Tanda mana yang memberi plus ke plus. Mengapa minus dikali minus menghasilkan plus?

1) Mengapa minus satu dikalikan dikurangi satu sama dengan ditambah satu?
2) Mengapa dikurangi satu dikalikan ditambah satu sama dengan dikurangi satu?

"Musuh dari musuhku adalah temanku."

Cara termudah untuk menjawabnya adalah: “Karena ini adalah aturan tindakannya angka negatif" Aturan yang kita pelajari di sekolah dan terapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku pelajaran tidak menjelaskan mengapa peraturan tersebut berlaku demikian. Pertama-tama kita akan mencoba memahaminya berdasarkan sejarah perkembangan aritmatika, dan kemudian kita akan menjawab pertanyaan ini dari sudut pandang matematika modern.

Dahulu kala, orang hanya mengetahui bilangan asli: 1, 2, 3, ... Bilangan tersebut digunakan untuk menghitung peralatan, jarahan, musuh, dll. Namun bilangan itu sendiri tidak berguna - Anda harus mampu menanganinya. Penjumlahan jelas dan dapat dimengerti, dan selain itu, penjumlahan dua bilangan asli juga merupakan bilangan asli (seorang ahli matematika akan mengatakan bahwa himpunan bilangan asli ditutup pada operasi penjumlahan). Perkalian pada dasarnya sama dengan penjumlahan jika kita berbicara tentang bilangan asli. Dalam kehidupan, kita sering melakukan tindakan yang berkaitan dengan kedua operasi ini (misalnya, saat berbelanja, kita menjumlahkan dan mengalikan), dan aneh jika kita berpikir bahwa nenek moyang kita lebih jarang menjumpainya - penjumlahan dan perkalian sudah dikuasai umat manusia sejak lama. yang lalu. Seringkali Anda harus membagi beberapa besaran dengan besaran lain, tetapi di sini hasilnya tidak selalu dinyatakan sebagai bilangan asli - begitulah bilangan pecahan muncul.

Angka negatif telah muncul dalam dokumen India sejak abad ke-7 M; Orang Cina rupanya mulai menggunakannya lebih awal. Mereka digunakan untuk menghitung hutang atau perhitungan perantara untuk menyederhanakan solusi persamaan - itu hanya alat untuk mendapatkan jawaban positif. Fakta bahwa angka negatif, tidak seperti angka positif, tidak menunjukkan keberadaan entitas apa pun menyebabkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang benar-benar menghindari angka negatif: jika suatu soal memiliki jawaban negatif, mereka percaya bahwa tidak ada jawaban sama sekali. Ketidakpercayaan ini bertahan untuk waktu yang sangat lama, dan bahkan Descartes - salah satu "pendiri" matematika modern - menyebutnya "salah" (pada abad ke-17!).

Misalnya saja persamaannya 7x – 17 = 2x – 2. Ini dapat diselesaikan dengan cara ini: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan sisanya - ke kanan, itu akan berhasil 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3. Dengan solusi ini, kami bahkan tidak menemukan angka negatif.

Tetapi ada kemungkinan untuk melakukannya secara berbeda secara tidak sengaja: memindahkan suku-suku dari yang tidak diketahui ke sisi kanan dan dapatkan 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Untuk menemukan bilangan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu bilangan negatif dengan bilangan negatif lainnya: x = (–15)/(–5). Tapi jawaban yang benar sudah diketahui, dan masih bisa disimpulkan (–15)/(–5) = 3 .

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, logika yang menentukan aturan pengoperasian bilangan negatif menjadi jelas: hasil tindakan tersebut harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara lain, tanpa angka negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan bilangan negatif, kita menghilangkan pencarian solusi yang membosankan (jika persamaannya menjadi lebih rumit, dengan jumlah suku yang banyak) di mana semua tindakan dilakukan hanya pada bilangan asli. Selain itu, kita mungkin tidak lagi memikirkan kebermaknaan besaran yang diubah setiap saat - dan ini sudah merupakan langkah menuju transformasi matematika menjadi ilmu abstrak.

Aturan pengoperasian bilangan negatif tidak serta merta dibentuk, tetapi menjadi generalisasi dari berbagai contoh yang muncul dalam penyelesaian masalah terapan. Secara umum perkembangan matematika dapat dibagi menjadi beberapa tahap: setiap tahap berikutnya berbeda dari tahap sebelumnya dalam tingkat abstraksi baru dalam mempelajari objek. Jadi, pada abad ke-19, para ahli matematika menyadari bahwa bilangan bulat dan polinomial, terlepas dari semua perbedaan eksternalnya, memiliki banyak kesamaan: keduanya dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan. Operasi-operasi ini tunduk pada hukum yang sama - baik dalam hal bilangan maupun polinomial. Namun membagi bilangan bulat satu sama lain sehingga hasilnya menjadi bilangan bulat lagi tidak selalu memungkinkan. Sama halnya dengan polinomial.

Kemudian agregat lain ditemukan objek matematika, di mana operasi berikut dapat dilakukan: formal seri kekuatan, fungsi kontinu... Akhirnya, muncul pemahaman bahwa jika Anda mempelajari sifat-sifat operasi itu sendiri, maka hasilnya dapat diterapkan pada semua kumpulan objek ini (pendekatan ini merupakan karakteristik dari semua matematika modern).

Hasilnya, muncul konsep baru: cincin. Itu hanyalah sekumpulan elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada elemen tersebut. Aturan mendasar di sini adalah aturan (disebut aksioma), yang tunduk pada tindakan, dan bukan sifat elemen himpunan (ini dia, tingkat baru abstraksi!). Ingin menekankan bahwa yang penting adalah struktur yang muncul setelah memperkenalkan aksioma, ahli matematika mengatakan: ring bilangan bulat, ring polinomial, dll. Berdasarkan aksioma, sifat-sifat ring lainnya dapat disimpulkan.

Kita akan merumuskan aksioma-aksioma ring (yang tentunya serupa dengan aturan pengoperasian bilangan bulat), dan kemudian membuktikan bahwa pada ring mana pun, mengalikan minus dengan minus akan menghasilkan plus.

Cincin adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen ring), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

penjumlahan elemen gelanggang bersifat komutatif ( SEBUAH + B = B + SEBUAH untuk elemen apa pun A Dan B) dan asosiatif ( SEBUAH + (B + C) = (A + B) + C) hukum; pada ring terdapat elemen khusus 0 (elemen netral dengan penjumlahan) sedemikian rupa sehingga SEBUAH+0=SEBUAH, dan untuk elemen apa pun A ada elemen yang berlawanan (dilambangkan (-A)), Apa SEBUAH + (–SEBUAH) = 0 ;
perkalian mematuhi hukum kombinasional: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Penjumlahan dan perkalian dihubungkan dengan aturan tanda kurung buka sebagai berikut: (A + B) C = AC + B C Dan A (B + C) = A B + AC .

Perhatikan bahwa gelanggang, dalam konstruksi paling umum, tidak memerlukan komutabilitas perkalian, atau invertibilitasnya (yaitu, pembagian tidak selalu dapat dilakukan), atau keberadaan satuan - elemen netral dalam perkalian. Jika kita memperkenalkan aksioma ini, kita mendapatkan struktur aljabar yang berbeda, tetapi di dalamnya semua teorema yang dibuktikan untuk gelanggang akan benar.

Sekarang kita buktikan untuk elemen apa pun A Dan B dari cincin sembarang adalah benar, pertama, (–A) B = –(A B), dan kedua (–(–A)) = SEBUAH. Pernyataan tentang unit dengan mudah mengikuti dari ini: (–1) 1 = –(1 1) = –1 Dan (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Untuk melakukan ini kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap unsur hanya mempunyai satu kebalikan. Bahkan, biarkan elemennya A ada dua hal yang berlawanan: B Dan DENGAN. Itu adalah A + B = 0 = A + C. Mari kita pertimbangkan jumlahnya A+B+C. Dengan menggunakan hukum asosiatif dan komutatif serta sifat nol, kita memperoleh bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama dengan B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan di sisi lain, itu sama C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Cara, B=C .

Sekarang mari kita perhatikan hal itu A, Dan (-(-A)) merupakan kebalikan dari unsur yang sama (-A), jadi keduanya harus setara.

Fakta pertama seperti ini: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, itu adalah (–A)·B di depan A·B, yang artinya sama –(AB) .

Agar lebih teliti secara matematis, mari kita jelaskan alasannya 0·B = 0 untuk elemen apa pun B. Memang, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Artinya, penambahan 0·B tidak mengubah jumlahnya. Artinya hasil kali ini sama dengan nol.

Dan fakta bahwa ada tepat satu angka nol di dalam ring (bagaimanapun juga, aksioma mengatakan bahwa elemen seperti itu ada, tetapi tidak ada yang dikatakan tentang keunikannya!), akan kami serahkan kepada pembaca sebagai latihan sederhana.

Dijawab: Evgeniy Epifanov

Tampilkan komentar (37)

Ciutkan komentar (37)

Jawaban yang bagus. Tapi untuk level siswa baru SMA. Menurut saya hal itu dapat dijelaskan dengan lebih sederhana dan jelas dengan menggunakan contoh rumus “jarak = kecepatan * waktu” (kelas 2).

Katakanlah kita sedang berjalan di sepanjang jalan, sebuah mobil menyusul kita dan mulai menjauh. Waktu semakin bertambah - dan jarak ke sana semakin bertambah. Kita akan menganggap kecepatan mesin tersebut sebagai positif; misalnya saja, 10 meter per detik. Ngomong-ngomong, berapa kilometer per jamnya? 10/1000(km)*60(detik)*60(menit)= 10*3,6 = 36 km/jam. Sedikit. Mungkin jalannya buruk...

Namun mobil yang datang ke arah kami tidak menjauh, melainkan mendekat. Oleh karena itu, akan lebih mudah untuk menganggap kecepatannya negatif. Misalnya -10 m/detik. Jaraknya berkurang: 30, 20, 10 meter ke mobil yang melaju. Setiap detik minus 10 meter. Sekarang jelas kenapa kecepatannya minus? Jadi dia terbang melewatinya. Berapa jaraknya dalam satu detik? Benar, -10 meter, mis. "10 meter di belakang."

Di sini kami telah menerima pernyataan pertama. (-10 m/detik) * (1 detik) = -10 m.
Minus (kecepatan negatif) ke plus ( tegang positif) memberi nilai minus (jarak negatif, mobil di belakang saya).

Dan sekarang perhatian - minus ke minus. Di manakah mobil yang melaju sedetik SEBELUM lewat? (-10 m/detik) * (- 1 detik) = 10 m.
Minus (kecepatan negatif) hingga minus ( waktu negatif) = plus (jarak positif, mobil berada 10 meter di depan hidung saya).

Apakah ini jelas, atau adakah yang tahu contoh yang lebih sederhana?

Menjawab

Ya, bisa dibuktikan lebih mudah! 5*2 diplot dua kali pada garis bilangan, in sisi positif, bilangannya 5, lalu kita peroleh bilangan 10. jika 2*(-5), maka kita hitung dua kali sesuai bilangan 5, namun dalam arah negatif, dan kita peroleh bilangan (-10), sekarang kita mewakili 2*(-5) sebagai
2*5*(-1)=-10, jawabannya ditulis ulang dari perhitungan sebelumnya, dan tidak didapat pada perhitungan ini, artinya suatu bilangan dapat dikatakan jika dikalikan (-1), terjadi inversi dari sumbu dua kutub numerik, mis. membalikkan polaritas. Apa yang kita anggap positif menjadi negatif dan sebaliknya. Sekarang (-2)*(-5), kita tuliskan sebagai (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), kesampingkan angka (-10), dan ubah polaritasnya dari sumbu, karena . kalikan dengan (-1), kita mendapat +10, saya hanya tidak tahu apakah ini lebih mudah?

Menjawab

Saya pikir kamu benar. Saya hanya akan mencoba menunjukkan sudut pandang Anda lebih detail, karena... Saya melihat bahwa tidak semua orang memahami hal ini.
Minus artinya diambil. Jika 5 buah apel diambil dari Anda satu kali, maka pada akhirnya diambil 5 buah apel dari Anda, yang secara konvensional ditunjukkan dengan minus, yaitu. – (+5). Lagi pula, Anda perlu menunjukkan tindakannya. Jika 1 apel dipilih sebanyak 5 kali, maka pada akhirnya yang terpilih sama: – (+5). Pada saat yang sama, apel yang dipilih tidak menjadi imajiner, karena Hukum kekekalan materi belum dicabut. Apel yang positif akan diberikan begitu saja kepada siapa pun yang mengambilnya. Artinya tidak ada bilangan imajiner, yang ada adalah gerak relatif suatu materi dengan tanda + atau -. Namun jika demikian, maka notasi: (-5) * (+1) = -5 atau (+5) * (-1) = -5 tidak mencerminkan kenyataan secara akurat, tetapi hanya menunjukkannya secara kondisional. Karena tidak ada bilangan imajiner, seluruh hasil kali selalu positif → “+” (5*1). Selanjutnya hasil perkalian positifnya dinegasikan artinya pengurangan → “- +” (5*1). Di sini minus tidak mengkompensasi plus, namun meniadakannya dan menggantikannya. Kemudian pada akhirnya kita mendapatkan: -(5*1) = -(+5).
Untuk dua minus, Anda dapat menulis: “- -” (5*1) = 5. Tanda “- -” berarti “+”, yaitu. pengambilalihan para pengambil alih. Pertama-tama apel itu diambil dari Anda, dan kemudian Anda mengambilnya dari pelaku Anda. Hasilnya, semua apel tetap positif, tetapi seleksi tidak dilakukan karena revolusi sosial terjadi.
Secara umum, fakta bahwa negasi dari negasi menghilangkan negasi dan segala sesuatu yang dirujuk oleh negasi tersebut jelas bagi anak-anak dan tanpa penjelasan, karena Hal ini jelas. Anda hanya perlu menjelaskan kepada anak-anak apa yang telah dibingungkan oleh orang dewasa, sedemikian rupa sehingga mereka sendiri tidak dapat memahaminya. Dan kebingungannya terletak pada kenyataan bahwa alih-alih meniadakan tindakan tersebut, angka negatif malah diperkenalkan, yaitu. hal negatif. Jadi anak-anak bingung kenapa kalau dijumlahkan materi negatif ternyata jumlahnya negatif, yang cukup logis: (-5) + (-3) = -8, dan jika dikalikan materi negatif yang sama: (-5) * (-3) = 15 , tiba-tiba menjadi positif, yang tidak logis! Memang dengan materi negatif segala sesuatunya seharusnya terjadi sama seperti materi positif, hanya saja dengan tanda yang berbeda. Oleh karena itu, tampaknya lebih logis bagi anak-anak bahwa ketika materi negatif dikalikan, maka materi negatiflah yang seharusnya berlipat ganda.
Namun di sini juga tidak semuanya lancar, karena untuk mengalikan materi negatif cukup satu bilangan saja yang menjadi negatif. Dalam hal ini salah satu faktor yang menunjukkan bukan kandungan materi, melainkan waktu pengulangan materi yang dipilih, selalu positif, karena kali tidak boleh negatif meskipun materi negatif (yang dipilih) diulangi. Oleh karena itu, pada saat mengali (membagi), lebih tepat meletakkan tanda di depan seluruh hasil perkalian (pembagian), yang telah kami tunjukkan di atas: “- +” (5*1) atau “- -” (5*1).
Dan agar tanda minus dianggap bukan sebagai tanda bilangan imajiner, yaitu. materi negatif, dan sebagai suatu tindakan, orang dewasa harus terlebih dahulu sepakat di antara mereka sendiri bahwa jika ada tanda minus di depan suatu bilangan, maka itu berarti tindakan negatif dengan suatu bilangan, yang selalu positif, dan bukan imajiner. Jika tanda minus berada di depan tanda yang lain, maka itu berarti tindakan negatif dengan tanda pertama, yaitu. mengubahnya menjadi sebaliknya. Maka semuanya akan terjadi secara alami. Maka Anda perlu menjelaskan hal ini kepada anak-anak dan mereka akan dengan sempurna memahami dan mengasimilasi aturan orang dewasa yang dapat dimengerti. Toh, kini seluruh peserta diskusi dewasa sebenarnya mencoba menjelaskan hal yang tak bisa dijelaskan, karena... Tidak ada penjelasan fisik untuk masalah ini, ini hanya sebuah konvensi, sebuah aturan. Namun menjelaskan abstraksi dengan abstraksi adalah suatu tautologi.
Jika tanda minus meniadakan suatu bilangan, maka bilangan tersebut adalah tindakan fisik, tetapi jika dia mengingkari tindakan itu sendiri, maka ini hanyalah aturan bersyarat. Artinya, orang dewasa hanya sepakat bahwa jika seleksi ditolak, seperti dalam persoalan yang sedang dibahas, maka tidak ada seleksi, berapa kali pun! Pada saat yang sama, segala sesuatu yang Anda miliki tetap ada pada Anda, baik itu sekedar angka, baik itu hasil kali angka, mis. banyak upaya seleksi. Itu saja.
Jika ada yang tidak sependapat, maka dengan tenang pikirkan kembali. Lagi pula, contoh mobil yang memiliki kecepatan negatif dan waktu negatif satu detik sebelum pertemuan hanyalah aturan bersyarat yang terkait dengan sistem referensi. Dalam kerangka acuan lain, kecepatan dan waktu yang sama akan menjadi positif. Dan contoh kaca tampak dihubungkan dengan aturan dongeng, di mana nilai minus yang terpantul di cermin hanya bersyarat, tetapi tidak secara fisik sama sekali, menjadi nilai tambah.

Menjawab

Semuanya tampak jelas dengan kelemahan matematisnya. Namun secara bahasa, ketika ditanya pertanyaan negatif, bagaimana menjawabnya? Misalnya, saya selalu bingung dengan pertanyaan ini: “Apakah Anda mau teh?” Bagaimana saya bisa menjawab ini jika saya ingin teh? Tampaknya jika Anda mengatakan "Ya", maka mereka tidak akan memberi Anda teh (seperti + dan -), jika tidak, maka mereka harus memberi Anda (- dan -), dan jika "Tidak, saya tidak mau ”???

Menjawab

Untuk menjawab pertanyaan kekanak-kanakan seperti itu, pertama-tama Anda perlu menjawab beberapa pertanyaan orang dewasa: “Apa yang dimaksud dengan minus dalam matematika?” dan "Apa itu perkalian dan pembagian?" Sejauh yang saya pahami, di sinilah masalah dimulai, yang pada akhirnya mengarah pada dering dan omong kosong lainnya ketika menjawab pertanyaan kekanak-kanakan yang sederhana.

Menjawab

Jawabannya jelas bukan untuk anak sekolah biasa!
DI DALAM kelas junior Saya membaca sebuah buku yang bagus - buku tentang Dwarfisme dan Al-Jebra, dan mungkin di lingkaran matematika mereka memberi contoh - mereka menempatkan dua orang dengan apel di sisi berlawanan dari tanda sama dengan warna yang berbeda dan menawarkan untuk saling memberi apel. Kemudian tanda-tanda lain ditempatkan di antara para peserta permainan - plus, minus, lebih banyak, lebih sedikit.

Menjawab

Jawabannya kekanak-kanakan ya??))
Mungkin terdengar kejam, tapi penulis sendiri tidak mengerti kenapa minus di atas minus memberi nilai plus :-)
Segala sesuatu di dunia ini dapat dijelaskan secara visual, karena abstraksi diperlukan hanya untuk menjelaskan dunia. Mereka terikat pada kenyataan, dan tidak hidup sendiri dalam buku-buku delusi.
Meskipun untuk penjelasannya Anda setidaknya perlu mengetahui fisika dan terkadang biologi, ditambah dengan dasar-dasar neurofisiologi manusia.

Namun demikian, bagian pertama memberi harapan untuk dipahami, dan dengan jelas menjelaskan perlunya bilangan negatif.
Tapi yang kedua secara tradisional terjerumus ke dalam skizofrenia. A dan B - ini pasti benda nyata! jadi mengapa memanggil mereka dengan huruf-huruf ini ketika Anda dapat mengambil, misalnya, sepotong roti atau apel
Jika.. jika itu mungkin... ya?))))))

Dan... bahkan menggunakan dasar yang tepat dari bagian pertama (perkalian itu sama dengan penjumlahan) - dengan minus kita mendapatkan kontradiksi))
-2 + -2 = -4
Tetapi
-2 * -2 =+4))))
dan kalaupun kita anggap ini minus dua, diambil minus dua kali, ternyata
-2 -(-2) -(-2) = +2

Patut diakui secara sederhana bahwa karena angka-angka tersebut bersifat maya, maka untuk penghitungan yang relatif benar kita harus membuat aturan virtual.
Dan ini akan menjadi KEBENARAN, dan bukan omong kosong.

Menjawab

Dalam contohnya, Academon membuat kesalahan:
Faktanya, (-2)+(-2) = (-4) adalah 2 kali (-2), yaitu (-2) * 2 = (-4).
Sedangkan untuk mengalikan dua bilangan negatif, tanpa pertentangan, merupakan penjumlahan yang sama, hanya saja di sisi lain “0” pada garis bilangan. Yaitu:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Jadi semuanya dijumlahkan.
Nah, mengenai realitas bilangan negatif, bagaimana Anda menyukai contoh ini?
Jika saya mempunyai, katakanlah, $1000 di saku saya, suasana hati saya bisa disebut “positif.”
Jika $0, maka keadaannya adalah “tidak ada”.
Bagaimana jika (-1000)$ adalah hutang yang harus dilunasi, tetapi tidak ada uang...?

Menjawab

Minus untuk minus - akan selalu ada nilai tambah,
Mengapa ini terjadi, saya tidak bisa mengatakannya.

Mengapa -na-=+ membingungkan saya saat masih sekolah, di kelas 7 (1961). Saya mencoba menemukan aljabar lain yang lebih “adil”, di mana +na+=+, dan -na-=-. Bagiku itu akan lebih jujur. Lalu apa yang harus dilakukan dengan +na- dan -na+? Saya tidak ingin kehilangan komutatifitas xy=yx, tetapi tidak ada cara lain.
Bagaimana jika yang diambil bukan 2 tanda melainkan tiga, misalnya +, - dan *. Sama dan simetris.

TAMBAHAN
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) tidak dijumlahkan(!), seperti bagian real dan imajiner suatu bilangan kompleks.
Tapi untuk itu (+a)+(-a)+(*a)=0.

Misalnya, (+6)+(-4)+(*2) sama dengan apa?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Memang tidak mudah, tapi Anda bisa membiasakannya.

Sekarang MULTIPLIKASI.
Mari kita mempostulatkan:
+na+=+ -na-=- *na*=* (adil?)
+na-=-na+=* +na*=*na+=- -na*=*na-=+ (adil!)
Tampaknya semuanya baik-baik saja, tetapi perkalian tidak bersifat asosiatif, mis.
a(bc) tidak sama dengan (ab)c.

Dan jika demikian
+pada+=+ -pada-=* *pada*=-
+na-=-na+=- +na*=*na+=* -na*=*na-=+
Sekali lagi tidak adil, + dianggap istimewa. TAPI ALJABAR BARU dengan tiga tanda telah lahir. Komutatif, asosiatif dan distributif. Ini memiliki interpretasi geometris. Ini isomorfik ke bilangan kompleks. Itu dapat diperluas lebih jauh: empat karakter, lima...
Ini belum pernah terjadi sebelumnya. Ambillah, teman-teman, gunakanlah.

Menjawab

Pertanyaan seorang anak pada umumnya adalah jawaban seorang anak.
Ada dunia kita, di mana segala sesuatunya “plus”: apel, mainan, kucing dan anjing, semuanya nyata. Anda bisa makan apel, Anda bisa memelihara kucing. Dan ada juga dunia khayalan, sebuah cermin. Ada juga apel dan mainan di sana, melalui kaca kita bisa membayangkannya, tapi kita tidak bisa menyentuhnya - semuanya dibuat-buat. Kita bisa berpindah dari satu dunia ke dunia lain menggunakan tanda minus. Jika kita mempunyai dua apel asli (2 apel), dan kita memberi tanda minus (-2 apel), kita akan mendapatkan dua apel imajiner di kaca. Tanda minus membawa kita dari satu dunia ke dunia lain, bolak-balik. Tidak ada apel cermin di dunia kita. Kita bisa membayangkan jumlahnya sangat banyak, bahkan satu juta (dikurangi satu juta apel). Tapi Anda tidak akan bisa memakannya, karena kami tidak punya apel minus, semua apel di toko kami adalah apel plus.
Mengalikan artinya menyusun beberapa benda menjadi persegi panjang. Mari kita ambil dua titik ":" dan mengalikannya dengan tiga, kita mendapatkan: ": : :" - total enam titik. Anda dapat mengambil apel asli (+I) dan mengalikannya dengan tiga, kita mendapatkan: “+YAYA” - tiga apel asli.
Sekarang mari kita kalikan apelnya dengan minus tiga. Kita akan mendapatkan lagi tiga apel "+YAYA", tetapi tanda minus akan membawa kita ke kaca tampak, dan kita akan mendapatkan tiga apel kaca (dikurangi tiga apel -YAYA).
Sekarang mari kalikan minus apel (-I) dengan minus tiga. Artinya, kita ambil sebuah apel, dan jika di depannya ada minus, kita pindahkan ke kaca tampak. Di sana kita mengalikannya dengan tiga. Sekarang kita punya tiga buah apel kaca! Namun ada satu kelemahan lagi. Dia akan memindahkan apel yang diterima kembali ke dunia kita. Hasilnya, kami mendapatkan tiga nyata apel yang lezat+YAYA yang bisa ditelan.

Menjawab

Semuanya baik-baik saja sampai langkah terakhir. Jika dikalikan dengan minus satu dari tiga apel cermin, kita harus memantulkan apel tersebut di cermin lain. Lokasinya akan sama dengan lokasi aslinya, tetapi lokasinya sama imajinernya dengan cermin pertama dan sama tidak dapat dimakannya. Yaitu (-1)*(-1)= --1<> 1.
Sebenarnya saya bingung dengan poin lain terkait perkalian bilangan negatif, yaitu:
Apakah persamaannya benar:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Pertanyaan ini muncul dari upaya memahami perilaku grafik fungsi y=x^n, di mana x dan n adalah bilangan real.
Ternyata grafik fungsi tersebut akan selalu terletak pada kuarter ke-1 dan ke-3, kecuali jika n genap. Dalam hal ini, hanya kelengkungan grafik yang berubah. Tetapi paritas n adalah nilai relatif, karena kita dapat mengambil sistem referensi lain, dimana n = 1,1*k, maka kita peroleh
kamu = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
dan paritas di sini akan berbeda...
Dan sebagai tambahan, saya mengusulkan untuk menambahkan argumen apa yang terjadi pada grafik fungsi y = x^(1/n). Saya berasumsi, bukan tanpa alasan, bahwa grafik fungsi harus simetris terhadap grafik y = x^n relatif terhadap grafik fungsi y = x.

Menjawab

Ada beberapa cara untuk menjelaskan aturan “minus untuk minus menghasilkan plus.” Ini adalah cara yang paling sederhana. Perkalian secara alami. bilangan n adalah regangan ruas (terletak pada sumbu bilangan) sebanyak n kali. Perkalian dengan -1 mencerminkan ruas tersebut relatif terhadap titik asal. Sebagai penjelasan singkat mengapa (-1)*(-1) = +1, metode ini cocok.Hambatan dari pendekatan ini adalah perlunya menentukan jumlah operator tersebut secara terpisah.

Menjawab

Anda bisa menjelaskannya dari bilangan kompleks
sebagai bentuk representasi angka yang lebih umum
Bentuk trigonometri bilangan kompleks
rumus Euler
Tanda dalam hal ini hanyalah argumen (sudut putaran)
Saat mengalikan, sudut ditambahkan
0 derajat sama dengan +
180 derajat sama dengan -
Mengalikan - dengan - setara dengan 180+180=360=0

Menjawab

Akankah ini berhasil?

Penyangkalan adalah kebalikannya. Untuk mempermudah, untuk sementara waktu menjauh dari minus, kami akan mengganti pernyataan dan membuat titik awalnya lebih besar. Mari kita mulai menghitung bukan dari nol, tapi dari 1000.

Katakanlah dua orang berhutang dua rubel kepada saya: 2_orang*2_rubel=4_rubel berhutang total kepada saya. (saldo saya 1004)

Sekarang inversnya (bilangan negatif, tetapi pernyataan invers/positif):

minus 2 orang = artinya mereka tidak berhutang padaku, tapi aku berhutang (aku berhutang lebih banyak pada orang daripada mereka berhutang padaku). Misal saya berhutang 10 orang, tapi saya hanya berhutang 8 orang. Penyelesaian bersama bisa dikurangi dan tidak diperhitungkan, tapi perlu diingat jika lebih nyaman bekerja sama angka positif. Artinya, setiap orang saling memberi uang.

dikurangi 2 rubel = prinsip serupa - Anda harus mengambil lebih dari yang Anda berikan. Jadi saya berhutang dua rubel kepada semua orang.

-(2_orang)*2_rubel=I_ow_2_ke masing-masing_=-4 dari saya. Saldo saya adalah 996 rubel.

2_orang*(-2_rubel) = dua_harus_mengambil_2_rubel_dari_saya=- 4 dari saya. Saldo saya adalah 996 rubel.

-(2_orang)*(-2_rubel) = semua orang_harus_mengambil_dari_saya_kurang_than_harus_memberi_oleh_2_rubel

Secara umum, jika Anda membayangkan semuanya berputar bukan di sekitar 0, tetapi di sekitar, misalnya, 1000, dan mereka membagikan uang dalam kelipatan 10, mengambil kelipatan 8. Maka Anda dapat secara konsisten melakukan semua operasi memberi uang kepada seseorang atau mengambilnya, dan sampai pada kesimpulan bahwa jika dua rubel tambahan (kita akan mengurangi sisanya dengan saling mengimbangi) akan mengurangi dua rubel dari saya daripada pengembaliannya, maka kesejahteraan saya akan meningkat sebesar angka positif 4.

Menjawab

Untuk mencari jawaban SEDERHANA (dapat dimengerti oleh seorang anak) atas pertanyaan yang diajukan (“Mengapa minus pada minus memberi nilai plus”), saya dengan cermat membaca artikel yang diajukan oleh penulis dan semua komentar. Saya menganggap jawaban yang paling sukses adalah jawaban yang disertakan dalam prasasti: “Musuh dari musuhku adalah temanku.” Jauh lebih jelas! Sederhana dan brilian!

Seorang musafir tiba di sebuah pulau, yang penduduknya hanya mengetahui satu hal: beberapa dari mereka hanya mengatakan kebenaran, yang lain hanya berbohong. Secara lahiriah tidak mungkin membedakannya. Pelancong mendarat di pantai dan melihat jalan. Dia ingin mengetahui apakah jalan ini mengarah ke kota. Melihat penduduk setempat di jalan, dia menanyakan HANYA SATU pertanyaan, memungkinkan dia mengetahui bahwa jalan tersebut mengarah ke kota. Bagaimana dia menanyakan hal ini?

Solusinya ada pada tiga baris di bawah ini (hanya untuk berhenti sejenak dan memberi Anda orang dewasa kesempatan untuk berhenti sejenak dan memikirkan hal ini tugas yang luar biasa!) Cucu laki-laki saya yang duduk di kelas tiga merasa bahwa soal tersebut masih terlalu sulit baginya, namun memahami jawabannya, tanpa diragukan lagi, membawanya lebih dekat untuk memahami seluk-beluk matematika di masa depan seperti “minus dikali minus memberi plus.”

Jadi jawabannya adalah:

“Jika saya bertanya apakah jalan ini mengarah ke kota, apa yang akan Anda katakan kepada saya?”

Penjelasan “aljabar” tidak dapat menggoyahkan kecintaan saya yang besar kepada ayah saya atau rasa hormat saya yang mendalam terhadap ilmu pengetahuannya. Tapi saya selamanya membenci metode aksiomatik dengan definisinya yang tidak termotivasi.

Menariknya, jawaban IV Arnold terhadap pertanyaan seorang anak ini secara praktis bertepatan dengan penerbitan bukunya “Bilangan Negatif dalam Kursus Aljabar”. Di sana (di Bab 7) diberikan jawaban yang sama sekali berbeda, menurut saya, sangat jelas. Buku ini tersedia di dalam format elektronik http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Menjawab

Jika ada paradoks, Anda perlu mencari kesalahan mendasarnya. Ada tiga kesalahan dalam perumusan perkalian. Dari sinilah “paradoks” itu berasal. Anda hanya perlu menambahkan angka nol.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Perkalian adalah penjumlahan (atau pengurangan) nol secara berulang-ulang.

Pengali (4) menunjukkan banyaknya operasi penjumlahan atau pengurangan (jumlah tanda minus atau plus saat menguraikan perkalian menjadi penjumlahan).

Tanda minus dan plus untuk pengali (4) menunjukkan pengurangan pengali dari nol atau menjumlahkan pengali ke nol.

Dalam contoh khusus ini, (-4) menunjukkan bahwa Anda perlu mengurangi ("-") dari nol perkalian (-3) empat kali (4).

Perbaiki kata-katanya (tiga kesalahan logis). Tambahkan saja angka nol. Aturan aritmatika tidak akan berubah karena hal ini.

Detail lebih lanjut tentang topik ini di sini:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Apa kebiasaan mempercayai buku teks secara mekanis? Anda juga harus memiliki otak Anda sendiri. Apalagi jika ada paradoks, titik buta, kontradiksi yang nyata-nyata. Semua ini merupakan konsekuensi dari kesalahan teori.

Tidak mungkin menguraikan hasil kali dua bilangan negatif menjadi suku-suku, menurut rumusan perkalian saat ini (tanpa nol). Apakah ini tidak mengganggu siapa pun?

Rumus perkalian macam apa yang membuat perkalian tidak mungkin dilakukan? :)

Masalahnya juga murni psikologis. Kepercayaan buta pada pihak berwenang, keengganan untuk berpikir sendiri. Jika buku teks mengatakan demikian, jika mereka mengajarkan demikian di sekolah, maka inilah kebenaran hakiki. Segalanya berubah, termasuk sains. Kalau tidak, tidak akan ada perkembangan peradaban.

Perbaiki susunan kata perkalian pada semua buku pelajaran! Aturan aritmatika tidak akan berubah karena hal ini.

Selain itu, sebagai berikut dari artikel terkait di atas, rumusan perkalian yang dikoreksi akan serupa dengan rumusan pangkat. Di sana juga, mereka tidak menuliskan satuannya jika dipangkatkan positif. Namun, satu ditulis ketika suatu bilangan dipangkatkan negatif.

Tuan-tuan matematika ibumu, kalian harus selalu menuliskan angka nol dan satu, meskipun hasilnya tidak berubah karena ketidakhadirannya.

Arti entri yang disingkat berubah (atau bahkan hilang). Dan anak-anak sekolah memiliki masalah dalam pemahaman.

Menjawab

Tulis komen

1) Mengapa minus satu dikalikan dikurangi satu sama dengan ditambah satu?

2) Mengapa dikurangi satu dikalikan ditambah satu sama dengan dikurangi satu?

Musuh dari musuhku adalah temanku

Jawaban termudah adalah: “Karena ini adalah aturan pengoperasian bilangan negatif.” Aturan yang kita pelajari di sekolah dan terapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku pelajaran tidak menjelaskan mengapa peraturan tersebut berlaku demikian. Pertama-tama kita akan mencoba memahaminya berdasarkan sejarah perkembangan aritmatika, dan kemudian kita akan menjawab pertanyaan ini dari sudut pandang matematika modern.

Misalnya saja persamaannya 7x – 17 = 2x – 2. Hal ini dapat diselesaikan dengan cara ini: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan sisanya ke kanan, maka akan diperoleh 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. Dengan solusi ini, kami bahkan tidak menemukan angka negatif.

Tetapi ada kemungkinan untuk melakukannya secara berbeda secara tidak sengaja: pindahkan suku-suku dengan yang tidak diketahui ke sisi kanan dan dapatkan 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Untuk menemukan bilangan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu bilangan negatif dengan bilangan negatif lainnya: x = (–15)/(–5). Tapi jawaban yang benar sudah diketahui, dan masih bisa disimpulkan (–15)/(–5) = 3 .

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, logika yang menentukan aturan pengoperasian bilangan negatif menjadi jelas: hasil tindakan tersebut harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara lain, tanpa angka negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan bilangan negatif, kita menghilangkan pencarian solusi yang membosankan (jika persamaannya menjadi lebih rumit, dengan jumlah suku yang banyak) di mana semua tindakan hanya dilakukan pada bilangan asli. Selain itu, kita mungkin tidak lagi memikirkan kebermaknaan besaran yang diubah setiap saat - dan ini sudah merupakan langkah menuju transformasi matematika menjadi ilmu abstrak.

Kemudian kumpulan objek matematika lain ditemukan di mana operasi serupa dapat dilakukan: deret pangkat formal, fungsi kontinu... Akhirnya, muncul pemahaman bahwa jika Anda mempelajari sifat-sifat operasi itu sendiri, maka hasilnya kemudian dapat diterapkan ke semua kumpulan objek ini (pendekatan ini umum untuk semua matematika modern).

Hasilnya, muncul konsep baru: cincin. Itu hanyalah sekumpulan elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada elemen tersebut. Aturan mendasar di sini adalah aturan (disebut aksioma), yang tunduk pada tindakan, dan bukan sifat elemen himpunan (ini dia, tingkat abstraksi baru!). Ingin menekankan bahwa yang penting adalah struktur yang muncul setelah memperkenalkan aksioma, ahli matematika mengatakan: ring bilangan bulat, ring polinomial, dll. Berdasarkan aksioma, sifat-sifat ring lainnya dapat disimpulkan.

Cincin adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen ring), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

penjumlahan elemen gelanggang bersifat komutatif ( SEBUAH + B = B + SEBUAH untuk elemen apa pun A Dan B) dan asosiatif ( SEBUAH + (B + C) = (A + B) + C) hukum; ada elemen khusus di dalam ring 0 (elemen penjumlahan netral) sedemikian rupa SEBUAH+0=SEBUAH, dan untuk elemen apa pun A ada elemen yang berlawanan (dilambangkan (-A)), Apa SEBUAH + (–SEBUAH) = 0;
perkalian mematuhi hukum kombinasional: A·(B·C) = (A·B)·C;
Penjumlahan dan perkalian dihubungkan dengan aturan tanda kurung buka sebagai berikut: (A + B) C = AC + B C Dan A (B + C) = A B + AC.

Untuk melakukan ini kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap unsur hanya mempunyai satu kebalikan. Bahkan, biarkan elemennya A ada dua hal yang berlawanan: B Dan DENGAN. Itu adalah A + B = 0 = A + C. Mari kita pertimbangkan jumlahnya A+B+C. Dengan menggunakan hukum asosiatif dan komutatif serta sifat nol, kita memperoleh bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama dengan B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan di sisi lain, itu sama C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Cara, B=C.

Sekarang mari kita perhatikan hal itu A, Dan (-(-A)) merupakan kebalikan dari unsur yang sama (-A), jadi keduanya harus setara.

Fakta pertama seperti ini: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, itu adalah (–A)·B di depan A·B, yang artinya sama –(AB).

1) Mengapa minus satu dikalikan dikurangi satu sama dengan ditambah satu?
2) Mengapa dikurangi satu dikalikan ditambah satu sama dengan dikurangi satu?

"Musuh dari musuhku adalah temanku."

Angka negatif telah muncul dalam dokumen India sejak abad ke-7 M; Orang Cina rupanya mulai menggunakannya lebih awal. Mereka digunakan untuk menghitung hutang atau dalam perhitungan perantara untuk menyederhanakan solusi persamaan - mereka hanyalah alat untuk mendapatkan jawaban positif. Fakta bahwa angka negatif, tidak seperti angka positif, tidak menunjukkan keberadaan entitas apa pun menyebabkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang benar-benar menghindari angka negatif: jika suatu soal memiliki jawaban negatif, mereka percaya bahwa tidak ada jawaban sama sekali. Ketidakpercayaan ini bertahan untuk waktu yang sangat lama, dan bahkan Descartes, salah satu “pendiri” matematika modern, menyebutnya “salah” (pada abad ke-17!).

Misalnya saja persamaannya 7x - 17 = 2x - 2. Hal ini dapat diselesaikan dengan cara ini: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan sisanya ke kanan, maka akan diperoleh 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. Dengan solusi ini, kami bahkan tidak menemukan angka negatif.

Tetapi ada kemungkinan untuk melakukannya secara berbeda secara tidak sengaja: pindahkan suku-suku dengan yang tidak diketahui ke sisi kanan dan dapatkan 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Untuk menemukan bilangan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu bilangan negatif dengan bilangan negatif lainnya: x = (-15)/(-5). Tapi jawaban yang benar sudah diketahui, dan masih bisa disimpulkan (-15)/(-5) = 3 .

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, logika yang menentukan aturan pengoperasian bilangan negatif menjadi jelas: hasil tindakan tersebut harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara lain, tanpa angka negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan bilangan negatif, kita menghilangkan pencarian solusi yang membosankan (jika persamaannya menjadi lebih rumit, dengan jumlah suku yang banyak) di mana semua tindakan hanya dilakukan pada bilangan asli. Selain itu, kita mungkin tidak lagi memikirkan kebermaknaan besaran yang diubah setiap saat - dan ini sudah merupakan langkah menuju transformasi matematika menjadi ilmu abstrak.

Aturan pengoperasian bilangan negatif tidak serta merta dibentuk, tetapi menjadi generalisasi dari berbagai contoh yang muncul dalam penyelesaian masalah terapan. Secara umum perkembangan matematika dapat dibagi menjadi beberapa tahap: setiap tahap berikutnya berbeda dari tahap sebelumnya dalam tingkat abstraksi baru dalam mempelajari objek. Jadi, pada abad ke-19, para ahli matematika menyadari bahwa bilangan bulat dan polinomial, terlepas dari semua perbedaan eksternalnya, memiliki banyak kesamaan: keduanya dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan. Operasi-operasi ini mematuhi hukum yang sama - baik dalam hal bilangan maupun polinomial. Namun membagi bilangan bulat satu sama lain sehingga hasilnya menjadi bilangan bulat lagi tidak selalu memungkinkan. Sama halnya dengan polinomial.

Hasilnya, muncul konsep baru: cincin. Itu hanyalah sekumpulan elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada elemen tersebut. Aturan mendasar di sini adalah aturan (disebut aksioma), yang tunduk pada tindakan, dan bukan sifat elemen himpunan (ini dia, tingkat abstraksi baru!). Ingin menekankan bahwa yang penting adalah struktur yang muncul setelah memperkenalkan aksioma, ahli matematika mengatakan: ring bilangan bulat, ring polinomial, dll. Berdasarkan aksioma, sifat-sifat ring lainnya dapat disimpulkan.

Cincin adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen ring), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

penjumlahan elemen gelanggang bersifat komutatif ( SEBUAH + B = B + SEBUAH untuk elemen apa pun A Dan B) dan asosiatif ( SEBUAH + (B + C) = (A + B) + C) hukum; pada ring terdapat elemen khusus 0 (elemen netral dengan penjumlahan) sedemikian rupa sehingga SEBUAH+0=SEBUAH, dan untuk elemen apa pun A ada elemen yang berlawanan (dilambangkan (-A)), Apa SEBUAH + (-SEBUAH) = 0 ;
perkalian mematuhi hukum kombinasional: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Penjumlahan dan perkalian dihubungkan dengan aturan tanda kurung buka sebagai berikut: (A + B) C = AC + B C Dan A (B + C) = A B + AC .

Sekarang kita buktikan untuk elemen apa pun A Dan B dari cincin sembarang adalah benar, pertama, (-A) B = -(AB), dan kedua (-(-A)) = SEBUAH. Pernyataan tentang unit dengan mudah mengikuti dari ini: (-1) 1 = -(1 1) = -1 Dan (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1 .

Sekarang mari kita perhatikan hal itu A, Dan (-(-A)) merupakan kebalikan dari unsur yang sama (-A), jadi keduanya harus setara.

Fakta pertama seperti ini: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, itu adalah (-A)·B di depan A·B, yang artinya sama -(AB) .

Evgeny Epifanov, Bumi (Sol III).

"Musuh dari musuhku adalah temanku"

Mengapa minus satu dikali minus satu sama dengan tambah satu? Mengapa minus satu dikalikan plus satu sama dengan minus satu? Jawaban termudah adalah: “Karena ini adalah aturan pengoperasian bilangan negatif.” Aturan yang kita pelajari di sekolah dan terapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku pelajaran tidak menjelaskan mengapa peraturan tersebut berlaku demikian. Pertama-tama kita akan mencoba memahaminya berdasarkan sejarah perkembangan aritmatika, dan kemudian kita akan menjawab pertanyaan ini dari sudut pandang matematika modern.

Dahulu kala, orang-orang hanya mengetahui bilangan asli: bilangan tersebut digunakan untuk menghitung peralatan, jarahan, musuh, dan lain-lain. Namun bilangan itu sendiri tidak berguna - Anda harus mampu menanganinya. Penjumlahan jelas dan dapat dimengerti, dan selain itu, penjumlahan dua bilangan asli juga merupakan bilangan asli (seorang ahli matematika akan mengatakan bahwa himpunan bilangan asli ditutup pada operasi penjumlahan). Perkalian pada dasarnya sama dengan penjumlahan jika kita berbicara tentang bilangan asli. Dalam kehidupan, kita sering melakukan tindakan yang berkaitan dengan kedua operasi ini (misalnya, saat berbelanja, kita menjumlahkan dan mengalikan), dan aneh jika kita berpikir bahwa nenek moyang kita lebih jarang menjumpainya - penjumlahan dan perkalian sudah dikuasai umat manusia sejak lama. yang lalu. Seringkali Anda harus membagi beberapa besaran dengan besaran lain, tetapi di sini hasilnya tidak selalu dinyatakan sebagai bilangan asli - begitulah bilangan pecahan muncul.

Mari kita perhatikan persamaan tersebut sebagai contoh. Penyelesaiannya bisa seperti ini: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke ruas kiri, dan sisanya ke kanan, ternyata , , . Dengan solusi ini, kami bahkan tidak menemukan angka negatif.

Namun ada kemungkinan untuk melakukannya secara berbeda secara tidak sengaja: pindahkan suku yang tidak diketahui ke sisi kanan dan dapatkan , . Untuk menemukan bilangan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu bilangan negatif dengan bilangan negatif lainnya: . Namun jawaban yang benar telah diketahui, dan masih dapat disimpulkan bahwa.

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, logika yang menentukan aturan tindakan pada bilangan negatif menjadi jelas: hasil tindakan tersebut harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara yang berbeda, tanpa bilangan negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan bilangan negatif, kita menghilangkan pencarian solusi yang membosankan (jika persamaannya menjadi lebih rumit, dengan jumlah suku yang banyak) di mana semua tindakan hanya dilakukan pada bilangan asli. Selain itu, kita mungkin tidak lagi memikirkan kebermaknaan besaran yang diubah setiap saat - dan ini sudah merupakan langkah menuju transformasi matematika menjadi ilmu abstrak.

Alhasil, muncullah konsep baru: cincin. Itu hanyalah sekumpulan elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada elemen tersebut. Yang mendasar di sini justru adalah aturan-aturan (disebut aksioma) yang menjadi subjek tindakan, dan bukan sifat elemen-elemen himpunan (ini dia, tingkat abstraksi baru!). Ingin menekankan bahwa yang penting adalah struktur yang muncul setelah memperkenalkan aksioma, ahli matematika mengatakan: ring bilangan bulat, ring polinomial, dll. Berdasarkan aksioma, sifat-sifat ring lainnya dapat disimpulkan.

Ring adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen ring), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

Sekarang mari kita buktikan bahwa untuk sembarang elemen dan gelanggang sembarang, hal ini benar, pertama, , dan kedua, . Pernyataan tentang satuan dengan mudah mengikuti dari ini: dan .

Untuk melakukan ini kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap unsur hanya mempunyai satu kebalikan. Faktanya, suatu elemen mempunyai dua hal yang berlawanan: dan . Itu adalah . Mari kita pertimbangkan jumlahnya. Dengan menggunakan hukum asosiatif dan komutatif serta sifat nol, kita menemukan bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama dengan , dan di sisi lain, sama dengan . Cara, .

Perhatikan sekarang bahwa keduanya dan merupakan kebalikan dari unsur yang sama, jadi keduanya harus sama.

Fakta pertama ternyata seperti ini: yaitu berlawanan, artinya setara.

Agar lebih teliti secara matematis, mari kita jelaskan alasannya untuk elemen apa pun. Memang, . Artinya, penambahan tidak mengubah jumlahnya. Artinya hasil kali ini sama dengan nol.

Evgeniy Epifanov
"Elemen"

Komentar: 0

Jacques Sesiano

Selama dua milenium telah terjadi tiga perluasan penting dalam domain numerik. Pertama, sekitar tahun 450 SM. ilmuwan dari sekolah Pythagoras membuktikan keberadaan angka rasional. Tujuan awal mereka adalah mengukur diagonal suatu satuan persegi. Kedua, pada abad XIII-XV, para ilmuwan Eropa, memecahkan sistem persamaan linear, memungkinkan kemungkinan satu keputusan negatif. Dan ketiga, pada tahun 1572, ahli aljabar Italia Raphael Bombelli menggunakan bilangan kompleks untuk mendapatkan solusi nyata persamaan kubik tertentu.

Proskuryakov I.V.

Tujuan buku ini adalah untuk mendefinisikan secara tegas bilangan, polinomial, dan pecahan aljabar serta membenarkan sifat-sifatnya yang sudah diketahui di sekolah, dan bukan untuk mengenalkan pembaca pada sifat-sifat baru. Oleh karena itu, pembaca tidak akan menemukan fakta-fakta baru di sini (dengan kemungkinan pengecualian beberapa sifat, bilangan real dan bilangan kompleks), tetapi akan mempelajari bagaimana hal-hal yang diketahuinya dibuktikan, dimulai dengan “dua dua adalah empat” dan diakhiri dengan aturan operasi dengan polinomial Dan pecahan aljabar. Namun pembaca akan mengenal beberapa hal konsep umum, memainkan peran utama dalam aljabar.

Ilya Shchurov

Matematikawan Ilya Shchurov o desimal, transendensi dan irasionalitas angka Pi.

Leon Takhtajyan

Ini akan menjadi empat cerita pendek. Kita akan mulai dengan angka, kemudian kita akan berbicara tentang gerak, tentang perubahan, kemudian kita akan membahas bentuk dan ukuran, lalu awal dan akhir. Dalam gaya yang agak terenkripsi ini, kita akan mencoba melihat matematika dari dalam dan luar, dan tepatnya sebagai sebuah mata pelajaran. Apa yang dipikirkan dan dijalani oleh para ahli matematika - kita bisa membicarakannya nanti.

Vladlen Timorin

Matematikawan Vladlen Timorin tentang keunggulan bilangan kompleks, angka empat Hamilton, bilangan Cayley delapan dimensi, dan variasi bilangan dalam geometri.

Jacques Sesiano

Kita hanya tahu sedikit tentang Diophantus. Saya pikir dia tinggal di Alexandria. Tak satu pun ahli matematika Yunani menyebutkan dia sebelum abad ke-4, jadi dia mungkin hidup di pertengahan abad ke-3. Yang paling pekerjaan utama Diophanta, “Aritmatika” (Ἀριθμητικά), terjadi di awal 13 “buku” (βιβλία), yaitu bab. Saat ini kita mempunyai 10 diantaranya, yaitu: 6 dalam teks Yunani dan 4 lainnya pada abad pertengahan Terjemahan bahasa Arab, yang tempatnya di tengah-tengah kitab Yunani: kitab I-III bahasa Yunani, buku IV-VII bahasa Arab, buku VIII-X bahasa Yunani. "Aritmatika" Diophantus pada dasarnya adalah kumpulan masalah, totalnya sekitar 260. Sejujurnya, tidak ada teori; hanya ada petunjuk umum dalam pendahuluan buku, dan komentar pribadi dalam beberapa masalah, bila diperlukan. "Aritmatika" sudah memiliki ciri-ciri risalah aljabar. Penggunaan Diophantus pertama tanda-tanda yang berbeda untuk mengungkapkan hal yang tidak diketahui dan kekuatannya, juga beberapa perhitungan; seperti semua simbolisme aljabar pada Abad Pertengahan, simbolismenya berasal dari kata-kata matematika. Kemudian Diophantus menjelaskan cara menyelesaikan masalah tersebut secara aljabar. Namun soal Diophantus bukanlah soal aljabar dalam pengertian biasa, karena hampir semuanya bermuara pada penyelesaian persamaan tak tentu atau sistem persamaan tersebut.

Dunia matematika tidak terpikirkan tanpa mereka - tanpa bilangan prima. Apa yang terjadi bilangan prima apa yang istimewa dari mereka dan apa arti penting mereka Kehidupan sehari-hari? Dalam film ini, profesor matematika asal Inggris Marcus du Sautoy akan mengungkap rahasia bilangan prima.

Georgy Shabat

Di sekolah, kita semua ditanamkan gagasan yang salah bahwa pada himpunan bilangan rasional Q terdapat jarak alami yang unik (modulus selisih), sehingga semua operasi aritmatika adalah kontinu. Namun, ada juga jarak yang tak terhingga, yang disebut p-adic, satu untuk setiap bilangan p. Menurut teorema Ostrovsky, jarak “biasa”, bersama dengan semua jarak p-adik, sudah benar-benar menghabiskan semua jarak yang masuk akal Q. Istilah demokrasi adelik diperkenalkan oleh Yu.I.Manin. Menurut prinsip demokrasi adelik, semua jarak wajar pada Q adalah sama di hadapan hukum matematika (mungkin hanya jarak tradisional “sedikit=sedikit sama...”). Kursus ini akan memperkenalkan cincin adelik, yang memungkinkan Anda bekerja dengan semua jarak ini pada waktu yang sama.

Vladimir Arnold

J.L. Lagrange membuktikan bahwa barisan hasil bagi tidak lengkap (dimulai dari tempat tertentu) bersifat periodik jika dan hanya jika bilangan x merupakan irasionalitas kuadrat. R. O. Kuzmin membuktikan bahwa dalam barisan hasil bagi tidak lengkap dari hampir semua bilangan real, pecahan d_m sama dengan m hasil bagi tidak lengkap adalah sama (untuk bilangan real tipikal). Pecahan d_m berkurang sebagai m→∞ menjadi 1/m^2 dan nilainya diprediksi oleh Gauss (yang tidak membuktikan apa pun). VI Arnol menyatakan (sekitar 20 tahun yang lalu) hipotesis bahwa statistik Gauss–Kuzmin d_m juga berlaku untuk periode pecahan akar lanjutan persamaan kuadrat x^2+px+q=0 (dengan bilangan bulat p dan q): jika kita tuliskan bersama-sama hasil bagi tidak lengkap yang membentuk periode semua pecahan lanjutan dari akar-akar persamaan tersebut dengan p^2+q^2≤R ^2, maka bagian hasil bagi tidak lengkap m di antara mereka akan cenderung ke bilangan d_m sebagai R→∞. V. A. Bykovsky dan murid-muridnya di Khabarovsk baru-baru ini membuktikan hipotesis lama ini. Meskipun demikian, pertanyaan tentang statistik bukan tentang huruf, tetapi tentang kata-kata yang tersusun dari huruf-huruf tersebut, yang merupakan periode pecahan lanjutan dari setiap x akar persamaan x^2+px+q=0, masih jauh dari terselesaikan.

buluh mil

Saya membiarkan judul dan abstraknya sejelas mungkin, sehingga saya dapat berbicara tentang apa pun yang saya rasakan pada hari itu. Banyak varietas yang menarik dalam klasifikasi varietas diperoleh sebagai Spec atau Proj dari cincin Gorenstein. Dalam kodimensi ⩽3, teori struktur terkenal memberikan metode penghitungan eksplisit dengan cincin Gorenstein. Sebaliknya, tidak ada teori struktur yang dapat digunakan untuk cincin dengan kodimensi 4. Namun demikian, dalam banyak kasus, proyeksi Gorenstein (dan kebalikannya, unproyeksi Kustin – Miller) menyediakan metode untuk menyerang cincin ini. Metode ini berlaku untuk kelas sporadis cincin kanonik pada permukaan aljabar beraturan, dan untuk konstruksi lipatan 3 Q-Fano yang lebih sistematis, hubungan Sarkisov di antara ini, dan pembalikan 3 lipatan dari teori Mori Tipe A.

Memangnya kenapa? Jawaban termudah adalah: “Karena ini adalah aturan pengoperasian bilangan negatif.” Aturan yang kita pelajari di sekolah dan terapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku pelajaran tidak menjelaskan mengapa peraturan tersebut berlaku demikian. Kami ingat bahwa memang demikian adanya dan kami tidak lagi bertanya-tanya.

Mari kita bertanya pada diri kita sendiri...

Tentu saja, pengurangan juga tidak dapat dilakukan. Namun dalam praktiknya, kita biasanya mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lebih besar, dan tidak perlu menggunakan bilangan negatif. (Jika saya mempunyai 5 permen dan memberikan 3 permen kepada saudara perempuan saya, maka saya akan mempunyai 5 - 3 = 2 permen yang tersisa, namun saya tidak dapat memberikan 7 permen kepadanya meskipun saya ingin.) Hal ini dapat menjelaskan mengapa orang tidak menggunakan bilangan negatif untuk a lama.

Angka negatif telah muncul dalam dokumen India sejak abad ke-7 M; Orang Cina rupanya mulai menggunakannya lebih awal. Mereka digunakan untuk menghitung hutang atau dalam perhitungan perantara untuk menyederhanakan solusi persamaan - mereka hanyalah alat untuk mendapatkan jawaban positif. Fakta bahwa angka negatif, tidak seperti angka positif, tidak menunjukkan keberadaan entitas apa pun menyebabkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang benar-benar menghindari angka negatif: jika suatu soal memiliki jawaban negatif, mereka percaya bahwa tidak ada jawaban sama sekali. Ketidakpercayaan ini bertahan untuk waktu yang sangat lama, dan bahkan Descartes, salah satu “pendiri” matematika modern, menyebutnya “salah” (pada abad ke-17!).

Perhatikan misalnya persamaan 7x - 17 = 2x - 2. Penyelesaiannya dapat dilakukan sebagai berikut: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke ruas kiri, dan sisanya ke kanan, diperoleh 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Dengan solusi ini, kita bahkan tidak menemukan bilangan negatif.

Namun ada kemungkinan untuk melakukannya secara berbeda secara tidak sengaja: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke ruas kanan dan dapatkan 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Untuk mencari bilangan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu bilangan negatif dengan bilangan negatif lainnya: x = (-15)/(-5). Namun jawaban yang benar telah diketahui, dan disimpulkan bahwa (-15)/(-5) = 3.

Aturan pengoperasian bilangan negatif tidak serta merta dibentuk, tetapi menjadi generalisasi dari berbagai contoh yang muncul dalam penyelesaian masalah terapan. Secara umum perkembangan matematika dapat dibagi menjadi beberapa tahap: setiap tahap berikutnya berbeda dari tahap sebelumnya dalam tingkat abstraksi baru dalam mempelajari objek. Jadi, pada abad ke-19, para ahli matematika menyadari bahwa bilangan bulat dan polinomial, terlepas dari semua perbedaan eksternalnya, memiliki banyak kesamaan: keduanya dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan. Operasi-operasi ini mematuhi hukum yang sama - baik dalam hal bilangan maupun polinomial. Namun membagi bilangan bulat satu sama lain sehingga hasilnya menjadi bilangan bulat lagi tidak selalu memungkinkan. Sama halnya dengan polinomial.

Ring adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen ring), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

Penjumlahan unsur gelanggang mematuhi hukum komutatif (A + B = B + A untuk sembarang unsur A dan B) dan kombinasional (A + (B + C) = (A + B) + C); pada ring terdapat elemen khusus 0 (elemen netral dengan penjumlahan) sehingga A + 0 = A, dan untuk setiap elemen A terdapat elemen yang berlawanan (dilambangkan (-A)) sehingga A + (-A) = 0 ;
-perkalian mematuhi hukum kombinasional: A·(B·C) = (A·B)·C;
penjumlahan dan perkalian dihubungkan dengan aturan tanda kurung buka sebagai berikut: (A + B) C = A C + B C dan A (B + C) = A B + A C.

Sekarang mari kita buktikan bahwa untuk sembarang elemen A dan B pada suatu gelanggang sembarang, hal ini benar, pertama, (-A) B = -(A B), dan kedua (-(-A)) = A. Ini dengan mudah mengikuti pernyataan tentang satuan : (-1) 1 = -(1 1) = -1 dan (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Untuk melakukan ini kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap unsur hanya mempunyai satu kebalikan. Faktanya, misalkan elemen A mempunyai dua hal yang berlawanan: B dan C. Artinya, A + B = 0 = A + C. Misalkan jumlah A + B + C. Dengan menggunakan hukum asosiatif dan komutatif serta sifat nol, kita diperoleh bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama dengan B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan di sisi lain, sama dengan C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Jadi B = C.

Perhatikan sekarang bahwa A dan (-(-A)) keduanya berlawanan dari elemen yang sama (-A), jadi keduanya harus sama.

Fakta pertama menjadi seperti ini: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, yaitu (-A) B berlawanan dengan A B, artinya sama - (A·B).

Agar lebih teliti secara matematis, mari kita jelaskan juga mengapa 0·B = 0 untuk setiap elemen B. Memang benar, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Artinya, menambahkan 0·B tidak mengubah jumlahnya. Artinya hasil kali ini sama dengan nol.

Evgeniy Epifanov