Pecahan wajar lebih besar atau kurang dari satu. Pecahan tak wajar: cara belajar menyelesaikan contoh dengannya

Aturan dan teknik matematika sederhana, jika tidak digunakan terus-menerus, akan paling cepat terlupakan. Istilah-istilah hilang dari ingatan lebih cepat.

Salah satu tindakan sederhana ini adalah mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa atau, dengan kata lain, pecahan campuran.

Fraksi yang tidak tepat

Pecahan biasa adalah pecahan yang pembilangnya (angka di atas garis) lebih besar atau sama dengan penyebutnya (angka di bawah garis). Pecahan ini diperoleh dengan menjumlahkan pecahan atau mengalikan pecahan dengan bilangan bulat. Menurut aturan matematika, pecahan tersebut harus diubah menjadi pecahan biasa.

Pecahan yang tepat

Masuk akal untuk mengasumsikan bahwa semua pecahan lainnya disebut pecahan biasa. Definisi tegasnya adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya disebut pecahan biasa. Pecahan yang mempunyai bagian bilangan bulat kadang-kadang disebut pecahan campuran.

Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa

Kasus pertama: pembilang dan penyebutnya sama. Hasil konversi pecahan tersebut adalah satu. Tidak masalah apakah itu tiga pertiga atau seratus dua puluh lima seratus dua puluh lima. Pada dasarnya, pecahan seperti itu menunjukkan tindakan membagi suatu bilangan dengan dirinya sendiri.

Kasus kedua: pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Di sini Anda perlu mengingat cara membagi angka dengan sisanya.
Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari bilangan yang paling dekat dengan nilai pembilangnya, yang habis dibagi penyebutnya tanpa sisa. Misalnya, Anda mempunyai pecahan sembilan belas pertiga. Bilangan terdekat yang dapat habis dibagi tiga adalah delapan belas. Itu enam. Sekarang kurangi angka yang dihasilkan dari pembilangnya. Kami mendapatkan satu. Ini adalah sisanya. Tuliskan hasil konversinya: enam utuh dan sepertiga.

Namun sebelum mereduksi pecahan menjadi jenis yang tepat, Anda perlu memeriksa apakah dapat dipersingkat.
Pecahan dapat dikurangi jika pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan. Yaitu bilangan yang keduanya habis dibagi tanpa sisa. Jika ada beberapa pembagi, Anda perlu mencari pembagi terbesar.
Misalnya, semua bilangan genap memiliki pembagi yang sama - dua. Dan pecahan enam belas per dua belas memiliki satu pembagi persekutuan lagi - empat. Ini adalah pembagi terbesar. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan empat. Hasil pengurangan: empat pertiga. Sekarang, sebagai latihan, ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa.

Kata “pecahan” membuat banyak orang merinding. Karena saya ingat sekolah dan tugas-tugas yang diselesaikan dalam matematika. Ini adalah tugas yang harus dipenuhi. Bagaimana jika Anda memperlakukan soal yang melibatkan pecahan biasa dan pecahan biasa seperti teka-teki? Lagi pula, banyak orang dewasa yang memecahkan teka-teki silang digital dan Jepang. Kami menemukan aturannya, dan hanya itu. Di sini sama saja. Kita hanya perlu mempelajari teorinya - dan semuanya akan terjadi pada tempatnya. Dan contoh-contoh tersebut akan menjadi cara untuk melatih otak Anda.

Apa saja jenis pecahan yang ada?

Mari kita mulai dengan apa itu. Pecahan adalah suatu bilangan yang mempunyai suatu bagian dari satu. Itu dapat ditulis dalam dua bentuk. Yang pertama disebut biasa. Artinya, yang memiliki garis mendatar atau miring. Ini setara dengan tanda pembagian.

Dalam notasi ini, bilangan di atas garis disebut pembilang, dan bilangan di bawahnya disebut penyebut.

Di antara pecahan biasa, dibedakan pecahan biasa dan pecahan biasa. Untuk yang pertama, nilai mutlak pembilangnya selalu lebih kecil dari penyebutnya. Yang salah disebut demikian karena yang terjadi justru sebaliknya. Nilai pecahan biasa selalu kurang dari satu. Sedangkan yang salah selalu lebih besar dari angka tersebut.

Ada juga bilangan campuran, yaitu bilangan yang mempunyai bagian bilangan bulat dan bagian pecahan.

Jenis notasi kedua adalah pecahan desimal. Ada percakapan terpisah tentang dia.

Apa perbedaan pecahan biasa dengan bilangan campuran?

Intinya, tidak ada apa-apa. Ini hanyalah rekaman berbeda dengan nomor yang sama. Pecahan yang tidak wajar setelah langkah sederhana mereka dengan mudah menjadi bilangan campuran. Dan sebaliknya.

Itu semua tergantung pada situasi spesifik. Terkadang lebih mudah menggunakan pecahan biasa dalam tugas. Dan terkadang perlu untuk mengubahnya menjadi bilangan campuran dan contohnya akan diselesaikan dengan sangat mudah. Oleh karena itu, apa yang digunakan: pecahan biasa, bilangan campuran, bergantung pada keterampilan observasi orang yang memecahkan masalah.

Bilangan campuran juga dibandingkan dengan jumlah bagian bilangan bulat dan bagian pecahan. Apalagi yang kedua selalu kurang dari satu.

Bagaimana cara menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa?

Jika Anda perlu melakukan tindakan apa pun dengan beberapa angka yang tertulis jenis yang berbeda, maka Anda harus membuatnya sama. Salah satu caranya adalah dengan menyatakan bilangan sebagai pecahan biasa.

Untuk tujuan ini, Anda perlu melakukan algoritma berikut:

kalikan penyebutnya dengan seluruh bagian;
tambahkan nilai pembilang pada hasilnya;
tulis jawabannya di atas garis;
biarkan penyebutnya tetap sama.

Berikut contoh cara menulis pecahan biasa dari bilangan campuran:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Bagaimana cara menulis pecahan biasa sebagai bilangan campuran?

Teknik selanjutnya adalah kebalikan dari yang dibahas di atas. Artinya, semua bilangan campuran diganti dengan pecahan biasa. Algoritme tindakannya adalah sebagai berikut:

bagilah pembilangnya dengan penyebutnya untuk mendapatkan sisanya;
tuliskan hasil bagi sebagai ganti seluruh bagian campuran;
sisanya harus ditempatkan di atas garis;
pembaginya akan menjadi penyebutnya.

Contoh transformasi tersebut:

76/14; 76:14 = 5 dengan sisa 6; jawabannya adalah 5 utuh dan 14/6; bagian pecahan dalam contoh ini perlu dikurangi 2, sehingga menghasilkan 3/7; jawaban akhirnya adalah 5 poin 3/7.

108/54; setelah pembagian, diperoleh hasil bagi 2 tanpa sisa; ini berarti tidak semua pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran; jawabannya adalah bilangan bulat - 2.

Bagaimana cara mengubah bilangan bulat menjadi pecahan biasa?

Ada situasi dimana tindakan seperti itu diperlukan. Untuk mendapatkan pecahan biasa dengan penyebut yang diketahui, Anda perlu melakukan algoritma berikut:

mengalikan bilangan bulat dengan penyebut yang diinginkan;
tulis nilai ini di atas garis;
letakkan penyebutnya di bawahnya.

Pilihan paling sederhana adalah ketika penyebutnya sama dengan satu. Maka Anda tidak perlu mengalikan apa pun. Cukup dengan menulis bilangan bulat yang diberikan dalam contoh, dan menempatkan satu di bawah garis.

Contoh: Jadikan 5 sebagai pecahan biasa yang penyebutnya 3. Mengalikan 5 dengan 3 menghasilkan 15. Angka ini akan menjadi penyebutnya. Jawaban tugas tersebut adalah pecahan: 15/3.

Dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah dengan bilangan berbeda

Contoh ini memerlukan penghitungan jumlah dan selisih, serta hasil kali dan hasil bagi dua bilangan: 2 bilangan bulat 3/5 dan 14/11.

Pada pendekatan pertama bilangan campuran akan direpresentasikan sebagai pecahan biasa.

Setelah melakukan langkah-langkah di atas, Anda akan mendapatkan nilai berikut: 13/5.

Untuk mengetahui jumlahnya, Anda perlu mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama. 13/5 setelah dikalikan 11 menjadi 143/55. Dan 14/11 setelah dikalikan 5 akan terlihat seperti: 70/55. Untuk menghitung jumlahnya, Anda hanya perlu menjumlahkan pembilangnya: 143 dan 70, lalu menuliskan jawabannya dengan satu penyebut. 213/55 - pecahan biasa ini adalah jawaban dari soal.

Saat mencari selisihnya, bilangan yang sama dikurangi: 143 - 70 = 73. Jawabannya berupa pecahan: 73/55.

Saat mengalikan 13/5 dan 14/11, Anda tidak perlu menyederhanakannya menjadi penyebut yang sama. Cukup dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya secara berpasangan. Jawabannya adalah: 182/55.

Hal yang sama berlaku untuk pembagian. Untuk keputusan yang tepat Anda perlu mengganti pembagian dengan perkalian dan membalikkan pembaginya: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Pada pendekatan kedua pecahan biasa menjadi bilangan campuran.

Setelah melakukan tindakan algoritma, 14/11 akan berubah menjadi bilangan campuran dengan bagian bilangan bulat 1 dan bagian pecahan 3/11.

Saat menghitung jumlahnya, Anda perlu menjumlahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara terpisah. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Jawaban akhirnya adalah 3 poin 48/55. Pada pendekatan pertama, pecahannya adalah 213/55. Anda dapat memeriksa kebenarannya dengan mengubahnya menjadi bilangan campuran. Setelah membagi 213 dengan 55, hasil bagi adalah 3 dan sisanya adalah 48. Mudah untuk melihat bahwa jawabannya benar.

Saat melakukan pengurangan, tanda “+” diganti dengan “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Untuk mengeceknya, jawaban dari pendekatan sebelumnya perlu diubah menjadi bilangan campuran: 73 dibagi 55 dan hasil bagi adalah 1 dan sisanya 18.

Untuk mencari hasil kali dan hasil bagi, tidak mudah menggunakan bilangan campuran. Di sini selalu disarankan untuk beralih ke pecahan biasa.

Fraksi yang tidak tepat

Perempat

Ketertiban. A Dan B ada aturan yang memungkinkan seseorang untuk secara unik mengidentifikasi satu dan hanya satu dari tiga hubungan di antara mereka: “< », « >" atau " = ". Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan bukan negatif dan dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bulat dan ; dua bilangan non-positif A Dan B dihubungkan dengan relasi yang sama seperti dua bilangan bukan negatif dan ; jika tiba-tiba A bukan negatif, tapi B- negatif, kalau begitu A > B. src="/gambar/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Menjumlahkan Pecahan
Operasi penambahan. Untuk bilangan rasional apa pun A Dan B ada yang disebut aturan penjumlahan C. Apalagi nomornya sendiri C ditelepon jumlah angka A Dan B dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki tampilan berikutnya: .
Operasi perkalian. Untuk bilangan rasional apa pun A Dan B ada yang disebut aturan perkalian, yang memberi mereka bilangan rasional C. Apalagi nomornya sendiri C ditelepon bekerja angka A Dan B dan dilambangkan dengan , dan proses menemukan bilangan tersebut disebut juga perkalian. Aturan perkaliannya terlihat seperti ini: .
Transitivitas hubungan keteraturan. Untuk tiga bilangan rasional apa pun A , B Dan C Jika A lebih sedikit B Dan B lebih sedikit C, Itu A lebih sedikit C, dan jika A sama B Dan B sama C, Itu A sama C. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah.
Asosiatif penjumlahan. Urutan penjumlahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, yang bila dijumlahkan menghasilkan 0.
Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.
Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
Ketersediaan satuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
Kehadiran nomor timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang bila dikalikan dengan menghasilkan 1.
Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian dikoordinasikan dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
Koneksi hubungan urutan dengan operasi penjumlahan. Ke kiri dan sisi kanan Untuk pertidaksamaan rasional, Anda dapat menjumlahkan bilangan rasional yang sama. /gambar/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Aksioma Archimedes. Apapun bilangan rasionalnya A, Anda dapat mengambil begitu banyak unit hingga jumlahnya melebihi A. src="/gambar/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Properti tambahan

Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dapat dibedakan sebagai sifat-sifat dasar, karena pada umumnya sifat-sifat tersebut tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau secara langsung dengan definisi suatu objek matematika. . Ada banyak properti tambahan seperti itu. Masuk akal untuk mencantumkan hanya beberapa di antaranya di sini.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Keterhitungan suatu himpunan

Penomoran bilangan rasional

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu mencari kardinalitas himpunannya. Mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup dengan memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli.

Algoritma yang paling sederhana terlihat seperti ini. Tabel pecahan biasa yang tak ada habisnya telah dikompilasi, untuk masing-masingnya Saya-baris ke-th di masing-masing J kolom ke-th tempat pecahan berada. Untuk lebih jelasnya, diasumsikan baris dan kolom tabel ini diberi nomor mulai dari satu. Sel tabel dilambangkan dengan , dimana Saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan J- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dilintasi menggunakan “ular” sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi selanjutnya dipilih berdasarkan pertandingan pertama.

Dalam proses penjelajahan seperti itu, setiap bilangan rasional baru dikaitkan dengan bilangan rasional lainnya bilangan asli. Artinya, pecahan 1/1 diberi nomor 1, pecahan 2/1 diberi nomor 2, dan seterusnya. Perlu diperhatikan bahwa hanya pecahan tak tereduksi yang diberi nomor. Tanda formal dari sifat tak tersederhanakan adalah pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan sama dengan satu.

Dengan mengikuti algoritma ini, kita dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Artinya himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk membuat bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif hanya dengan menetapkan kebalikannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung berdasarkan sifat himpunan yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan suatu himpunan terhitung dengan himpunan berhingga.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional mungkin menimbulkan kebingungan, karena sekilas tampak himpunan bilangan rasional jauh lebih luas daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, hal ini tidak terjadi dan terdapat cukup bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Kurangnya bilangan rasional

Sisi miring segitiga seperti itu tidak dapat dinyatakan dengan cara apa pun bilangan rasional

Bilangan rasional berbentuk 1 / N pada umumnya N jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menimbulkan kesan menyesatkan bahwa bilangan rasional dapat digunakan untuk mengukur jarak geometri apa pun. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Dari teorema Pythagoras kita mengetahui bahwa sisi miring suatu segitiga siku-siku dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Itu. panjang sisi miring sama kaki segitiga siku-siku dengan satuan kaki sama dengan, yaitu bilangan yang kuadratnya 2.

Jika kita berasumsi bahwa suatu bilangan dapat diwakili oleh suatu bilangan rasional, maka bilangan tersebut adalah bilangan bulat M dan bilangan asli N, itu , dan pecahan tidak dapat direduksi, yaitu bilangan M Dan N- saling sederhana.

Saat mempelajari ratu segala ilmu - matematika, pada titik tertentu setiap orang menemukan pecahan. Meskipun konsep ini (seperti jenis pecahan itu sendiri atau operasi matematika dengannya) sama sekali tidak rumit, namun harus ditangani dengan hati-hati, karena dalam kehidupan nyata Ini akan sangat berguna di luar sekolah. Jadi, mari kita segarkan kembali pengetahuan kita tentang pecahan: apa itu pecahan, kegunaannya, apa jenisnya, dan cara melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya.

Fraksi Yang Mulia: apa itu

Dalam matematika, pecahan adalah bilangan yang masing-masing terdiri atas satu atau lebih bagian suatu satuan. Pecahan seperti ini disebut juga pecahan biasa atau pecahan sederhana. Biasanya ditulis dalam bentuk dua angka yang dipisahkan oleh garis mendatar atau garis miring, disebut garis “pecahan”. Misalnya: ½, ¾.

Angka atas, atau pertama, adalah pembilangnya (menunjukkan berapa banyak bagian yang diambil dari angka tersebut), dan angka bawah, atau kedua, adalah penyebut (menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi menjadi satuan).

Bilah pecahan sebenarnya berfungsi sebagai tanda pembagian. Misalnya, 7:9=7/9

Secara tradisional, pecahan biasa kurang dari satu. Sedangkan desimalnya bisa lebih besar dari itu.

Untuk apa pecahan? Ya, untuk semuanya, karena di dunia nyata tidak semua bilangan adalah bilangan bulat. Misalnya, dua siswi di kantin membeli sebatang coklat yang enak bersama-sama. Ketika mereka hendak berbagi makanan penutup, mereka bertemu dengan seorang teman dan memutuskan untuk mentraktirnya juga. Namun, kini coklat batangan tersebut perlu dibagi dengan benar, mengingat terdiri dari 12 kotak.

Awalnya, gadis-gadis itu ingin membagi semuanya secara merata, lalu masing-masing mendapat empat bagian. Tapi, setelah dipikir-pikir, mereka memutuskan untuk mentraktir temannya, bukan 1/3, tapi 1/4 coklatnya. Dan karena para siswi tidak mempelajari pecahan dengan baik, mereka tidak memperhitungkan bahwa dalam situasi seperti itu mereka akan mendapatkan 9 buah, yang sangat sulit untuk dibagi menjadi dua. Contoh yang cukup sederhana ini menunjukkan betapa pentingnya menemukan bagian suatu bilangan dengan benar. Tapi dalam hidup kasus serupa lebih banyak.

Jenis pecahan: biasa dan desimal

Semua pecahan matematika dibagi menjadi dua kategori besar: biasa dan desimal. Fitur-fitur yang pertama telah dijelaskan di paragraf sebelumnya, jadi sekarang ada baiknya memperhatikan yang kedua.

Desimal adalah notasi kedudukan suatu pecahan suatu bilangan, yang ditulis secara tertulis dengan dipisahkan tanda koma, tanpa tanda hubung atau garis miring. Misalnya: 0,75, 0,5.

Faktanya, pecahan desimal identik dengan pecahan biasa, namun penyebutnya selalu satu diikuti nol - itulah namanya.

Angka sebelum koma adalah bilangan bulat, dan angka setelahnya adalah pecahan. aku menyukainya pecahan sederhana dapat dikonversi ke desimal. Jadi, ditunjukkan pada contoh sebelumnya desimal dapat ditulis seperti biasa: ¾ dan ½.

Perlu dicatat bahwa pecahan desimal dan pecahan biasa dapat bernilai positif atau negatif. Jika didahului dengan tanda “-”, maka pecahan tersebut negatif, jika “+” adalah pecahan positif.

Subtipe pecahan biasa

Ada beberapa jenis pecahan sederhana.

Subtipe pecahan desimal

Berbeda dengan pecahan sederhana, pecahan desimal hanya terbagi menjadi 2 jenis.

Final - mendapat nama ini karena fakta bahwa setelah koma ia memiliki jumlah digit yang terbatas (terbatas): 19,25.
Pecahan tak terhingga adalah bilangan yang jumlah digitnya tak terhingga setelah koma. Misalnya, jika membagi 10 dengan 3, hasilnya adalah pecahan tak hingga 3,333...

Menjumlahkan Pecahan

Melakukan berbagai manipulasi aritmatika dengan pecahan sedikit lebih sulit dibandingkan dengan bilangan biasa. Namun, jika Anda memahami aturan dasarnya, menyelesaikan contoh apa pun dengan aturan tersebut tidak akan sulit.

Misalnya: 2/3+3/4. Kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 12, oleh karena itu, angka tersebut harus ada di setiap penyebutnya. Caranya kita kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 4, ternyata 8/12, kita lakukan hal yang sama dengan suku kedua, tetapi kalikan saja dengan 3 - 9/12. Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh: 8/12+9/12= 17/12. Pecahan yang dihasilkan merupakan satuan yang salah karena pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Dapat dan harus diubah menjadi campuran yang benar dengan membagi 17:12 = 1 dan 5/12.

Ketika pecahan campuran dijumlahkan, operasi dilakukan terlebih dahulu dengan bilangan bulat, dan kemudian dengan pecahan.

Jika contoh berisi pecahan desimal dan pecahan biasa, keduanya perlu disederhanakan, kemudian disamakan dengan penyebut yang sama dan dijumlahkan. Misalnya 3.1+1/2. Angka 3.1 dapat ditulis sebagai pecahan campuran 3 dan 1/10 atau jika salah - 31/10. Penyebut suku-suku tersebut adalah 10, jadi Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut 1/2 dengan 5 secara bergantian, Anda mendapatkan 5/10. Kemudian Anda dapat dengan mudah menghitung semuanya: 31/10+5/10=35/10. Hasil yang diperoleh adalah pecahan biasa, kita bawa ke bentuk normalnya dengan menguranginya 5: 7/2 = 3 dan 1/2, atau desimal - 3,5.

Saat menjumlahkan 2 pecahan desimal, penting agar jumlah digit setelah koma desimal sama. Jika tidak, Anda hanya perlu menambahkan jumlah yang dibutuhkan nol, karena dalam pecahan desimal hal ini dapat dilakukan tanpa rasa sakit. Misalnya, 3,5+3,005. Untuk menyelesaikan soal ini, Anda perlu menambahkan 2 angka nol pada angka pertama lalu menjumlahkannya satu per satu: 3.500+3.005=3.505.

Pengurangan Pecahan

Saat mengurangkan pecahan, Anda harus melakukan hal yang sama seperti saat menjumlahkan: kurangi menjadi penyebut yang sama, kurangi satu pembilang dari pembilang lainnya, dan, jika perlu, ubah hasilnya menjadi pecahan campuran.

Misalnya: 16/20-5/10. Penyebutnya adalah 20. Anda perlu membawa pecahan kedua ke penyebut ini dengan mengalikan kedua bagiannya dengan 2, Anda mendapatkan 10/20. Sekarang Anda dapat menyelesaikan contoh: 16/20-10/20= 6/20. Namun, hasil ini berlaku untuk pecahan tereduksi, jadi sebaiknya kedua ruasnya dibagi 2 dan hasilnya adalah 3/10.

Mengalikan pecahan

Pembagian dan perkalian pecahan merupakan operasi yang lebih sederhana dibandingkan penjumlahan dan pengurangan. Faktanya adalah ketika melakukan tugas-tugas ini, tidak perlu mencari penyebut yang sama.

Untuk mengalikan pecahan, Anda hanya perlu mengalikan kedua pembilangnya satu per satu, lalu kedua penyebutnya. Kurangi hasil yang dihasilkan jika pecahan tersebut merupakan besaran yang dapat direduksi.

Misalnya: 4/9x5/8. Setelah dikalikan bergantian, hasilnya adalah 4x5/9x8=20/72. Pecahan ini bisa dikurangi 4, jadi jawaban akhir pada contohnya adalah 18/5.

Cara membagi pecahan

Pembagian pecahan juga merupakan operasi yang sederhana, bahkan tetap harus mengalikannya. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, Anda perlu membalik pecahan kedua dan mengalikannya dengan pecahan pertama.

Misalnya membagi pecahan 5/19 dan 5/7. Untuk menyelesaikan contoh ini, Anda perlu menukar penyebut dan pembilang pecahan kedua dan mengalikannya: 5/19x7/5=35/95. Hasilnya bisa dikurangi 5 - ternyata 19/7.

Jika Anda perlu membagi pecahan dengan bilangan prima, tekniknya sedikit berbeda. Awalnya, Anda harus menulis bilangan ini sebagai pecahan biasa, lalu membaginya dengan skema yang sama. Misalnya, 13/2:5 harus ditulis sebagai 13/2:1/5. Sekarang Anda perlu membalik 5/1 dan mengalikan pecahan yang dihasilkan: 2/13x1/5= 2/65.

Terkadang Anda harus membagi pecahan campuran. Anda perlu memperlakukannya seperti Anda memperlakukan bilangan bulat: mengubahnya menjadi pecahan biasa, membalik pembaginya, dan mengalikan semuanya. Misalnya 8 ½: 3. Ubahlah semuanya menjadi pecahan biasa: 17/2: 3/1. Diikuti dengan pembalikan 3/1 dan perkalian: 17/2x1/3= 17/6. Sekarang Anda harus mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa - 2 utuh dan 5/6.

Jadi, setelah mengetahui apa itu pecahan dan bagaimana Anda dapat melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya, Anda perlu berusaha untuk tidak melupakannya. Lagi pula, orang selalu lebih cenderung membagi sesuatu menjadi beberapa bagian daripada menjumlahkan, jadi Anda harus bisa melakukannya dengan benar.

Kita menemukan pecahan dalam kehidupan jauh sebelum kita mulai mempelajarinya di sekolah. Jika kita memotong apel utuh menjadi dua, kita mendapatkan ½ bagian buahnya. Mari kita potong lagi - hasilnya akan menjadi ¼. Ini adalah pecahan. Dan semuanya tampak sederhana. Untuk orang dewasa. Untuk anak (dan topik ini mulai belajar di akhir sekolah dasar) konsep matematika abstrak masih sangat sulit dipahami, dan guru harus menjelaskan dengan jelas apa itu pecahan biasa dan tak wajar, persekutuan dan desimal, operasi apa yang dapat dilakukan dengannya dan, yang paling penting, apa saja ini diperlukan untuk.

Apa itu pecahan?

Untuk lebih mengenal topik baru di sekolah dimulai dengan pecahan biasa. Mereka mudah dikenali dengan garis horizontal yang memisahkan dua angka - atas dan bawah. Yang paling atas disebut pembilang, yang paling bawah disebut penyebut. Ada juga pilihan huruf kecil untuk menulis pecahan biasa biasa dan biasa - melalui garis miring, misalnya: ½, 4/9, 384/183. Opsi ini digunakan ketika tinggi garis terbatas dan tidak memungkinkan untuk menggunakan formulir entri “dua lantai”. Mengapa? Ya, karena lebih nyaman. Kita akan melihatnya nanti.

Selain pecahan biasa, ada juga pecahan desimal. Sangat mudah untuk membedakannya: jika dalam satu kasus digunakan garis horizontal atau garis miring, dalam kasus lain koma digunakan untuk memisahkan urutan angka. Mari kita lihat contohnya: 2.9; 163,34; 1.953. Kami sengaja menggunakan titik koma sebagai pemisah untuk membatasi angka. Yang pertama akan berbunyi seperti ini: "dua koma sembilan".

Konsep baru

Mari kita kembali ke pecahan biasa. Mereka datang dalam dua jenis.

Pengertian pecahan biasa adalah sebagai berikut: pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Mengapa ini penting? Kita lihat saja sekarang!

Anda memiliki beberapa apel, dibelah dua. Total - 5 bagian. Bagaimana menurut Anda: apakah Anda memiliki apel “dua setengah” atau “lima setengah”? Tentu saja opsi pertama terdengar lebih natural dan akan kita gunakan saat berbicara dengan teman. Tetapi jika kita perlu menghitung berapa banyak buah yang akan diperoleh setiap orang, jika ada lima orang dalam satu perusahaan, kita akan menuliskan angka 5/2 dan membaginya dengan 5 - dari sudut pandang matematika, ini akan lebih jelas. .

Jadi, untuk penamaan pecahan biasa dan pecahan biasa, aturannya begini: jika suatu bagian utuh dapat dibedakan dalam pecahan (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), maka pecahan tersebut tidak wajar. Jika hal ini tidak dapat dilakukan, seperti dalam kasus ½, 13/16, 9/10, maka itu benar.

Sifat utama pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama secara bersamaan, maka nilainya tidak berubah. Bayangkan: mereka memotong kue menjadi 4 bagian yang sama dan memberi Anda satu. Mereka memotong kue yang sama menjadi delapan bagian dan memberi Anda dua. Apakah itu penting? Bagaimanapun, ¼ dan 2/8 adalah sama!

Pengurangan

Penulis soal dan contoh dalam buku teks matematika sering kali berusaha membingungkan siswa dengan menawarkan pecahan yang rumit untuk ditulis tetapi sebenarnya dapat disingkat. Berikut ini contoh pecahan biasa: 167/334, yang nampaknya terlihat sangat “menakutkan”. Tapi sebenarnya kita bisa menuliskannya sebagai ½. Angka 334 habis dibagi 167 tanpa sisa - setelah melakukan operasi ini, kita mendapatkan 2.

Nomor campuran

Pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran. Ini adalah saat seluruh bagian dimajukan dan ditulis setinggi garis horizontal. Faktanya, ekspresi tersebut berbentuk penjumlahan: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 dan seterusnya.

Untuk mengambil seluruh bagiannya, Anda perlu membagi pembilangnya dengan penyebutnya. Tuliskan sisa pembagian di atas, di atas garis, dan seluruh bagian - sebelum ekspresi. Jadi, kita mendapatkan dua bagian struktural: satuan utuh + pecahan biasa.

Anda juga dapat melakukan operasi invers - untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut dan menambahkan nilai yang dihasilkan ke pembilangnya. Tidak ada yang rumit.

Perkalian dan pembagian

Anehnya, mengalikan pecahan lebih mudah daripada menjumlahkan. Yang diperlukan hanyalah memperpanjang garis horizontal: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Dengan pembagian, semuanya juga sederhana: Anda perlu mengalikan pecahan secara melintang: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Menjumlahkan Pecahan

Apa yang harus dilakukan jika Anda perlu melakukan penjumlahan atau penyebutnya adalah nomor yang berbeda? Melakukan hal yang sama seperti perkalian tidak akan berhasil - di sini Anda harus memahami definisi pecahan biasa dan esensinya. Suku-suku tersebut perlu dibawa ke penyebut yang sama, yaitu bagian bawah kedua pecahan harus memiliki angka yang sama.

Untuk melakukannya, Anda harus menggunakan sifat dasar pecahan: kalikan kedua bagian dengan angka yang sama. Misalnya, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Bagaimana cara memilih penyebut yang akan dikurangi sukunya? Ini harus berupa bilangan minimum yang merupakan kelipatan kedua bilangan penyebut pecahan: untuk 1/3 dan 1/9 akan menjadi 9; untuk ½ dan 1/7 - 14, karena tidak ada nilai lebih kecil yang habis dibagi 2 dan 7 tanpa sisa.

Penggunaan

Pecahan biasa digunakan untuk apa? Lagi pula, jauh lebih mudah untuk segera memilih seluruh bagian, mendapatkan nomor campuran - dan menyelesaikannya! Ternyata jika ingin mengalikan atau membagi dua pecahan, lebih menguntungkan menggunakan pecahan tak beraturan.

Mari kita ambil contoh berikut: (2 + 3/17) / (37/68).

Tampaknya tidak ada yang perlu dipotong sama sekali. Namun bagaimana jika hasil penjumlahan di dalam tanda kurung pertama kita tuliskan sebagai pecahan biasa? Lihat: (37/17) / (37/68)

Sekarang semuanya beres! Mari kita tuliskan contohnya sedemikian rupa sehingga semuanya menjadi jelas: (37*68) / (17*37).

Mari kita hapus 37 pada pembilang dan penyebutnya, lalu bagi bagian atas dan bawah dengan 17. Ingatkah Anda aturan dasar pecahan biasa dan pecahan biasa? Kita bisa mengalikan dan membaginya dengan angka berapa pun asalkan pembilang dan penyebutnya dilakukan secara bersamaan.

Jadi, kita mendapat jawabannya: 4. Contohnya terlihat rumit, tetapi jawabannya hanya berisi satu angka. Hal ini sering terjadi dalam matematika. Hal utama adalah jangan takut dan ikuti aturan sederhana.

Kesalahan Umum

Saat menerapkan, seorang siswa dapat dengan mudah membuat salah satu kesalahan umum. Biasanya terjadi karena kurangnya perhatian, dan terkadang karena materi yang dipelajari belum tersimpan dengan baik di kepala.

Seringkali penjumlahan angka-angka pada pembilangnya membuat Anda ingin mengurangi masing-masing komponennya. Misalkan pada contoh: (13 + 2) / 13, ditulis tanpa tanda kurung (dengan garis mendatar), banyak siswa yang karena kurang pengalaman mencoret 13 di atas dan di bawah. Namun hal ini tidak boleh dilakukan dalam keadaan apapun, karena ini adalah kesalahan besar! Jika alih-alih penjumlahan ada tanda perkalian, maka jawaban kita akan mendapat angka 2. Namun saat melakukan penjumlahan, operasi dengan salah satu suku tidak diperbolehkan, hanya dengan jumlah keseluruhan.

Cowok juga sering melakukan kesalahan saat membagi pecahan. Mari kita ambil dua pecahan tak tersederhanakan dan membaginya satu sama lain: (5/6) / (25/33). Siswa dapat mencampurnya dan menulis ekspresi yang dihasilkan sebagai (5*25) / (6*33). Tapi ini akan terjadi dengan perkalian, tetapi dalam kasus kita semuanya akan sedikit berbeda: (5*33) / (6*25). Kami mengurangi apa yang mungkin, dan jawabannya adalah 11/10. Kami menulis pecahan biasa yang dihasilkan sebagai desimal - 1.1.

Kurung

Ingatlah bahwa dalam ekspresi matematika apa pun, urutan operasi ditentukan oleh prioritas tanda operasi dan keberadaan tanda kurung. Semua hal lain dianggap sama, urutan tindakan dihitung dari kiri ke kanan. Hal ini juga berlaku untuk pecahan - ekspresi dalam pembilang atau penyebutnya dihitung secara ketat berdasarkan aturan ini.

Bagaimanapun, ini adalah hasil pembagian satu angka dengan angka lainnya. Jika tidak terbagi rata, maka menjadi pecahan - itu saja.

Cara menulis pecahan di komputer

Karena alat standar tidak selalu memungkinkan pembuatan pecahan yang terdiri dari dua “tingkatan”, siswa terkadang menggunakan berbagai trik. Misalnya, mereka menyalin pembilang dan penyebut ke dalam editor grafis Paint dan merekatkannya, menggambar garis horizontal di antara keduanya. Tentu saja, ada opsi yang lebih sederhana, yang menyediakan banyak hal fitur tambahan, yang akan berguna bagi Anda di masa depan.

Buka Microsoft Word. Salah satu panel di bagian atas layar disebut "Sisipkan" - klik panel tersebut. Di sebelah kanan, di sisi tempat ikon tutup dan perkecil jendela berada, terdapat tombol “Formula”. Inilah yang kita butuhkan!

Jika Anda menggunakan fungsi ini, area persegi panjang akan muncul di layar tempat Anda dapat menggunakan simbol matematika apa pun yang tidak ada di keyboard, serta menulis pecahan di dalamnya. tampilan klasik. Yaitu membagi pembilang dan penyebutnya dengan garis mendatar. Anda bahkan mungkin terkejut bahwa pecahan biasa begitu mudah untuk ditulis.

Pelajari matematika

Jika Anda berada di kelas 5-6, maka pengetahuan matematika (termasuk kemampuan bekerja dengan pecahan!) akan segera dibutuhkan di banyak mata pelajaran sekolah. Di hampir semua masalah fisika, ketika mengukur massa zat dalam kimia, geometri, dan trigonometri, pecahan sangat diperlukan. Segera Anda akan belajar menghitung segala sesuatu yang ada dalam pikiran Anda, bahkan tanpa menuliskan ekspresi di atas kertas, tetapi semakin banyak contoh yang kompleks. Oleh karena itu, pelajari apa itu pecahan biasa dan cara mengolahnya, ikuti terus kurikulum, kerjakan pekerjaan rumah Anda tepat waktu dan Anda akan berhasil.