Fungsi 3 akar x. Fungsi pangkat dan akar - definisi, properti, dan rumus

Bukannya memperkenalkan

Penggunaan teknologi modern (CTE) dan alat peraga (papan multimedia) dalam pembelajaran membantu guru merencanakan dan melaksanakan pembelajaran yang efektif, menciptakan kondisi bagi siswa untuk secara sadar memahami, menghafal dan melatih keterampilan.

Pembelajaran menjadi dinamis dan menarik jika dilakukan tepat waktu sesi pelatihan menggabungkan berbagai bentuk pelatihan.

Dalam didaktik modern, ada empat bentuk organisasi umum pelatihan:

• dimediasi secara individual;
• ruang uap;
• kelompok;

kolektif (berpasangan shift). (Dyachenko V.K. Didaktik modern. - M.: Edukasi publik, 2005).

Dalam pelajaran tradisional, biasanya, hanya tiga bentuk organisasi pengajaran pertama yang disebutkan di atas yang digunakan. Bentuk pengajaran kolektif (bekerja berpasangan secara bergiliran) praktis tidak digunakan oleh guru. Namun, bentuk pelatihan organisasi ini memungkinkan tim untuk melatih semua orang dan setiap orang untuk berpartisipasi aktif dalam pelatihan orang lain. Bentuk pelatihan kolektif merupakan yang terdepan dalam teknologi CSR.

Salah satu metode teknologi pembelajaran kolektif yang paling umum adalah teknik “Mutual Training”.

Teknik "ajaib" ini bagus dalam mata pelajaran apa pun dan pelajaran apa pun. Tujuannya adalah pelatihan.

Pelatihan merupakan penerus pengendalian diri, membantu siswa menjalin kontak dengan subjek pelajaran, sehingga memudahkan dalam menemukan langkah dan tindakan yang tepat. Melalui pelatihan perolehan, konsolidasi, pengelompokan kembali, revisi, dan penerapan pengetahuan, kemampuan kognitif seseorang berkembang. (Yanovitskaya E.V. Cara mengajar dan belajar di pelajaran seperti ini ingin belajar. Buku referensi album. – St.Petersburg: Proyek pendidikan, M.: Penerbit A.M. Kushnir, 2009.-Hal.14;131)

Ini akan membantu Anda mengulangi aturan dengan cepat, mengingat jawaban atas pertanyaan yang telah Anda pelajari, dan mengkonsolidasikan keterampilan yang diperlukan. Waktu optimal untuk bekerja dengan metode ini adalah 5-10 menit. Biasanya pengerjaan kartu pelatihan dilakukan pada saat perhitungan lisan, yaitu pada awal pembelajaran, tetapi atas kebijaksanaan guru dapat dilakukan pada setiap tahap pembelajaran, tergantung pada tujuan dan strukturnya. . Kartu pelatihan dapat berisi 5 hingga 10 contoh sederhana (pertanyaan, tugas). Setiap siswa di kelas menerima sebuah kartu. Kartunya berbeda untuk setiap orang atau berbeda untuk setiap orang dalam “pasukan gabungan” (anak-anak yang duduk di baris yang sama). Detasemen gabungan (kelompok) adalah kerjasama sementara siswa yang dibentuk untuk melaksanakan tugas pendidikan tertentu. (Yalovets T.V. Teknologi metode pengajaran kolektif dalam pelatihan guru: Manual pendidikan dan metodologi. - Novokuznetsk: IPK Publishing House, 2005. - P. 122)

Proyek pelajaran tentang topik tersebut “Fungsi y=, sifat dan grafiknya”

Dalam proyek pembelajaran yang topiknya adalah: “ Fungsi y=, properti dan grafiknya” Disajikan penggunaan teknik pelatihan timbal balik yang dikombinasikan dengan penggunaan alat pengajaran tradisional dan multimedia.

Topik pelajaran: “ Fungsi kamu=, properti dan grafiknya”

Sasaran:

• persiapan ujian;
• menguji pengetahuan tentang semua sifat suatu fungsi dan kemampuan membuat grafik fungsi dan membaca sifat-sifatnya.

Tugas: tingkat subjek:

tingkat supra-mata pelajaran:

• belajar menganalisis informasi grafis;
• melatih kemampuan melakukan dialog;
• mengembangkan kemampuan bekerja dengan papan tulis interaktif menggunakan contoh bekerja dengan grafik.

Mari kita ungkap lebih detail isi setiap tahapan.

1. Masukan Informasi Guru (TII) meliputi Waktu pengorganisasian; mengartikulasikan topik, tujuan dan rencana pembelajaran; menunjukkan contoh kerja berpasangan dengan metode saling melatih.

Demonstrasi contoh kerja berpasangan oleh siswa pada tahap pembelajaran ini disarankan untuk mengulang algoritma kerja metodologi yang kita perlukan, karena pada tahap pelajaran berikutnya, semua pekerjaan direncanakan tim yang keren. Pada saat yang sama, Anda dapat menyebutkan kesalahan dalam bekerja dengan algoritme (jika ada), serta mengevaluasi pekerjaan siswa tersebut.

2. Pemutakhiran pengetahuan dasar dilakukan secara berpasangan dengan metode saling latih.

Algoritme metodologi mencakup bentuk pelatihan organisasi individu, berpasangan (pasangan statis) dan kolektif (pasangan shift).

Perorangan: setiap orang yang menerima kartu mengetahui isinya (membaca tanya jawab di bagian belakang kartu).

• Pertama(dalam peran “peserta pelatihan”) membaca tugas dan menjawab pertanyaan di kartu mitra;
• Kedua(dalam peran “pelatih”) – memeriksa kebenaran jawaban di bagian belakang kartu;
• bekerja dengan cara yang sama di kartu lain, berganti peran;
• membuat tanda pada lembar tersendiri dan bertukar kartu;
• pindah ke pasangan baru.

Kolektif:

• pada pasangan baru mereka bekerja seperti pada pasangan pertama; transisi ke pasangan baru, dll.

Banyaknya peralihan tergantung pada waktu yang diberikan guru untuk tahap pembelajaran ini, pada ketekunan dan kecepatan pemahaman setiap siswa dan pada mitra kerja bersama.

Setelah bekerja berpasangan, siswa memberi nilai pada lembar catatannya, dan guru melakukan analisis kuantitatif dan kualitatif terhadap pekerjaannya.

Lembar akuntansi mungkin terlihat seperti ini:

Ivanov Petya kelas 7 “b”.

3. Pengenalan topik “Fungsi y=, sifat-sifatnya dan grafiknya” dilakukan oleh guru dalam bentuk presentasi menggunakan perangkat pembelajaran multimedia (Lampiran 4). Di satu sisi, ini adalah versi kejelasan yang dapat dipahami oleh siswa modern, di sisi lain, menghemat waktu dalam menjelaskan materi baru.

4. Pemantapan materi yang baru dipelajari dan sudah dibahas dengan topik “Fungsi ” disusun dalam dua versi, menggunakan alat pengajaran tradisional (papan tulis, buku teks) dan yang inovatif (papan tulis interaktif).

Pertama, beberapa tugas dari buku teks ditawarkan untuk mengkonsolidasikan materi yang baru dipelajari. Buku teks yang digunakan untuk mengajar digunakan. Pekerjaan dilakukan secara bersamaan dengan seluruh kelas. Dalam hal ini, satu siswa menyelesaikan tugas "a" - di papan tradisional; yang lainnya adalah tugas "b" aktif papan tulis interaktif, siswa lainnya menuliskan penyelesaian tugas yang sama di buku catatan dan membandingkan penyelesaiannya dengan penyelesaian yang disajikan di papan tulis. Selanjutnya guru mengevaluasi pekerjaan siswa di papan tulis.

Kemudian, untuk lebih cepat mengkonsolidasikan materi yang dipelajari pada topik “Fungsi”, diusulkan pekerjaan frontal dengan papan tulis interaktif, yang dapat disusun sebagai berikut:

• tugas dan jadwal muncul di papan interaktif;
• seorang siswa yang ingin menjawab pergi ke papan tulis, melakukan konstruksi yang diperlukan dan menyuarakan jawabannya;
• tugas baru dan jadwal baru muncul di papan;
• Siswa lain keluar untuk menjawab.

Dengan demikian, dalam waktu yang singkat dimungkinkan untuk menyelesaikan tugas yang cukup banyak dan mengevaluasi jawaban siswa. Beberapa tugas yang menarik (mirip dengan tugas yang akan datang pekerjaan tes), dapat dicatat dalam buku catatan.

5. Pada tahap pengendalian diri, siswa diberikan tes yang dilanjutkan dengan tes diri (Lampiran 3).

literatur

1. Dyachenko, V.K. Didaktik modern [Teks] / V.K. Dyachenko - M.: Pendidikan publik, 2005.
2. Yalovets, T.V. Teknologi metode pengajaran kolektif dalam pelatihan guru: Manual pendidikan dan metodologi[Teks] / T.V. Yalovets. – Novokuznetsk: Rumah Penerbitan IPK, 2005.
3. Yanovitskaya, E.V. Bagaimana cara mengajar dan belajar dalam suatu pelajaran agar mau belajar. Album referensi [Teks] / E.V. Yanovitskaya. – St.Petersburg: Proyek pendidikan, M.: Penerbit A.M. Kushnir, 2009.

Yang sama dengan $A.$ Dengan kata lain, ini adalah solusi persamaan tersebut $x^3\; =\; a$(biasanya yang dimaksud adalah solusi nyata).

Akar nyata

Bentuk demonstratif

Akar bilangan kompleks dapat didefinisikan sebagai berikut:

$x^(1/3)\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln(x))$

Jika Anda bayangkan $X$ Bagaimana

$x\; =\; r\backslash exp(i\backslash theta)$

maka rumus bilangan kubik adalah:

$\backslash sqrt(x)\; =\; \backslash sqrt(r)\backslash exp\; (\backslash tfrac13\; i\backslash theta).$

Secara geometris ini berarti bahwa di koordinat kutub kita mengambil akar pangkat tiga dari jari-jari dan membagi sudut kutub dengan tiga untuk menentukan akar pangkat tiga. Jadi jika $X$ rumit, kalau begitu $\backslash sqrt(-8)$ berarti tidak $-2$, Akan $1\; +\; i\backslash sqrt(3).$

Pada kepadatan materi yang konstan, dimensi dua benda serupa berhubungan satu sama lain sebagai akar pangkat tiga massanya. Jadi, jika satu semangka memiliki berat dua kali lipat berat semangka lainnya, maka diameternya (dan juga kelilingnya) hanya akan sedikit lebih dari seperempat (26%) lebih besar dari semangka pertama; dan secara kasat mata sepertinya perbedaan bobotnya tidak begitu signifikan. Oleh karena itu, jika tidak ada sisiknya (dijual dengan mata), biasanya lebih menguntungkan membeli buah yang lebih besar.

Metode perhitungan

Kolom

Sebelum memulai, Anda perlu membagi angka menjadi tiga kali lipat (bagian bilangan bulat - dari kanan ke kiri, bagian pecahan - dari kiri ke kanan). Saat Anda mencapai koma desimal, Anda harus menambahkan koma desimal di akhir hasilnya.

Algoritmanya adalah sebagai berikut:

1. Carilah suatu bilangan yang pangkat tiganya lebih kecil dari kelompok angka pertama, tetapi bila bertambah 1 maka bilangan itu menjadi lebih besar. Tuliskan nomor yang Anda temukan di sebelah kanannya nomor yang diberikan. Tuliskan angka 3 di bawahnya.
2. Tuliskan pangkat tiga dari bilangan yang ditemukan di bawah kelompok bilangan pertama dan kurangi. Tuliskan hasil setelah pengurangan di bawah tanda pengurang. Selanjutnya, catat kelompok angka berikutnya.
3. Selanjutnya kita ganti jawaban perantara yang ditemukan dengan huruf $A$. Hitung menggunakan rumus $$ nomor seperti itu $X$ yang hasilnya lebih kecil dari angka yang lebih rendah, namun bila ditambah 1 menjadi lebih besar. Tuliskan apa yang Anda temukan $X$ di sebelah kanan jawabannya. Jika akurasi yang diperlukan tercapai, hentikan penghitungan.
4. Tuliskan hasil perhitungan di bawah angka terbawah dengan menggunakan rumus $300\backslash kali\; a^2\backslash kali\; x+30\backslash kali\; a\backslash kali\; x^2+x^3$ dan lakukan pengurangan. Lanjutkan ke langkah 3.

Lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Akar kubik"

literatur

• Korn G., Korn T. 1.3-3. Representasi jumlah, hasil kali, dan hasil bagi. Kekuatan dan Akar // Buku Pegangan Matematika. - Edisi ke-4. - M.: Nauka, 1978. - Hal.32-33.

Kutipan yang mencirikan akar pangkat tiga

Pada pukul sembilan pagi, ketika pasukan sudah bergerak melalui Moskow, tidak ada orang lain yang datang untuk menanyakan perintah penghitung. Setiap orang yang bisa pergi melakukannya atas kemauannya sendiri; mereka yang tetap tinggal memutuskan sendiri apa yang harus mereka lakukan.
Count memerintahkan kuda-kuda itu dibawa untuk pergi ke Sokolniki, dan, sambil mengerutkan kening, menguning dan diam, dengan tangan terlipat, dia duduk di kantornya.
Di masa tenang, bukan masa badai, bagi setiap administrator tampaknya hanya melalui usahanya seluruh penduduk yang berada di bawah kendalinya bergerak, dan dalam kesadaran akan kebutuhannya, setiap administrator merasakan imbalan utama atas kerja keras dan usahanya. Jelaslah bahwa selama laut bersejarah itu tenang, penguasa-administrator, dengan perahunya yang rapuh menyandarkan tiangnya pada kapal rakyat dan dirinya bergerak, harus tampak baginya bahwa melalui usahanya kapal yang ditumpanginya adalah kapal yang ditumpanginya. bergerak. Tetapi begitu badai muncul, laut menjadi bergejolak dan kapal itu sendiri bergerak, maka khayalan menjadi mustahil. Kapal bergerak dengan kecepatannya yang sangat besar dan mandiri, tiang tidak mencapai kapal yang bergerak, dan penguasa tiba-tiba berubah dari posisi penguasa, sumber kekuatan, menjadi orang yang tidak berarti, tidak berguna dan lemah.
Rastopchin merasakan hal ini, dan itu membuatnya jengkel. Kapolres yang dihadang massa bersama ajudannya yang datang untuk melaporkan bahwa kudanya sudah siap, ikut menghitung. Keduanya pucat, dan kepala polisi, ketika melaporkan pelaksanaan tugasnya, mengatakan bahwa ada banyak sekali orang yang ingin bertemu dengannya di halaman Count.
Rastopchin, tanpa menjawab sepatah kata pun, berdiri dan dengan cepat masuk ke ruang tamunya yang mewah dan terang, berjalan ke pintu balkon, meraih pegangannya, meninggalkannya dan pindah ke jendela, dari mana seluruh kerumunan dapat terlihat lebih jelas. Seorang lelaki jangkung berdiri di barisan depan dan dengan wajah tegas, melambaikan tangannya, mengatakan sesuatu. Pandai besi berdarah itu berdiri di sampingnya dengan tatapan muram. Suara dengungan terdengar melalui jendela yang tertutup.
- Apakah kru sudah siap? - kata Rastopchin sambil menjauh dari jendela.
“Siap, Yang Mulia,” kata ajudan.
Rastopchin kembali mendekati pintu balkon.
- Apa yang mereka inginkan? – dia bertanya kepada kepala polisi.
- Yang Mulia, mereka mengatakan bahwa mereka akan melawan Prancis atas perintah Anda, mereka meneriakkan sesuatu tentang pengkhianatan. Tapi kerumunan yang kejam, Yang Mulia. Saya pergi dengan paksa. Yang Mulia, saya berani menyarankan...
“Jika kamu berkenan, pergilah, aku tahu apa yang harus kulakukan tanpamu,” teriak Rostopchin dengan marah. Dia berdiri di pintu balkon, memandang ke arah kerumunan. “Inilah yang mereka lakukan terhadap Rusia! Inilah yang mereka lakukan padaku!” - pikir Rostopchin, merasakan kemarahan yang tak terkendali muncul dalam jiwanya terhadap seseorang yang dapat dikaitkan dengan penyebab semua yang terjadi. Seperti yang sering terjadi pada orang yang pemarah, amarah sudah merasuki dirinya, namun ia mencari topik lain untuk melampiaskannya. “La voila la populace, la lie du peuple,” pikirnya sambil melihat ke arah kerumunan, “la plebe qu'ils ont soulevee par leur sottise. Il leur faut une Victime, [“Ini dia, teman-teman, sampah-sampah ini populasi, kaum kampungan, yang mereka besarkan dengan kebodohan mereka! Mereka membutuhkan korban."] - terpikir olehnya, melihat pria jangkung itu melambaikan tangannya. Dan untuk alasan yang sama terlintas dalam pikirannya bahwa dia sendiri membutuhkan korban ini , objek kemarahannya ini.
- Apakah kru sudah siap? – dia bertanya lain kali.
- Siap, Yang Mulia. Apa yang Anda pesan tentang Vereshchagin? “Dia menunggu di beranda,” jawab ajudan.
- A! - Rostopchin berteriak, seolah dikejutkan oleh kenangan tak terduga.
Dan, dengan cepat membuka pintu, dia melangkah keluar ke balkon dengan langkah tegas. Percakapan tiba-tiba berhenti, topi dan topi dilepas, dan semua mata tertuju pada hitungan yang keluar.
- Hallo teman-teman! - kata hitungan dengan cepat dan keras. - Terima kasih sudah datang. Saya akan mengungkapkannya kepada Anda sekarang, tetapi pertama-tama kita harus berurusan dengan penjahatnya. Kita perlu menghukum penjahat yang membunuh Moskow. Tunggu aku! “Dan Count dengan cepat kembali ke kamarnya, membanting pintu dengan kuat.
Gumaman kenikmatan terdengar di antara kerumunan. “Itu artinya dia akan mengendalikan semua penjahat! Dan Anda bilang bahasa Prancis… dia akan memberikan Anda jarak penuh!” - kata orang-orang, seolah-olah saling mencela karena kurangnya iman.

Sifat-sifat dasar fungsi pangkat diberikan, termasuk rumus dan sifat-sifat akar. Derivatif, integral, ekspansi di seri kekuatan dan representasi melalui bilangan kompleks dari fungsi pangkat.

Definisi

Definisi
Fungsi daya dengan eksponen p adalah fungsi f (x) = xp, yang nilainya di titik x sama dengan nilai fungsi eksponensial dengan basis x di titik p.
Selain itu, f (0) = 0 hal = 0 untuk p > 0 .

Untuk nilai natural eksponen, fungsi pangkat adalah hasil kali n bilangan yang sama dengan x:
.
Ini didefinisikan untuk semua valid .

Untuk nilai eksponen rasional positif, fungsi pangkat adalah hasil kali n akar derajat m dari bilangan x:
.
Untuk m ganjil, didefinisikan untuk semua x nyata. Bahkan untuk m, fungsi pangkat didefinisikan untuk fungsi non-negatif.

Untuk negatif , fungsi pangkat ditentukan dengan rumus:
.
Oleh karena itu, hal ini tidak didefinisikan pada intinya.

Untuk nilai eksponen p yang irasional, fungsi pangkat ditentukan dengan rumus:
,
dimana a adalah bilangan positif sembarang yang tidak sama dengan satu: .
Kapan , itu didefinisikan untuk .
Kapan , fungsi pangkat didefinisikan untuk .

Kontinuitas. Suatu fungsi pangkat kontinu dalam domain definisinya.

Sifat dan rumus fungsi pangkat untuk x ≥ 0

Di sini kita akan mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat untuk tidak nilai-nilai negatif argumen x. Sebagaimana dinyatakan di atas, untuk nilai eksponen p tertentu, fungsi pangkat juga didefinisikan untuk nilai x negatif. Dalam hal ini sifat-sifatnya dapat diperoleh dari sifat-sifat , menggunakan genap atau ganjil. Kasus-kasus ini dibahas dan diilustrasikan secara rinci di halaman "".

Fungsi pangkat, y = x p, dengan eksponen p mempunyai sifat sebagai berikut:
(1.1) didefinisikan dan kontinu pada himpunan
pada ,
pada ;
(1.2) mempunyai banyak arti
pada ,
pada ;
(1.3) meningkat secara ketat dengan ,
sangat menurun sebagai ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Pembuktian sifat diberikan pada halaman “Fungsi pangkat (bukti kontinuitas dan sifat)”

Akar - definisi, rumus, properti

Definisi
Akar suatu bilangan x derajat n adalah bilangan yang jika dipangkatkan n menghasilkan x:
.
Di sini n = 2, 3, 4, ... - bilangan asli, lebih besar dari satu.

Anda juga dapat mengatakan bahwa akar suatu bilangan x berderajat n adalah akar (yaitu solusi) persamaan tersebut
.
Perhatikan bahwa fungsi tersebut merupakan kebalikan dari fungsi tersebut.

Akar kuadrat dari x adalah akar derajat 2: .

akar pangkat tiga dari nomor x adalah akar derajat 3: .

Gelar genap

Untuk pangkat genap n = 2 m, akarnya didefinisikan untuk x ≥ 0 . Rumus yang sering digunakan berlaku untuk x positif dan negatif:
.
Untuk akar kuadrat:
.

Urutan operasi yang dilakukan penting di sini - yaitu, pengkuadratan pertama dilakukan, menghasilkan bilangan non-negatif, dan kemudian akarnya diekstraksi (Anda dapat mengekstrak dari bilangan non-negatif Akar pangkat dua). Jika kita mengubah urutannya: , maka untuk x negatif akarnya tidak akan terdefinisi, dan dengan itu seluruh ekspresi akan menjadi tidak terdefinisi.

Gelar yang aneh

Untuk pangkat ganjil, akar ditentukan untuk semua x:
;
.

Sifat dan rumus akar

Akar dari x adalah fungsi pangkat:
.
Ketika x ≥ 0 rumus berikut berlaku:
;
;
, ;
.

Rumus ini juga dapat diterapkan untuk nilai variabel negatif. Anda hanya perlu memastikan bahwa ekspresi radikal dari kekuatan genap tidaklah negatif.

Nilai-nilai pribadi

Akar dari 0 adalah 0: .
Akar 1 sama dengan 1: .
Akar kuadrat dari 0 adalah 0: .
Akar kuadrat dari 1 adalah 1: .

Contoh. Akar dari akar

Mari kita lihat contoh akar kuadrat dari akar:
.
Mari kita ubah akar kuadrat dalam menggunakan rumus di atas:
.
Sekarang mari kita ubah root aslinya:
.
Jadi,
.

y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.

Berikut adalah grafik fungsi nilai non-negatif dari argumen x. Grafik fungsi pangkat yang ditentukan untuk nilai x negatif diberikan pada halaman “Fungsi pangkat, sifat-sifatnya, dan grafiknya"

Fungsi terbalik

Kebalikan dari fungsi pangkat dengan eksponen p adalah fungsi pangkat dengan eksponen 1/p.

Jika kemudian.

Turunan dari fungsi pangkat

Turunan dari orde ke-n:
;

Menurunkan rumus > > >

Integral dari fungsi pangkat

P ≠ - 1 ;
.

Ekspansi seri daya

Pada - 1 < x < 1 dekomposisi berikut terjadi:

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Perhatikan fungsi variabel kompleks z:
F (z) = zt.
Mari kita nyatakan variabel kompleks z dalam modulus r dan argumen φ (r = |z|):
z = r e saya φ .
Kami mewakili bilangan kompleks t dalam bentuk bagian nyata dan imajiner:
t = p + saya q .
Kita punya:

Selanjutnya, kami memperhitungkan bahwa argumen φ tidak didefinisikan secara unik:
,

Mari kita perhatikan kasus ketika q = 0 , yaitu eksponen - bilangan real, t = hal. Kemudian
.

Jika p bilangan bulat, maka kp bilangan bulat. Maka karena periodisitas fungsi trigonometri:
.
Artinya, fungsi eksponensial dengan eksponen bilangan bulat, untuk z tertentu, hanya memiliki satu nilai dan oleh karena itu tidak ambigu.

Jika p irasional, maka hasil kali kp untuk sembarang k tidak menghasilkan bilangan bulat. Karena k melewati serangkaian nilai yang tak terhingga k = 0, 1, 2, 3, ..., maka fungsi z p memiliki nilai yang tak terhingga banyaknya. Setiap kali argumen z bertambah 2π(satu putaran), kita pindah ke cabang fungsi baru.

Jika p rasional, maka dapat direpresentasikan sebagai:
, Di mana M N- bilangan bulat yang tidak mengandung pembagi persekutuan. Kemudian
.
N nilai pertama, dengan k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, diberikan arti yang berbeda kp:
.
Namun, nilai selanjutnya memberikan nilai yang berbeda dari nilai sebelumnya sebesar bilangan bulat. Misalnya ketika k = k 0+n kita punya:
.
Fungsi trigonometri, yang argumennya berbeda berdasarkan nilai kelipatan 2π, memiliki nilai yang sama. Oleh karena itu, dengan peningkatan k lebih lanjut, kita memperoleh nilai z p yang sama seperti untuk k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Jadi, fungsi eksponensial dengan eksponen rasional bersifat multinilai dan memiliki n nilai (cabang). Setiap kali argumen z bertambah 2π(satu putaran), kita pindah ke cabang fungsi baru. Setelah n putaran seperti itu, kita kembali ke cabang pertama tempat hitungan mundur dimulai.

Secara khusus, akar derajat n memiliki nilai n. Sebagai contoh, perhatikan akar ke-n dari bilangan real nomor positif z = x. Dalam hal ini φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Jadi, untuk akar kuadrat, n = 2 ,
.
Bahkan untuk k, (- 1 ) k = 1. Untuk k ganjil, (- 1 ) k = - 1.
Artinya, akar kuadrat memiliki dua arti: + dan -.

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi pangkat. Akar pangkat tiga. Sifat-sifat akar pangkat tiga"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 9
Kompleks pendidikan 1C: "Masalah aljabar dengan parameter, kelas 9–11" Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor Matematika 6.0"

Definisi fungsi pangkat - akar pangkat tiga

Mari kita periksa persamaannya: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Misalkan $\sqrt((-x))=a$ dan $\sqrt(x)=b$. Mari kita naikkan kedua ekspresi ke pangkat tiga. $–x=a^3$ dan $x=b^3$. Kemudian $a^3=-b^3$ atau $a=-b$. Dengan menggunakan notasi akar kita memperoleh identitas yang diinginkan.

Sifat-sifat akar pangkat tiga

Mari kita buktikan sifat kedua. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Kita menemukan bahwa bilangan $\sqrt(\frac(a)(b))$ pangkat tiga sama dengan $\frac(a)(b)$ dan kemudian sama dengan $\sqrt(\frac(a)(b))$ , yang dan perlu dibuktikan.

Teman-teman, mari kita buat grafik fungsi kita.
1) Domain definisi adalah himpunan bilangan real.
2) Fungsinya ganjil, karena $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Selanjutnya, perhatikan fungsi kita untuk $x≥0$, lalu tampilkan grafik relatif terhadap titik asal.
3) Fungsinya meningkat ketika $x≥0$. Untuk fungsi kita, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar, yang berarti bertambah.
4) Fungsinya tidak dibatasi dari atas. Faktanya, dari mana saja jumlah besar kita bisa menghitung akar ketiga, dan kita bisa mencapai tak terhingga, menemukan segalanya nilai-nilai besar argumen.
5) Untuk $x≥0$ nilai terkecilnya adalah 0. Sifat ini jelas.
Mari kita buat grafik fungsi dengan titik-titik di x≥0.

Mari kita buat grafik fungsi kita di seluruh domain definisi. Ingatlah bahwa fungsi kita ganjil.

Properti fungsi:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fungsi ganjil.
3) Meningkat sebesar (-∞;+∞).
4) Tidak terbatas.
5) Tidak ada nilai minimum dan maksimum.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Cembung ke bawah sebesar (-∞;0), cembung ke atas sebesar (0;+∞).

Contoh penyelesaian fungsi pangkat

2. Buatlah grafik fungsi tersebut. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Larutan. Grafik kita peroleh dari grafik fungsi $y=\sqrt(x)$, transfer paralel dua unit ke kanan dan tiga unit ke bawah.

3. Buat grafik fungsinya dan bacalah. $\begin(kasus)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(kasus)$.
Larutan. Mari kita buat dua grafik fungsi pada bidang koordinat yang sama, dengan mempertimbangkan kondisi kita. Untuk $x≥-1$ kita membuat grafik akar pangkat tiga, untuk $x≤-1$ kita membuat grafik fungsi linier.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fungsinya tidak genap dan tidak ganjil.
3) Berkurang sebesar (-∞;-1), bertambah (-1;+∞).
4) Tidak terbatas dari atas, dibatasi dari bawah.
5) Nilai terbesar TIDAK. Nilai terendah sama dengan minus satu.
6) Fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan.
7) E(kamu)= (-1;+∞).

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri