Aus welchen Elementen besteht ein rechteckiges Parallelepiped? Was ist ein Parallelepiped?

Rechteckiges Parallelepiped

Ein rechteckiges Parallelepiped ist ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Flächen alle Rechtecke sind.

Es reicht aus, sich umzusehen, und wir werden feststellen, dass die Objekte um uns herum eine Form haben, die einem Parallelepiped ähnelt. Sie lassen sich durch die Farbe unterscheiden, haben viele zusätzliche Details, aber wenn man diese Feinheiten außer Acht lässt, kann man sagen, dass beispielsweise ein Schrank, eine Kiste usw. ungefähr die gleiche Form haben.

Das Konzept eines rechteckigen Parallelepipeds begegnet uns fast täglich! Schauen Sie sich um und sagen Sie mir, wo Sie rechteckige Parallelepipede sehen? Schauen Sie sich das Buch an, es hat genau die gleiche Form! Ein Ziegelstein, eine Streichholzschachtel, ein Holzblock haben die gleiche Form, und selbst jetzt befinden Sie sich in einem rechteckigen Parallelepiped, denn das Klassenzimmer ist die anschaulichste Interpretation dieser geometrischen Figur.

Übung: Welche Beispiele für Parallelepiped können Sie nennen?

Schauen wir uns den Quader genauer an. Und was sehen wir?

Zunächst sehen wir, dass diese Figur aus sechs Rechtecken besteht, die die Flächen eines Quaders darstellen;

Zweitens hat ein Quader acht Eckpunkte und zwölf Kanten. Die Kanten eines Quaders sind die Seiten seiner Flächen und die Eckpunkte des Quaders sind die Eckpunkte der Flächen.

Übung:

1. Wie heißen die einzelnen Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds? 2. Dank welcher Parameter kann ein Parallelogramm gemessen werden? 3. Definieren Sie gegenüberliegende Flächen.

Arten von Parallelepipeden

Aber Parallelepipede sind nicht nur rechteckig, sie können auch gerade und geneigt sein, und gerade Linien werden in rechteckige, nicht rechteckige und Würfel unterteilt.

Aufgabe: Schauen Sie sich das Bild an und sagen Sie, welche Parallelepipede darauf abgebildet sind. Wie unterscheidet sich ein rechteckiges Parallelepiped von einem Würfel?

Eigenschaften eines rechteckigen Parallelepipeds

Ein rechteckiges Parallelepiped hat eine Reihe wichtiger Eigenschaften:

Erstens ist das Quadrat der Diagonale dieser geometrischen Figur gleich der Summe der Quadrate ihrer drei Hauptparameter: Höhe, Breite und Länge.

Zweitens sind alle vier Diagonalen absolut identisch.

Drittens, wenn alle drei Parameter eines Parallelepipeds gleich sind, also Länge, Breite und Höhe gleich sind, dann wird ein solches Parallelepiped als Würfel bezeichnet und alle seine Flächen sind gleich dem gleichen Quadrat.

Übung

1. Hat ein rechteckiges Parallelepiped gleiche Seiten? Wenn es welche gibt, dann zeigen Sie sie in der Abbildung. 2. Aus welchen geometrischen Formen bestehen die Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds? 3. Wie ist die Anordnung gleicher Kanten zueinander? 4. Nennen Sie die Anzahl der Paare gleicher Flächen dieser Figur. 5. Finden Sie die Kanten eines rechteckigen Parallelepipeds, die seine Länge, Breite und Höhe angeben. Wie viele hast du gezählt?

Aufgabe

Um ein Geburtstagsgeschenk für ihre Mutter schön zu dekorieren, nahm Tanya eine Schachtel in Form eines rechteckigen Parallelepipeds. Die Größe dieser Box beträgt 25 cm * 35 cm * 45 cm. Um diese Verpackung schön zu machen, hat Tanya beschlossen, sie mit schönem Papier zu bedecken, dessen Kosten 3 Griwna pro 1 dm2 betragen. Wie viel Geld sollte man für Geschenkpapier ausgeben?

Wussten Sie, dass der berühmte Illusionist David Blaine im Rahmen eines Experiments 44 Tage in einem gläsernen Parallelepiped über der Themse verbrachte? In diesen 44 Tagen aß er nichts, sondern trank nur Wasser. In seinem freiwilligen Gefängnis nahm David nur Schreibmaterial, ein Kissen und eine Matratze sowie Taschentücher mit.

Ein Parallelepiped ist ein viereckiges Prisma mit Parallelogrammen an seiner Basis. Die Höhe eines Parallelepipeds ist der Abstand zwischen den Ebenen seiner Grundflächen. In der Abbildung ist die Höhe durch das Segment dargestellt . Es gibt zwei Arten von Parallelepipeden: gerade und geneigte. In der Regel gibt ein Mathe-Nachhilfelehrer zunächst die passenden Definitionen für ein Prisma vor und überträgt diese dann auf einen Parallelepiped. Wir werden das Gleiche tun.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass ein Prisma gerade genannt wird, wenn seine Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen stehen; wenn es keine Rechtwinkligkeit gibt, heißt das Prisma geneigt. Diese Terminologie wird auch vom Parallelepiped übernommen. Ein Parallelepiped ist nichts anderes als eine Art gerades Prisma, dessen Seitenkante mit der Höhe übereinstimmt. Definitionen von Konzepten wie Fläche, Kante und Scheitelpunkt, die der gesamten Familie der Polyeder gemeinsam sind, bleiben erhalten. Das Konzept der entgegengesetzten Gesichter taucht auf. Ein Parallelepiped hat 3 Paare gegenüberliegender Flächen, 8 Eckpunkte und 12 Kanten.

Die Diagonale eines Parallelepipeds (die Diagonale eines Prismas) ist ein Segment, das zwei Eckpunkte eines Polyeders verbindet und auf keiner seiner Flächen liegt.

Diagonaler Abschnitt – ein Abschnitt eines Parallelepipeds, der durch seine Diagonale und die Diagonale seiner Basis verläuft.

Eigenschaften eines geneigten Parallelepipeds:
1) Alle seine Flächen sind Parallelogramme und die gegenüberliegenden Flächen sind gleiche Parallelogramme.
2)Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und halbieren sich in diesem Punkt.
3)Jedes Parallelepiped besteht aus sechs dreieckigen Pyramiden gleichen Volumens. Um sie dem Schüler zu zeigen, muss der Mathematiklehrer die Hälfte des Parallelepeds mit seinem Diagonalabschnitt abschneiden und diese separat in 3 Pyramiden teilen. Ihre Basen müssen auf verschiedenen Seiten des ursprünglichen Parallelepipeds liegen. Ein Mathematiklehrer wird diese Eigenschaft in der analytischen Geometrie anwenden. Es wird verwendet, um das Volumen einer Pyramide durch ein gemischtes Produkt von Vektoren abzuleiten.

Formeln für das Volumen eines Parallelepipeds:
1) Wo ist die Fläche der Basis, h ist die Höhe.
2) Das Volumen eines Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus Querschnittsfläche und Seitenkante.
Mathe Nachhilfelehrer: Wie Sie wissen, ist die Formel allen Prismen gemeinsam, und wenn der Tutor sie bereits bewiesen hat, macht es keinen Sinn, dasselbe für ein Parallelepiped zu wiederholen. Wenn man jedoch mit einem durchschnittlichen Schüler arbeitet (die Formel ist für einen schwachen Schüler nicht nützlich), ist es für den Lehrer ratsam, genau das Gegenteil zu tun. Lassen Sie das Prisma in Ruhe und führen Sie einen sorgfältigen Beweis für das Parallelepiped durch.
3) , wobei das Volumen einer der sechs dreieckigen Pyramiden ist, aus denen das Parallelepiped besteht.
4) Wenn, dann

Die Fläche der Seitenfläche eines Parallelepipeds ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen:
Die Gesamtoberfläche eines Parallelepipeds ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen, also die Fläche + zwei Flächen der Grundfläche: .

Über die Arbeit eines Tutors mit einem geneigten Parallelepiped:
Ein Mathe-Nachhilfelehrer befasst sich nicht oft mit Problemen, bei denen es um einen geneigten Parallelepiped geht. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Einheitlichen Staatsexamen erscheinen, ist recht gering und die Didaktik ist unanständig schlecht. Eine mehr oder weniger anständige Aufgabe zum Volumen eines geneigten Parallelepipeds wirft ernsthafte Probleme im Zusammenhang mit der Bestimmung der Lage des Punktes H – der Basis seiner Höhe – auf. In diesem Fall kann dem Mathematiklehrer empfohlen werden, das Parallelepiped in eine seiner sechs Pyramiden (die in Aufgabe Nr. 3 besprochen werden) zu schneiden, zu versuchen, sein Volumen zu ermitteln und es mit 6 zu multiplizieren.

Wenn die Seitenkante eines Parallelepipeds gleiche Winkel mit den Seiten der Grundfläche hat, dann liegt H auf der Winkelhalbierenden des Winkels A der Grundfläche ABCD. Und wenn ABCD zum Beispiel eine Raute ist, dann

Aufgaben für Mathe-Nachhilfelehrer:
1) Die Flächen eines Parallelepipeds sind einander gleich, haben eine Seitenlänge von 2 cm und einen spitzen Winkel. Finden Sie das Volumen des Parallelepipeds.
2) Bei einem geneigten Parallelepiped beträgt die Seitenkante 5 cm. Der dazu senkrechte Schnitt ist ein Viereck mit zueinander senkrechten Diagonalen der Längen 6 cm und 8 cm. Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds.
3) Bei einem geneigten Parallelepiped ist bekannt, dass und in ABCD die Basis eine Raute mit einer Seitenlänge von 2 cm und einem Winkel ist. Bestimmen Sie das Volumen des Parallelepipeds.

Mathematiklehrer Alexander Kolpakov

Lernziele:

1. Pädagogisch:

Stellen Sie das Konzept eines Parallelepipeds und seiner Typen vor;
- die Eigenschaften eines Parallelepipeds und eines Quaders formulieren (unter Verwendung der Analogie mit einem Parallelogramm und einem Rechteck) und beweisen;
- Wiederholen Sie Fragen zur Parallelität und Rechtwinkligkeit im Raum.

2. Entwicklung:

Fortsetzung der Entwicklung kognitiver Prozesse bei Schülern wie Wahrnehmung, Verständnis, Denken, Aufmerksamkeit, Gedächtnis;
- die Entwicklung von Elementen kreativer Aktivität bei Schülern als Denkqualitäten (Intuition, räumliches Denken) fördern;
- bei den Schülern die Fähigkeit zu entwickeln, Schlussfolgerungen zu ziehen, auch durch Analogien, die dabei helfen, innerfachliche Zusammenhänge in der Geometrie zu verstehen.

3. Pädagogisch:

Zur Entwicklung der Organisation und der Gewohnheiten systematischer Arbeit beitragen;
- tragen zur Ausbildung ästhetischer Fähigkeiten beim Anfertigen von Notizen und Zeichnungen bei.

Unterrichtsart: Unterricht zum Erlernen neuer Materialien (2 Stunden).

Unterrichtsaufbau:

1. Organisatorischer Moment.
2. Wissen aktualisieren.
3. Neues Material studieren.
4. Zusammenfassen und Hausaufgaben machen.

Ausrüstung: Plakate (Dias) mit Beweisen, Modelle verschiedener geometrischer Körper, darunter alle Arten von Parallelepipeden, Grafikprojektor.

Während des Unterrichts.

1. Organisatorischer Moment.

2. Wissen aktualisieren.

Das Unterrichtsthema vermitteln, gemeinsam mit den Studierenden Ziele und Zielsetzungen formulieren, die praktische Bedeutung des Studiums des Themas aufzeigen, bereits behandelte Themen zu diesem Thema wiederholen.

3. Neues Material studieren.

3.1. Parallelepiped und seine Typen.

Es werden Modelle von Parallelepipeden demonstriert und ihre Merkmale identifiziert, die dabei helfen, die Definition eines Parallelepipeds unter Verwendung des Konzepts eines Prismas zu formulieren.

Definition:

Parallelepiped ein Prisma genannt, dessen Basis ein Parallelogramm ist.

Es wird eine Zeichnung eines Parallelepipeds angefertigt (Abbildung 1), die Elemente eines Parallelepipeds als Sonderfall eines Prismas werden aufgelistet. Folie 1 wird angezeigt.

Schematische Notation der Definition:

Schlussfolgerungen aus der Definition werden formuliert:

1) Wenn ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ein Prisma und ABCD ein Parallelogramm ist, dann ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – Parallelepiped.

2) Wenn ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – Parallelepiped, dann ist ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ein Prisma und ABCD ein Parallelogramm.

3) Wenn ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kein Prisma oder ABCD kein Parallelogramm ist, dann
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – nicht Parallelepiped.

4) . Wenn ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – nicht Parallelepiped, dann ist ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kein Prisma oder ABCD kein Parallelogramm.

Anschließend werden Sonderfälle eines Parallelepipeds bei der Konstruktion eines Klassifizierungsschemas betrachtet (siehe Abb. 3), Modelle demonstriert, die charakteristischen Eigenschaften von geraden und rechteckigen Parallelepipeden hervorgehoben und deren Definitionen formuliert.

Definition:

Ein Parallelepiped heißt gerade, wenn seine Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche stehen.

Definition:

Das Parallelepiped heißt rechteckig, wenn seine Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche stehen und die Grundfläche ein Rechteck ist (siehe Abbildung 2).

Nach der schematischen Erfassung der Definitionen werden Schlussfolgerungen daraus formuliert.

3.2. Eigenschaften von Parallelepipeden.

Suchen Sie nach planimetrischen Figuren, deren räumliche Analoga Parallelepiped und Quader (Parallelogramm und Rechteck) sind. In diesem Fall handelt es sich um die visuelle Ähnlichkeit der Figuren. Unter analoger Anwendung der Inferenzregel werden die Tabellen ausgefüllt.

Inferenzregel per Analogie:

1. Wählen Sie aus den zuvor untersuchten Figuren eine Figur aus, die dieser ähnelt.
2. Formulieren Sie die Eigenschaft der ausgewählten Figur.
3. Formulieren Sie eine ähnliche Eigenschaft der Originalfigur.
4. Beweisen oder widerlegen Sie die formulierte Aussage.

Nach der Formulierung der Eigenschaften erfolgt der Nachweis jeder einzelnen Eigenschaft nach folgendem Schema:

• Diskussion des Nachweisplans;
• Vorführung einer Beweisfolie (Folien 2 – 6);
• Die Schüler vervollständigen die Nachweise in ihren Heften.

3.3 Würfel und seine Eigenschaften.

Definition: Ein Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle drei Dimensionen gleich sind.

In Analogie zu einem Parallelepiped erstellen die Studierenden selbstständig eine schematische Notation der Definition, leiten daraus Konsequenzen ab und formulieren die Eigenschaften des Würfels.

4. Zusammenfassen und Hausaufgaben machen.

Hausaufgaben:

1. Unter Verwendung der Unterrichtsnotizen aus dem Geometrielehrbuch für die Klassen 10-11, L.S. Atanasyan und andere studieren Kapitel 1, §4, Absatz 13, Kapitel 2, §3, Absatz 24.
2. Beweisen oder widerlegen Sie die Eigenschaft eines Parallelepipeds, Punkt 2 der Tabelle.
3. Sicherheitsfragen beantworten.

Kontrollfragen.

1. Es ist bekannt, dass nur zwei Seitenflächen des Parallelepipeds senkrecht zur Basis stehen. Welche Art von Parallelepiped?

2. Wie viele Seitenflächen einer rechteckigen Form kann ein Parallelepiped haben?

3. Ist es möglich, ein Parallelepiped mit nur einer Seitenfläche zu haben:

1) senkrecht zur Basis;
2) hat die Form eines Rechtecks.

4. In einem Parallelepiped sind alle Diagonalen gleich. Ist es rechteckig?

5. Stimmt es, dass bei einem Parallelepiped die diagonalen Abschnitte senkrecht zu den Ebenen der Grundfläche stehen?

6. Geben Sie den Umkehrsatz zum Satz über das Quadrat der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds an.

7. Welche zusätzlichen Merkmale unterscheiden einen Würfel von einem rechteckigen Parallelepiped?

8. Wird ein Parallelepiped ein Würfel sein, bei dem alle Kanten an einer der Ecken gleich sind?

9. Geben Sie den Satz über das Quadrat der Diagonale eines Quaders für den Fall eines Würfels an.