Beispiele für Exponentengleichungen und Ungleichungen. Exponentialgleichungen und Ungleichungen

In dieser Lektion werden wir uns verschiedene exponentielle Ungleichungen ansehen und lernen, wie man sie löst, basierend auf der Technik zur Lösung der einfachsten exponentielle Ungleichungen

1. Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion

Erinnern wir uns an die Definition und die grundlegenden Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Lösung aller Exponentialgleichungen und Ungleichungen basiert auf diesen Eigenschaften.

Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form , wobei die Basis der Grad ist und x die unabhängige Variable, das Argument, ist; y ist die abhängige Variable, Funktion.

Reis. 1. Graph der Exponentialfunktion

Die Grafik zeigt steigende und fallende Exponenten und veranschaulicht die Exponentialfunktion mit einer Basis größer als eins bzw. kleiner als eins, aber größer als null.

Beide Kurven verlaufen durch den Punkt (0;1)

Eigenschaften der Exponentialfunktion:

Domäne: ;

Wertebereich: ;

Die Funktion ist monoton, nimmt mit zu und ab.

Eine monotone Funktion nimmt jeden ihrer Werte mit einem einzigen Argumentwert an.

Wenn das Argument von minus auf plus unendlich ansteigt, steigt die Funktion von einschließlich Null auf plus unendlich, d. h. für gegebene Werte des Arguments haben wir eine monoton steigende Funktion (). Im Gegenteil, wenn das Argument von minus auf plus unendlich ansteigt, nimmt die Funktion von unendlich auf einschließlich Null ab, d. h. für gegebene Werte des Arguments haben wir eine monoton fallende Funktion ().

2. Die einfachsten exponentiellen Ungleichungen, Lösungsmethode, Beispiel

Basierend auf dem oben Gesagten stellen wir eine Methode zur Lösung einfacher exponentieller Ungleichungen vor:

Technik zur Lösung von Ungleichungen:

Die Grundlagen der Abschlüsse ausgleichen;

Vergleichen Sie Metriken durch Speichern oder Ändern entgegengesetztem Vorzeichen Ungleichheiten.

Die Lösung komplexer exponentieller Ungleichungen besteht normalerweise darin, sie auf die einfachsten exponentiellen Ungleichungen zu reduzieren.

Die Basis des Grades ist größer als eins, was bedeutet, dass das Ungleichheitszeichen erhalten bleibt:

Lasst uns transformieren rechte Seite nach den Eigenschaften des Abschlusses:

Die Basis des Grades ist kleiner als eins, das Ungleichheitszeichen muss umgekehrt werden:

Um die quadratische Ungleichung zu lösen, lösen wir das entsprechende quadratische Gleichung:

Mit dem Satz von Vieta finden wir die Wurzeln:

Die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet.

Somit haben wir eine Lösung für die Ungleichung:

Es ist leicht zu erraten, dass die rechte Seite als Potenz mit einem Exponenten von Null dargestellt werden kann:

Die Basis des Grades ist größer als eins, das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht, wir erhalten:

Erinnern wir uns an die Technik zur Lösung solcher Ungleichungen.

Betrachten Sie die gebrochenrationale Funktion:

Wir finden den Definitionsbereich:

Finden der Wurzeln der Funktion:

Die Funktion hat eine einzelne Wurzel,

Wir wählen Intervalle mit konstantem Vorzeichen aus und bestimmen die Vorzeichen der Funktion für jedes Intervall:

Reis. 2. Intervalle der Vorzeichenkonstanz

So haben wir die Antwort erhalten.

Antwort:

3. Lösung standardmäßiger exponentieller Ungleichungen

Betrachten wir Ungleichheiten mit denselben Indikatoren, aber unterschiedlichen Grundlagen.

Eine der Eigenschaften der Exponentialfunktion besteht darin, dass sie für jeden Wert des Arguments strikt annimmt positive Werte, was bedeutet, dass es in eine Exponentialfunktion unterteilt werden kann. Teilen wir die gegebene Ungleichung durch ihre rechte Seite:

Ist die Basis des Grades größer als eins, bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten.

Lassen Sie uns die Lösung veranschaulichen:

Abbildung 6.3 zeigt Diagramme von Funktionen und . Wenn das Argument größer als Null ist, liegt der Graph der Funktion offensichtlich höher und diese Funktion ist größer. Wenn die Argumentwerte negativ sind, wird die Funktion kleiner, also kleiner. Wenn das Argument gleich ist, sind auch die Funktionen gleich, was bedeutet, dass dieser Punkt auch eine Lösung der gegebenen Ungleichung ist.

Reis. 3. Abbildung zum Beispiel 4

Transformieren wir die gegebene Ungleichung entsprechend den Eigenschaften des Grades:

Hier sind einige ähnliche Begriffe:

Teilen wir beide Teile auf in:

Jetzt lösen wir analog zu Beispiel 4 weiter, dividieren beide Teile durch:

Die Basis des Grades ist größer als eins, das Ungleichheitszeichen bleibt:

4. Grafische Lösung exponentieller Ungleichungen

Beispiel 6 – Lösen Sie die Ungleichung grafisch:

Schauen wir uns die Funktionen auf der linken und rechten Seite an und erstellen für jede davon ein Diagramm.

Die Funktion ist exponentiell und wächst über ihren gesamten Definitionsbereich, also für alle reellen Werte des Arguments.

Die Funktion ist linear und nimmt über ihren gesamten Definitionsbereich ab, also für alle reellen Werte des Arguments.

Wenn sich diese Funktionen schneiden, das System also eine Lösung hat, dann ist eine solche Lösung eindeutig und kann leicht erraten werden. Dazu iterieren wir über ganze Zahlen ()

Es ist leicht zu erkennen, dass die Wurzel dieses Systems folgende ist:

Somit schneiden sich die Graphen der Funktionen in einem Punkt mit einem Argument gleich eins.

Jetzt müssen wir eine Antwort bekommen. Die Bedeutung der gegebenen Ungleichung besteht darin, dass der Exponent größer oder gleich sein muss lineare Funktion, das heißt, höher zu sein oder damit zusammenzufallen. Die Antwort liegt auf der Hand: (Abbildung 6.4)

Reis. 4. Abbildung zum Beispiel 6

Deshalb haben wir uns mit der Lösung verschiedener standardmäßiger exponentieller Ungleichungen befasst. Als nächstes betrachten wir komplexere exponentielle Ungleichungen.

Referenzliste

Mordkovich A. G. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. - M.: Trappe. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. - M.: Aufklärung.

Mathematik. md. Mathematik-Wiederholung. com. Diffur. kemsu. ru.

Hausaufgaben

1. Algebra und die Anfänge der Analysis, Klassen 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, Nr. 472, 473;

2. Lösen Sie die Ungleichung:

3. Lösen Sie die Ungleichung.

Staatliche Universität Belgorod

ABTEILUNG Algebra, Zahlentheorie und Geometrie

Arbeitsthema: Exponentielle Potenzgleichungen und Ungleichungen.

Diplomarbeit Student der Fakultät für Physik und Mathematik

Wissenschaftlicher Leiter:

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Rezensent: _______________________________

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Belgorod. 2006

Einführung.

„...die Freude am Sehen und Verstehen...“

A. Einstein.

In dieser Arbeit habe ich versucht, meine Erfahrungen aus der Arbeit als Mathematiklehrer zu vermitteln, zumindest teilweise meine Einstellung zum Mathematikunterricht zu vermitteln – ein menschliches Unterfangen, bei dem beides überraschend miteinander verflochten ist. mathematische Wissenschaft und Pädagogik und Didaktik und Psychologie und sogar Philosophie.

Ich hatte die Gelegenheit, mit Kindern und Absolventen zu arbeiten, mit Kindern, die an den Stangen standen intellektuelle Entwicklung: diejenigen, die bei einem Psychiater registriert waren und sich wirklich für Mathematik interessierten

Ich hatte die Gelegenheit, viele methodische Probleme zu lösen. Ich werde versuchen, über diejenigen zu sprechen, die ich gelöst habe. Aber noch mehr sind gescheitert, und selbst bei denen, die gelöst zu sein scheinen, tauchen neue Fragen auf.

Aber noch wichtiger als das Erlebnis selbst sind die Überlegungen und Zweifel des Lehrers: Warum ist es genau so, dieses Erlebnis?

Und der Sommer ist jetzt anders und die Entwicklung der Bildung ist interessanter geworden. „Under the Jupiters“ ist keine Suche nach Mythen optimales System„jeden und alles“ lehren, außer dem Kind selbst. Aber dann – notgedrungen – der Lehrer.

IN Schulkurs Algebra und Beginn der Analysis, Klassen 10 - 11, mit Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens pro Kurs weiterführende Schule und bei Aufnahmeprüfungen an Universitäten gibt es Gleichungen und Ungleichungen, die eine Unbekannte in der Basis und in Exponenten enthalten – das sind Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

In der Schule wird ihnen wenig Beachtung geschenkt, in Lehrbüchern gibt es praktisch keine Aufgaben zu diesem Thema. Die Beherrschung der Methodik zu ihrer Lösung erscheint mir jedoch sehr sinnvoll: Sie steigert die geistigen und kreativen Fähigkeiten der Studierenden und eröffnet uns völlig neue Horizonte. Beim Lösen von Problemen erwerben Studierende erste Kompetenzen Forschungsarbeit, ihre mathematische Kultur wird bereichert, ihre Fähigkeiten dazu logisches Denken. Schulkinder entwickeln Persönlichkeitseigenschaften wie Entschlossenheit, Zielsetzung und Unabhängigkeit, die ihnen im späteren Leben von Nutzen sein werden. Und es gibt auch Wiederholung, Erweiterung und tiefe Assimilation von Lehrmaterial.

Ich begann mit der Arbeit an diesem Thema für meine Abschlussarbeit, indem ich meine Hausarbeit schrieb. Während ich die mathematische Literatur zu diesem Thema eingehend studierte und analysierte, identifizierte ich die am besten geeignete Methode zur Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

Es liegt darin, dass zusätzlich zum allgemein akzeptierten Ansatz bei der Lösung von Exponentialgleichungen (die Basis wird größer als 0 angenommen) und bei der Lösung der gleichen Ungleichungen (die Basis wird größer als 1 oder größer als 0, aber kleiner als 1 angenommen) Es werden auch Fälle berücksichtigt, in denen die Basen negativ sind, also gleich 0 und 1.

Eine Analyse der schriftlichen Prüfungsarbeiten der Studierenden zeigt, dass die Fragestellung mangelhaft behandelt wird negativer Wert Die Argumentation der Exponentialfunktion in Schulbüchern bereitet ihnen eine Reihe von Schwierigkeiten und führt zu Fehlern. Und sie haben auch Probleme bei der Systematisierung der erhaltenen Ergebnisse, wo durch den Übergang zu einer Gleichung – einer Konsequenz oder einer Ungleichung – einer Konsequenz Fremdwurzeln auftreten können. Um Fehler zu beseitigen, verwenden wir einen Test unter Verwendung der ursprünglichen Gleichung oder Ungleichung und eines Algorithmus zur Lösung exponentieller Gleichungen oder eines Plans zur Lösung exponentieller Ungleichungen.

Damit Studierende die Abschluss- und Aufnahmeprüfungen erfolgreich bestehen, ist es meiner Meinung nach notwendig, der Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen mehr Aufmerksamkeit zu schenken Trainingssitzungen, oder zusätzlich in Wahlfächern und Vereinen.

Auf diese Weise Thema , Mein These ist wie folgt definiert: „Exponentielle Potenzgleichungen und Ungleichungen.“

Ziele dieser Arbeit Sind:

1. Analysieren Sie die Literatur zu diesem Thema.

2. Geben vollständige Analyse Lösen exponentieller Potenzgleichungen und Ungleichungen.

3. Stellen Sie eine ausreichende Anzahl von Beispielen unterschiedlicher Art zu diesem Thema bereit.

4. Prüfen Sie im Klassen-, Wahlfach- und Vereinsunterricht, wie die vorgeschlagenen Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen wahrgenommen werden. Geben Sie entsprechende Empfehlungen zum Studium dieses Themas.

Thema Unsere Forschung besteht darin, eine Methodik zur Lösung exponentieller Gleichungen und Ungleichungen zu entwickeln.

Der Zweck und das Thema der Studie erforderten die Lösung folgender Probleme:

1. Studieren Sie die Literatur zum Thema: „Exponentielle Potenzgleichungen und Ungleichungen“.

2. Beherrschen Sie die Techniken zum Lösen von Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

3. Wählen Sie Schulungsmaterial aus und entwickeln Sie ein System von Übungen auf verschiedenen Ebenen zum Thema: „Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen lösen“.

Während der Dissertationsforschung wurden mehr als 20 Arbeiten zur Verwendung von erstellt verschiedene Methoden Lösen exponentieller Potenzgleichungen und Ungleichungen. Von hier aus bekommen wir.

Abschlussarbeitsplan:

Einführung.

Kapitel I. Analyse der Literatur zum Forschungsthema.

Kapitel II. Funktionen und ihre Eigenschaften zur Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

II.1. Potenzfunktion und ihre Eigenschaften.

II.2. Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften.

Kapitel III. Lösung exponentieller Potenzgleichungen, Algorithmus und Beispiele.

Kapitel IV. Lösung exponentieller Ungleichungen, Lösungsplan und Beispiele.

Kapitel V. Erfahrungen mit der Durchführung von Unterrichtsstunden mit Schülern zu diesem Thema.

1. Schulungsmaterial.

2.Aufgaben zur eigenständigen Lösung.

Abschluss. Schlussfolgerungen und Angebote.

Liste der verwendeten Literatur.

Kapitel I analysiert die Literatur

Exponentialgleichungen und Ungleichungen sind solche, bei denen die Unbekannte im Exponenten enthalten ist.

Bei der Lösung von Exponentialgleichungen geht es oft darum, die Gleichung a x = a b zu lösen, wobei a > 0, a ≠ 1 und x eine Unbekannte ist. Diese Gleichung hat eine einzige Wurzel x = b, da der folgende Satz wahr ist:

Satz. Wenn a > 0, a ≠ 1 und a x 1 = a x 2, dann ist x 1 = x 2.

Lassen Sie uns die betrachtete Aussage begründen.

Nehmen wir an, dass die Gleichheit x 1 = x 2 nicht gilt, d.h. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, dann nimmt die Exponentialfunktion y = a x zu und daher muss die Ungleichung a x 1 erfüllt sein< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. In beiden Fällen erhielten wir einen Widerspruch zur Bedingung a x 1 = a x 2.

Betrachten wir mehrere Probleme.

Lösen Sie die Gleichung 4 ∙ 2 x = 1.

Lösung.

Schreiben wir die Gleichung in der Form 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, woraus wir x + 2 = 0 erhalten, d.h. x = -2.

Antwort. x = -2.

Lösen Sie Gleichung 2 3x ∙ 3 x = 576.

Lösung.

Da 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, kann die Gleichung als 8 x ∙ 3 x = 24 2 oder als 24 x = 24 2 geschrieben werden.

Von hier aus erhalten wir x = 2.

Antwort. x = 2.

Lösen Sie die Gleichung 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Lösung.

Wenn wir den gemeinsamen Faktor 3 x - 2 aus den Klammern auf der linken Seite nehmen, erhalten wir 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

daher 3 x - 2 = 1, d.h. x – 2 = 0, x = 2.

Antwort. x = 2.

Lösen Sie die Gleichung 3 x = 7 x.

Lösung.

Da 7 x ≠ 0, kann die Gleichung als 3 x /7 x = 1 geschrieben werden, woraus (3/7) x = 1, x = 0.

Antwort. x = 0.

Lösen Sie die Gleichung 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Lösung.

Durch Ersetzen von 3 x = a wird diese Gleichung auf die quadratische Gleichung a 2 – 4a – 45 = 0 reduziert.

Wenn wir diese Gleichung lösen, finden wir ihre Wurzeln: a 1 = 9 und 2 = -5, woraus 3 x = 9, 3 x = -5.

Die Gleichung 3 x = 9 hat Wurzel 2 und die Gleichung 3 x = -5 hat keine Wurzeln, da die Exponentialfunktion keine negativen Werte annehmen kann.

Antwort. x = 2.

Bei der Lösung exponentieller Ungleichungen geht es oft darum, die Ungleichungen a x > a b oder a x zu lösen< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Schauen wir uns einige Probleme an.

Lösen Sie die Ungleichung 3 x< 81.

Lösung.

Schreiben wir die Ungleichung in der Form 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, dann nimmt die Funktion y = 3 x zu.

Daher gilt für x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Also bei x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Antwort. X< 4.

Lösen Sie die Ungleichung 16 x +4 x – 2 > 0.

Lösung.

Bezeichnen wir 4 x = t, dann erhalten wir die quadratische Ungleichung t2 + t – 2 > 0.

Diese Ungleichung gilt für t< -2 и при t > 1.

Da t = 4 x, erhalten wir zwei Ungleichungen 4 x< -2, 4 х > 1.

Die erste Ungleichung hat keine Lösungen, da 4 x > 0 für alle x € R.

Wir schreiben die zweite Ungleichung in der Form 4 x > 4 0, daher ist x > 0.

Antwort. x > 0.

Lösen Sie grafisch die Gleichung (1/3) x = x – 2/3.

Lösung.

1) Lassen Sie uns Diagramme der Funktionen y = (1/3) x und y = x – 2/3 erstellen.

2) Basierend auf unserer Abbildung können wir schließen, dass sich die Graphen der betrachteten Funktionen im Punkt mit der Abszisse x ≈ 1 schneiden. Eine Überprüfung beweist dies

x = 1 ist die Wurzel dieser Gleichung:

(1/3) 1 = 1/3 und 1 – 2/3 = 1/3.

Mit anderen Worten: Wir haben eine der Wurzeln der Gleichung gefunden.

3) Lassen Sie uns andere Wurzeln finden oder beweisen, dass es keine gibt. Die Funktion (1/3) x nimmt ab und die Funktion y = x – 2/3 nimmt zu. Daher sind für x > 1 die Werte der ersten Funktion kleiner als 1/3 und die der zweiten – mehr als 1/3; bei x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 und x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Antwort. x = 1.

Beachten Sie, dass insbesondere aus der Lösung dieses Problems folgt, dass die Ungleichung (1/3) x > x – 2/3 für x erfüllt ist< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

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und x = b ist die einfachste Exponentialgleichung. In ihm A größer als Null und A ist nicht gleich eins.

Exponentialgleichungen lösen

Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion wissen wir, dass ihr Wertebereich auf positive reelle Zahlen beschränkt ist. Wenn dann b = 0 ist, hat die Gleichung keine Lösungen. Die gleiche Situation tritt in der Gleichung auf, in der b

Nehmen wir nun an, dass b>0. Wenn in der Exponentialfunktion die Basis A größer als eins ist, dann nimmt die Funktion über den gesamten Definitionsbereich zu. Wenn in der Exponentialfunktion für die Basis A Erledigt nächste Bedingung 0

Auf dieser Grundlage und unter Anwendung des Wurzelsatzes finden wir, dass die Gleichung a x = b eine einzige Wurzel hat, für b>0 und positiv A nicht gleich eins. Um es zu finden, müssen Sie b als b = a c darstellen.
Dann ist es offensichtlich Mit wird eine Lösung der Gleichung a x = a c sein.

Betrachten Sie das folgende Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

Stellen wir uns 25 als 5 2 vor, wir erhalten:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Oder was ist äquivalent:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Wir lösen die resultierende quadratische Gleichung mit einem beliebigen von bekannte Methoden. Wir erhalten zwei Wurzeln x = 3 und x = -1.

Antwort: 3;-1.

Lösen wir die Gleichung 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Nehmen wir die Ersetzung vor: t=2 x und erhalten die folgende quadratische Gleichung:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Wir lösen diese Gleichung mit einer der bekannten Methoden. Wir erhalten die Wurzeln t1 = 1 t2 = 4

Nun lösen wir die Gleichungen 2 x = 1 und 2 x = 4.

Antwort: 0;2.

Exponentielle Ungleichungen lösen

Die Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen basiert ebenfalls auf den Eigenschaften steigender und fallender Funktionen. Wenn in einer Exponentialfunktion die Basis a größer als eins ist, dann wächst die Funktion über den gesamten Definitionsbereich. Wenn in der Exponentialfunktion für die Basis A die folgende Bedingung ist erfüllt 0, dann nimmt diese Funktion über die gesamte Menge der reellen Zahlen ab.