzaklığı ve kütlesi tarafından belirlendiğini, ancak sıcaklık ve bileşim gibi göstergelerin herhangi bir etkisinin olmadığını tespit edebildi.

onun içinde bilimsel çalışma Newton, Kepler'in üçüncü yasasının tamamen doğru olmadığını gösterdi. Gezegenlerin hareketi ve ağırlığı birbiriyle ilişkili olduğundan hesaplamalar yaparken gezegenin kütlesini hesaba katmanın önemli olduğunu gösterdi. Bu harmonik kombinasyon, Keplerian yasalarıyla Newton'un belirlediği yerçekimi yasası arasındaki bağlantıyı gösterir.

Astrodinamik

Newton ve Kepler yasalarının uygulanması astrodinamiğin ortaya çıkışının temelini oluşturdu. Bu, hareketi inceleyen gök mekaniğinin bir dalıdır kozmik cisimler yapay olarak yaratılmıştır, yani: uydular, gezegenler arası istasyonlar, çeşitli gemiler.

Astrodinamik, uzay aracı yörüngelerinin hesaplanmasıyla ilgilenir ve ayrıca hangi parametrelerin fırlatılacağını, hangi yörüngeye fırlatılacağını, hangi manevraların yapılması gerektiğini ve gemiler üzerindeki yerçekimi etkisinin planlanmasını belirler. Ve hepsi bu değil pratik problemler Astrodinamiğin önüne konulanlar. Elde edilen tüm sonuçlar çok çeşitli uzay görevlerini gerçekleştirmek için kullanılıyor.

Doğal kozmik cisimlerin yerçekiminin etkisi altındaki hareketini inceleyen gök mekaniği, astrodinamikle yakından ilgilidir.

Yörüngeler

Yörünge, belirli bir uzaydaki bir noktanın yörüngesi olarak anlaşılmaktadır. Gök mekaniğinde, bir cismin başka bir cismin yerçekimi alanındaki yörüngesinin önemli ölçüde daha büyük bir kütleye sahip olduğu genel olarak kabul edilir. İÇİNDE dikdörtgen sistem koordinatlar, yörünge konik bir bölüm şeklinde olabilir, yani. bir parabol, elips, daire, hiperbol ile temsil edilebilir. Bu durumda odak, sistemin merkeziyle çakışacaktır.

Uzun zamandır yörüngelerin dairesel olması gerektiğine inanılıyordu. Uzun bir süre bilim adamları tam olarak dairesel hareket seçeneğini seçmeye çalıştılar ama başarılı olamadılar. Ve gezegenlerin dairesel bir yörüngede değil, uzun bir yörüngede hareket ettiğini yalnızca Kepler açıklayabildi. Bu, gök cisimlerinin yörüngedeki hareketini tanımlayabilecek üç yasanın keşfedilmesini mümkün kıldı. Kepler yörüngenin şu unsurlarını keşfetti: Yörüngenin şekli, eğimi, cismin yörünge düzleminin uzaydaki konumu, yörüngenin boyutu ve zaman referansı. Tüm bu unsurlar, şekli ne olursa olsun yörüngeyi belirler. Hesaplamalar yaparken ana koordinat düzlemi ekliptik, galaksi, gezegen ekvatoru vb. düzlemi olabilir.

Çok sayıda araştırma gösteriyor ki, geometrik şekil Yörüngeler eliptik veya dairesel olabilir. Kapalı ve açık olarak bir bölünme var. Yörüngenin dünyanın ekvator düzlemine olan eğim açısına göre yörüngeler kutupsal, eğik ve ekvatoral olabilir.

Vücut etrafındaki dönüş periyoduna göre yörüngeler senkron veya güneş-senkron, senkron-günlük, yarı-senkron olabilir.

Kepler'in dediği gibi tüm cisimlerin belirli bir hareket hızı vardır. yörünge hızı. Vücudun etrafındaki tüm devrim boyunca sabit olabilir veya değişebilir.

> Kepler'in Üçüncü Yasası

Tanım

Öğrenme Hedefi

Şartlar

Ana noktaları

Tanım

Bir gezegenin yörünge periyodunun karesi, yarı birincil yörünge ekseninin küpüyle doğru orantılıdır.

Öğrenme Hedefi

Gezegenlerin hareketini karakterize etmek için Kepler'in Üçüncü Yasasını uygulayın.

• Astronomik birim – ortalama Dünya-Güneş mesafesi (149.600.000 km).
• Yıldız yılı, Dünya'nın yörünge dönemidir. Bu süre zarfında Güneş, gök küresindeki yıldızlara göre aynı konuma döner. Ekinoksların devinimi nedeniyle tropikal olandan 20,4 dakika daha uzundur.

Ana noktaları

Öz Kepler'in üçüncü yasası gezegen yörünge hareketleri basit kelimelerle– formül ve formülasyon: astronomide uygulama, yörünge düzeni, Newton yasalarının rolü.

Yörünge periyodunun karesi, yörünge yarı ekseninin küpüyle doğru orantılıdır. Kepler'in üçüncü yasası 1619'da yayımlandı. Gezegenlerin Güneş'e uzaklığı ile yörünge dönemleri arasındaki ilişkiyi görüntüler. Formülde P 2 œa 3 olarak ifade edilir; burada P, gezegenin yörünge periyodu ve yarı ana eksendir.

Yörünge periyodunun karesi, yörünge yarı ekseninin küpüyle doğru orantılıdır.

Orantısallık sabiti

Kepler bu yasayı "kürelerin müziğini" anlama çabası sırasında yarattı, bu yüzden buna daha önce harmonik yasa deniyordu.

Kepler'in Üçüncü Yasasının Türetilmesi

Bunu Newton'un hareket yasalarından ve evrensel çekim yasasından alabilirsiniz. Küçük bir kütlenin büyük bir kütlenin etrafındaki dairesel yörüngesiyle başlayalım. Yerçekimi merkezcil kuvveti m'ye yansıtır. Newton'un ikinci yasasıyla başlayalım:

F net = ma c = m (v²/r)

Kütle üzerindeki kuvvetin okunması yerçekimini verir, bu yüzden onu F net yerine koyarız:

Kütle m azaltılır:

Bu noktada bütün m kütleleri aynı ivmeyle düşüyor. Belirtilen yarıçapta tüm kütlelerin yörüngelerinin aynı hızda hareket ettiğini görüyoruz. Kepler'in Üçüncü Yasasını türetmek için P periyodunu elde etmeniz gerekir:

Öncekiyle değiştirin:

P 2 için Çözüm:

İki farklı uydunun endekslerini kullanarak şunları elde edebilirsiniz:

Bu Kepler'in Üçüncü Yasasıdır. M iptal edildiğinden, bunun yalnızca aynı ana gövdenin uydularını karşılaştırmak için işe yaradığını unutmayın.

Şimdi r³/P² oranı için P 2 = 4π 2 GM/r 3'e ne olacağını görelim. Ana gövdenin kütlesini hesaplamak için kullanılabilir:

Eğer r ve P biliniyorsa ana gövdenin M'si bulunabilir.

16. yüzyılın sonunda. Gezegenlerin hareketini inceleyen Danimarkalı gökbilimci I. Kepler, onların hareketinin üç yasasını keşfetti. Bu yasalara dayanarak I. Newton, evrensel çekim yasası için bir formül türetmiştir. Daha sonra, mekanik yasalarını kullanarak I. Newton, iki cisim problemini çözdü - bir cismin başka bir cismin yerçekimi alanında hareket ettiği yasaları türetti. Üç genelleştirilmiş Kepler yasasını elde etti.

Kepler'in ilk yasası

Yerçekiminin etkisi altında, bir gök cismi başka bir gök cisminin yerçekimi alanında konik bölümlerden biri (bir daire, elips, parabol veya hiperbol) boyunca hareket eder.

Gezegenler Güneş'in etrafında eliptik bir yörüngede hareket ederler (Şekil 15.6). Yörüngede Güneş'e en yakın noktaya ne ad verilir? günberi, en uzak - günöte. Elipsin herhangi bir noktasını odağa bağlayan çizgiye ne ad verilir? yarıçap vektörü

Odaklar arasındaki mesafenin ana eksene (en büyük çapa) oranına denir. eksantriklik e. Eksantriklik ne kadar büyük olursa elips o kadar uzun olur. a elipsinin yarı ana ekseni, gezegenin Güneş'ten ortalama uzaklığıdır.

Kuyruklu yıldızlar ve asteroitler de eliptik yörüngelerde hareket ederler. Bir daire için e = 0, bir elips için 0< е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.

Doğal ve yapay uyduların gezegenler etrafındaki hareketi, ikili sistemdeki bir yıldızın diğerinin etrafındaki hareketi de bu ilk genelleştirilmiş Kepler yasasına uymaktadır.

Kepler'in ikinci yasası

Her gezegen, gezegenin yarıçap vektörü eşit zaman dilimlerinde eşit alanları tanımlayacak şekilde hareket eder.

Gezegen A noktasından A noktasına ve B noktasından C noktasına aynı anda hareket eder.

Başka bir deyişle, gezegen günberi noktasında en hızlı, en uzak noktasındayken (günötede) en yavaş hareket eder. Böylece Kepler'in ikinci yasası gezegenin hızını belirler. Gezegen Güneş'e ne kadar yakınsa o kadar büyüktür. Böylece Halley Kuyruklu Yıldızı'nın günberideki hızı 55 km/s, günötedeki hızı ise 0,9 km/s'dir.

Kepler'in üçüncü yasası

Bir cismin yörüngesinin yarı büyük ekseninin küpünün, dönme periyodunun karesine ve cisimlerin kütlelerinin toplamına bölünmesiyle elde edilen değer sabit bir değerdir.

T, bir cismin başka bir cismin etrafında ortalama bir mesafede dönme periyodu ise A o zaman Kepler'in üçüncü genelleştirilmiş yasası şu şekilde yazılır:

a 3 /[T 2 (M 1 + M 2)] = G/4π 2

burada M 1 ve M 2 iki cismi çeken kütlelerdir ve G yerçekimi sabitidir. Güneş Sistemi için Güneş'in kütlesi herhangi bir gezegenin kütlesidir ve sonra

Sağ kısım Denklemin Güneş Sistemindeki tüm cisimler için bir sabit olduğu, bilim adamının gözlemlerden elde ettiği Kepler'in üçüncü yasasının da belirttiği gibi.

Kepler'in üçüncü genelleştirilmiş yasası, gezegenlerin kütlelerini uydularının hareketlerinden, çift yıldızların kütlelerini ise yörüngelerinin unsurlarından belirlememize olanak tanır.

Gezegenlerin ve diğer gök cisimlerinin Güneş etrafındaki yerçekiminin etkisi altında hareketi Kepler'in üç yasasına göre gerçekleşir. Bu yasalar, gezegenlerin konumlarını hesaplamayı ve etraflarındaki uyduların hareketinden kütlelerini belirlemeyi mümkün kılar.

Astronomi. 11. Sınıf - “Fizik-11” ders kitabı üzerine notlar (Myakishev, Bukhovtsev, Charugin) - Sınıf fiziği

Atomların dünyasında ve temel parçacıklar yerçekimi kuvvetleri Parçacıklar arasındaki diğer kuvvet etkileşimleriyle karşılaştırıldığında ihmal edilebilir düzeydedir. Çevremizdeki çeşitli cisimlerin kütleleri binlerce kilogram olsa bile aralarındaki çekimsel etkileşimi gözlemlemek çok zordur. Ancak gezegenler, kuyruklu yıldızlar ve yıldızlar gibi "büyük" nesnelerin davranışını belirleyen yerçekimidir ve hepimizi Dünya'da tutan da yerçekimidir.

Yerçekimi güneş sistemindeki gezegenlerin hareketini kontrol eder. O olmasaydı, güneş sistemini oluşturan gezegenler farklı yönlere dağılacak ve dünya uzayının uçsuz bucaksız genişliklerinde kaybolacaktı.

Gezegensel hareket kalıpları uzun zamandır insanların dikkatini çekmiştir. Gezegenlerin hareketi ve güneş sisteminin yapısının incelenmesi, yerçekimi teorisinin yaratılmasına - evrensel çekim yasasının keşfine - yol açtı.

Dünyadaki bir gözlemcinin bakış açısından gezegenler çok karmaşık yörüngeler boyunca hareket ederler (Şekil 1.24.1). Evrenin bir modelini oluşturmaya yönelik ilk girişim Ptolemy (~ 140) tarafından yapılmıştır. Batlamyus, evrenin merkezine, etrafında gezegenlerin ve yıldızların yuvarlak bir dans gibi irili ufaklı daireler halinde hareket ettiği Dünya'yı yerleştirdi.

Yermerkezli sistem Ptolemy 14 yüzyıldan fazla sürdü ve ancak 16. yüzyılın ortasında değiştirildi. güneş merkezli Kopernik sistemi. Kopernik sisteminde gezegenlerin yörüngelerinin daha basit olduğu ortaya çıktı. Alman gökbilimci Johannes Kepler, 17. yüzyılın başında Kopernik sistemine dayanarak güneş sistemindeki gezegenlerin üç ampirik hareket yasasını formüle etti. Kepler, Danimarkalı gökbilimci Tycho Brahe'nin gezegenlerin hareketlerine ilişkin gözlemlerinin sonuçlarını kullandı.

Kepler'in Birinci Yasası (1609):

Tüm gezegenler eliptik yörüngelerde hareket eder ve Güneş tek odaktadır.

İncirde. Şekil 1.24.2 kütlesi Güneş'in kütlesinden çok daha az olan bir gezegenin eliptik yörüngesini göstermektedir. Güneş elipsin odak noktalarından birindedir. Güneş'e en yakın nokta P yörünge denir günberi, nokta A, Güneş'ten en uzak - günöte. Günöte ve günberi arasındaki mesafe elipsin ana eksenidir.

Güneş Sistemindeki hemen hemen tüm gezegenler (Plüton hariç) dairesele yakın yörüngelerde hareket ederler.

Kepler'in İkinci Yasası (1609):

Gezegenin yarıçap vektörü eşit zaman dilimlerinde eşit alanları tanımlar.

Pirinç. Şekil 1.24.3 Kepler'in 2. yasasını göstermektedir.

Kepler'in ikinci yasası açısal momentumun korunumu yasasına eşdeğerdir. İncirde. 1.24.3 cismin ve bileşenlerinin momentum vektörünü ve yarıçap vektörünün kısa sürede tanımladığı alanı Δ gösterir. T, yaklaşık olarak tabanı olan bir üçgenin alanına eşittir RΔθ ve yükseklik R:

İşte açısal hız.

İtme L mutlak değerde vektörlerin modüllerinin çarpımına eşittir ve:

Bu ilişkilerden şu sonuç çıkıyor:

Bu nedenle Kepler'in ikinci yasasına göre açısal momentum L hareket ederken değişmeden kalır.

Özellikle, gezegenin günberi ve günötedeki hızları yarıçap vektörlerine dik olarak yönlendirildiğinden ve açısal momentumun korunumu yasasından şu sonuç çıkar:

Kepler'in Üçüncü Yasası (1619):

Gezegenlerin yörünge dönemlerinin kareleri, yörüngelerinin yarı büyük eksenlerinin küpleriyle ilişkilidir:

Kepler'in üçüncü yasası güneş sistemindeki tüm gezegenler için %1'den daha büyük bir doğrulukla doğrudur.

İncirde. 1.24.4, biri yarıçaplı dairesel olan iki yörüngeyi gösterir R diğeri yarı ana eksene sahip eliptiktir A. Üçüncü yasa şunu belirtir: R = A ise bu yörüngelerdeki cisimlerin devir süreleri aynıdır.

Kepler yasalarının ortaya çıkmasına rağmen en önemli aşama Gezegenlerin hareketlerini anlamada bunlar hâlâ yalnızca astronomik gözlemlerden elde edilen ampirik kurallar olarak kalıyordu. Kepler'in yasalarının teorik gerekçelere ihtiyacı vardı. Bu yönde kararlı bir adım, 1682'de keşfeden Isaac Newton tarafından atıldı. evrensel çekim kanunu:

Nerede M Ve M- Güneş ve gezegenin kütleleri, R- aralarındaki mesafe, G= 6,67·10 -11 N·m2 /kg2 - yer çekimi sabiti. Newton, yerçekimi kuvvetlerinin yalnızca güneş sistemindeki gezegenlerin hareketini belirlemediğini; Evrendeki herhangi bir cisim arasında hareket ederler. Özellikle, Dünya yüzeyine yakın cisimlere etki eden yerçekimi kuvvetinin yerçekimi niteliğinde olduğu zaten söylenmişti.

Dairesel yörüngeler için Kepler'in birinci ve ikinci yasaları otomatik olarak karşılanır ve üçüncü yasa şunu belirtir: T 2 ~ R 3, burada T dolaşım periyodudur, R- yörüngenin yarıçapı. Bundan yerçekimi kuvvetinin mesafeye bağımlılığını elde edebiliriz. Bir gezegen dairesel bir yol boyunca hareket ettiğinde, ona bir kuvvet etki eder. yerçekimi etkileşimi gezegenler ve güneş:

Eğer T 2 ~ R 3 o zaman

Yerçekimi kuvvetlerinin muhafazakarlık özelliği, kavramı tanıtmamıza izin verir potansiyel enerji . Evrensel çekim kuvvetleri için potansiyel enerjiyi sonsuzdaki bir noktadan saymak uygundur.

Kütleli bir cismin potansiyel enerjisi M uzakta bulunan R sabit bir kütle gövdesinden M, kütleyi hareket ettirirken yerçekimi kuvvetlerinin işine eşittir M Belirli bir noktadan sonsuza kadar.

Yerçekimi alanındaki bir cismin potansiyel enerjisini hesaplamaya yönelik matematiksel prosedür, küçük yer değiştirmeler üzerindeki işin özetlenmesinden oluşur (Şekil 1.24.5).

Evrensel çekim yasası yalnızca kesilmiş kütleler için değil aynı zamanda küresel simetrik cisimler. Yerçekimi kuvvetinin küçük bir yer değiştirmeye yaptığı iş:

Bir vücut kütlesini hareket ettirirken yapılan toplam iş M Başlangıç ​​konumundan sonsuza kadar olan Δ işi toplanarak bulunur. ABen küçük hareketlerde:

Δ'daki limitte RBen→ 0 bu toplam integrale girer. Potansiyel enerjiye ilişkin hesaplamalar sonucunda şu ifadeyi elde ederiz:

Eksi işareti yerçekimi kuvvetlerinin çekim kuvvetleri olduğunu gösterir.

Eğer bir cisim belirli bir mesafede yerçekimsel bir alanda bulunuyorsa R ağırlık merkezinden belirli bir v hızına sahip olduğundan, toplam mekanik enerjisi şuna eşittir:

Enerjinin korunumu yasasına göre, yerçekimi alanındaki bir cismin toplam enerjisi değişmeden kalır.

Toplam enerji pozitif, negatif veya sıfıra eşit olabilir. Toplam enerjinin işareti gök cismi hareketinin doğasını belirler (Şekil 1.24.6).

Şu tarihte: e = e 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние R > R maks. Bu durumda gök cismi hareket eder. eliptik yörünge(güneş sisteminin gezegenleri, kuyruklu yıldızlar).

Şu tarihte: e = e 2=0 ise cisim sonsuza kadar uzaklaşabilir. Cismin sonsuzdaki hızı sıfır olacaktır. Vücut birlikte hareket eder parabolik yörünge.

Şu tarihte: e = e 3 > 0 boyunca hareket meydana gelir hiperbolik yörünge. Vücut bir kinetik enerji rezervine sahip olarak sonsuza doğru hareket eder.

Kepler yasaları yalnızca Güneş Sistemindeki gezegenlerin ve diğer gök cisimlerinin hareketleri için değil, aynı zamanda yapay Dünya uydularının ve uzay araçlarının hareketleri için de geçerlidir. Bu durumda ağırlık merkezi Dünya'dır.

İlk kozmik hız bir uydunun Dünya yüzeyine yakın dairesel bir yörüngede hareket etme hızıdır.

Dünyanın yerçekimini yenebilmek ve cismi ortadan kaldırabilmek için bu hızın kazanılması gerekmektedir (örneğin uydu) yörüngeyeToprak.

İkinci kaçış hızı Dünya yüzeyindeki bir uzay aracına verilmesi gereken minimum hıza denir. Yer çekimi, Güneş'in yapay bir uydusuna (yapay gezegen) dönüştü. Bu durumda gemi parabolik bir yörünge boyunca Dünya'dan uzaklaşacaktır.

Pirinç. 1.24.7 kaçış hızlarını göstermektedir. Hız ise uzay gemisiυ 1 = 7,9·10 3 m/s'ye eşit ve Dünya yüzeyine paralel yönlendirilmişse, gemi Dünya'nın üzerinde alçak bir irtifada dairesel bir yörüngede hareket edecektir. υ 1'i aşan ancak υ 2 = 11,2·10 3 m/s'den düşük başlangıç ​​hızlarında, geminin yörüngesi eliptik olacaktır. υ 2 başlangıç ​​hızında, gemi bir parabol boyunca ve daha da yüksek bir başlangıç ​​hızında bir hiperbol boyunca hareket edecektir.