Doğru kesir ne anlama geliyor? Uygunsuz kesir

Kesirlerle okulda çalışmaya başlamadan çok daha önce karşılaşırız. Bir elmayı tam olarak ikiye bölersek meyvenin yarısını elde ederiz. Tekrar keselim - ¼ olacak. Bunlar kesirler. Ve her şey basit görünüyordu. Bir yetişkin için. Çocuk için (ve bu konu ilkokulun sonunda çalışmaya başlar) soyut matematik kavramları hala korkutucu derecede anlaşılmazdır ve öğretmenin ne olduğunu açıkça açıklaması gerekir. uygun kesir ve düzensiz, sıradan ve ondalık, bunlarla hangi işlemlerin yapılabileceği ve en önemlisi tüm bunlara neden ihtiyaç duyulduğu.

Ne tür kesirler vardır?

Tanışmak yeni konu okulda şununla başlıyor sıradan kesirler. Üstteki ve alttaki iki sayıyı ayıran yatay çizgiyle kolayca tanınırlar. Üsttekine pay, alttakine ise payda denir. Ayrıca uygunsuz ve doğru sıradan kesirleri eğik çizgiyle yazmak için küçük harf seçeneği de vardır, örneğin: ½, 4/9, 384/183. Bu seçenek, satır yüksekliğinin sınırlı olduğu ve “iki katlı” giriş formunun kullanılmasının mümkün olmadığı durumlarda kullanılır. Neden? Evet çünkü daha kullanışlı. Bunu biraz sonra göreceğiz.

Sıradan kesirlerin yanı sıra ondalık kesirler de vardır. Bunları ayırt etmek çok basittir: Bir durumda yatay veya eğik çizgi kullanılıyorsa, diğerinde sayı dizilerini ayırmak için virgül kullanılır. Bir örneğe bakalım: 2.9; 163.34; 1.953. Sayıları sınırlandırmak için kasıtlı olarak ayırıcı olarak noktalı virgül kullandık. Bunlardan ilki şu şekilde okunacak: "iki virgül dokuz."

Yeni konseptler

Sıradan kesirlere dönelim. İki tipte gelirler.

Düzgün kesirin tanımı şu şekildedir: Payı paydasından küçük olan kesirdir. Bu neden önemli? Şimdi göreceğiz!

Birkaç elmanız var, yarıya bölünmüş. Toplam - 5 parça. Nasıl dersiniz: “iki buçuk” veya “beş buçuk” elmanız var mı? Elbette ilk seçenek kulağa daha doğal geliyor ve bunu arkadaşlarımızla konuşurken kullanacağız. Ama her kişinin kaç meyve alacağını hesaplamamız gerekirse, şirkette beş kişi varsa 5/2 sayısını yazıp 5'e böleriz - matematiksel açıdan bu daha net anlaşılır. .

Yani, doğru ve yanlış kesirleri adlandırmada kural şudur: Bir kesirde tam kısım ayırt edilebiliyorsa (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), o zaman düzensizdir. ½, 13/16, 9/10 gibi bu yapılamıyorsa doğru olacaktır.

Bir kesrin temel özelliği

Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıyla aynı anda çarpılır veya bölünürse değeri değişmez. Düşünün: pastayı 4 eşit parçaya bölüp size bir tane verdiler. Aynı pastayı sekiz parçaya bölüp sana ikisini verdiler. Gerçekten önemli mi? Sonuçta ¼ ile 2/8 aynı şeydir!

Kesinti

Matematik ders kitaplarındaki problemlerin ve örneklerin yazarları genellikle yazması zahmetli olan ancak aslında kısaltılabilen kesirler sunarak öğrencilerin kafasını karıştırmaya çalışırlar. İşte uygun bir kesir örneği: 167/334, öyle görünüyor ki, çok "korkutucu" görünüyor. Ama aslında bunu ½ olarak da yazabiliriz. 334 sayısı 167'ye kalansız bölünebilir - bu işlemi yaptıktan sonra 2 elde ederiz.

Karışık sayılar

Uygunsuz bir kesir, karışık bir sayı olarak temsil edilebilir. Bu, parçanın tamamının öne getirilerek yatay çizgi seviyesinde yazılmasıdır. Aslında ifade bir toplam şeklini alır: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 vb.

Parçanın tamamını çıkarmak için payı paydaya bölmeniz gerekir. Bölmenin geri kalanını en üste, çizginin üstüne ve tamamını ifadeden önce yazın. Böylece iki yapısal parça elde ederiz: tam birimler + doğru kesir.

Ters işlemi de gerçekleştirebilirsiniz - bunu yapmak için tamsayı kısmını paydayla çarpmanız ve elde edilen değeri paya eklemeniz gerekir. Karmaşık bir şey yok.

Çarpma ve bölme

İşin garibi, kesirleri çarpmak toplama yapmaktan daha kolaydır. Tek yapmanız gereken yatay çizgiyi uzatmak: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Bölme işleminde de her şey basittir: Kesirleri çapraz olarak çarpmanız gerekir: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Kesirleri Ekleme

Toplama yapmanız gerekiyorsa veya paydada farklı sayılar varsa ne yapmalısınız? Çarpma işleminde olduğu gibi aynısını yapmak işe yaramayacaktır - burada uygun kesirin tanımını ve özünü anlamalısınız. Terimleri ortak bir paydaya getirmek gerekiyor, yani her iki kesrin tabanının aynı sayılara sahip olması gerekiyor.

Bunu yapmak için kesirin temel özelliğini kullanmalısınız: her iki parçayı da aynı sayıyla çarpın. Örneğin, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Terimlerin hangi paydaya indirileceği nasıl seçilir? Bu, kesirlerin paydalarındaki her iki sayının katı olan minimum sayı olmalıdır: 1/3 ve 1/9 için 9 olacaktır; ½ ve 1/7 - 14 için, çünkü 2 ve 7'ye kalansız bölünebilen daha küçük bir değer yoktur.

Kullanım

Bunlar ne için? uygunsuz kesirler? Sonuçta, tüm parçayı hemen seçmek, karışık bir sayı elde etmek ve bu işi bitirmek çok daha uygundur! İki kesri çarpmanız veya bölmeniz gerekiyorsa, düzensiz olanları kullanmanın daha karlı olduğu ortaya çıktı.

Şu örneği ele alalım: (2 + 3/17) / (37/68).

Görünüşe göre kesilecek hiçbir şey yok. Peki ya toplama sonucunu ilk parantez içine bileşik kesir olarak yazarsak? Bak: (37/17) / (37/68)

Artık her şey yerine oturuyor! Örneği her şey belli olacak şekilde yazalım: (37*68) / (17*37).

Pay ve paydadaki 37'yi iptal edelim ve son olarak üst ve alt kısmı 17'ye bölelim. Doğru ve yanlış kesirlerin temel kuralını hatırlıyor musunuz? Pay ve payda için aynı anda yaptığımız sürece bunları herhangi bir sayıyla çarpabilir ve bölebiliriz.

Böylece cevabı alıyoruz: 4. Örnek karmaşık görünüyordu, ancak cevap yalnızca bir sayı içeriyor. Bu matematikte sıklıkla olur. Önemli olan korkmamak ve basit kurallara uymaktır.

Yaygın Hatalar

Uygulama yaparken öğrenci sık yapılan hatalardan birini kolaylıkla yapabilir. Genellikle dikkatsizlik nedeniyle ve bazen de çalışılan materyalin henüz kafada uygun şekilde saklanmaması nedeniyle ortaya çıkarlar.

Çoğu zaman paydaki sayıların toplamı, bireysel bileşenlerini azaltmak istemenize neden olur. Örnekte diyelim ki (13 + 2) / 13, parantezsiz (yatay çizgiyle) yazılmış, birçok öğrenci deneyimsizlik nedeniyle üstte ve altta 13'ün üzerini çiziyor. Ancak bu hiçbir koşulda yapılmamalıdır çünkü bu büyük bir hatadır! Toplama yerine çarpma işareti olsaydı cevapta 2 sayısını alırdık. Ancak toplama yaparken terimlerden biriyle hiçbir işlem yapılmasına izin verilmez, yalnızca toplamın tamamıyla işlem yapılmasına izin verilir.

Erkekler ayrıca kesirleri bölerken sıklıkla hata yaparlar. İndirgenemeyen iki tam kesir alıp birbirine bölelim: (5/6) / (25/33). Öğrenci bunu karıştırıp ortaya çıkan ifadeyi (5*25) / (6*33) şeklinde yazabilir. Ancak çarpma işleminde bu olur ama bizim durumumuzda her şey biraz farklı olacaktır: (5*33) / (6*25). Mümkün olanı azaltıyoruz ve cevap 11/10 olacak. Ortaya çıkan uygunsuz kesri ondalık sayı olarak yazıyoruz - 1.1.

Parantez

Herhangi bir matematiksel ifadede işlem sırasının, işlem işaretlerinin önceliğine ve parantezlerin varlığına göre belirlendiğini unutmayın. Diğer her şey eşit olduğunda eylemlerin sırası soldan sağa doğru sayılır. Bu aynı zamanda kesirler için de geçerlidir - pay veya paydadaki ifade kesinlikle bu kurala göre hesaplanır.

Sonuçta bu, bir sayının diğerine bölünmesinin sonucudur. Eşit olarak bölünmezlerse, kesir haline gelir - hepsi bu.

Bilgisayarda kesir nasıl yazılır

Standart araçlar her zaman iki “katmandan” oluşan bir kesir oluşturmaya izin vermediğinden, öğrenciler bazen çeşitli hilelere başvururlar. Örneğin pay ve paydaları Paint grafik düzenleyicisine kopyalayıp birbirine yapıştırarak aralarında yatay bir çizgi çiziyorlar. Tabii ki, daha basit bir seçenek var, bu arada, pek çok şey sağlıyor ek özellikler gelecekte işinize yarayacak.

Microsoft Word'ü açın. Ekranın üst kısmındaki panellerden birine "Ekle" denir - tıklayın. Sağ tarafta pencereyi kapat ve simge durumuna küçült simgelerinin bulunduğu tarafta “Formül” butonu bulunmaktadır. Tam olarak ihtiyacımız olan şey bu!

Bu işlevi kullanırsanız, ekranda klavyede olmayan herhangi bir matematik sembolünü kullanabileceğiniz ve kesirleri yazabileceğiniz dikdörtgen bir alan görünecektir. klasik görünüm. Yani pay ve paydayı yatay bir çizgiyle bölmek. Hatta böylesine düzgün bir kesir yazmanın bu kadar kolay olmasına şaşırabilirsiniz.

Matematik öğren

Eğer 5-6. Sınıftaysanız, yakında birçok okul dersinde matematik bilgisi (kesirlerle çalışma yeteneği dahil!) gerekli olacaktır. Fizikteki hemen hemen her problemde, kimyada, geometride ve trigonometride maddelerin kütlesini ölçerken kesirler olmadan yapamazsınız. Yakında, ifadeleri kağıda bile yazmadan, her şeyi zihninizde hesaplamayı öğreneceksiniz, ama giderek daha fazlasını öğreneceksiniz. karmaşık örnekler. Bu nedenle, doğru kesirin ne olduğunu ve onunla nasıl çalışılacağını öğrenin. müfredat, ödevinizi zamanında yapın ve başaracaksınız.

Yaygın kesirler \textit (doğru) ve \textit (uygun olmayan) kesirlere ayrılır. Bu bölme pay ve paydanın karşılaştırılmasına dayanmaktadır.

Uygun kesirler

Uygun kesir Payın paydadan küçük olduğu sıradan bir kesir $\frac(m)(n)$ olarak adlandırılır; milyon dolar

Örnek 1

Örneğin, $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ kesirleri doğrudur yani bunların her birinde pay, paydadan daha küçüktür, bu da uygun kesir tanımını karşılar.

Kesirin bir ile karşılaştırılmasına dayanan bir uygun kesir tanımı vardır.

doğru birden küçükse:

Örnek 2

Örneğin, $\frac(6)(13)$ ortak kesri uygundur çünkü $\frac(6)(13) koşulu sağlandı

Uygunsuz kesirler

Uygunsuz kesir Payın paydadan büyük veya paydaya eşit olduğu sıradan bir kesir $\frac(m)(n)$ olarak adlandırılır; $m\ge n$.

Örnek 3

Örneğin, $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ kesirleri düzensizdir yani her birinde pay paydadan büyük veya paydaya eşit, bu da uygunsuz kesir tanımını karşılıyor.

Bir ile karşılaştırmasına dayanan uygunsuz bir kesrin tanımını verelim.

Ortak kesir $\frac(m)(n)$ yanlış 1'e eşit veya birden büyükse:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Örnek 4

Örneğin, $\frac(21)(4)$ ortak kesri uygunsuzdur çünkü $\frac(21)(4) >1$ koşulu sağlandı;

$\frac(8)(8)$ ortak kesri uygunsuzdur çünkü $\frac(8)(8)=1$ koşulu karşılandı.

Uygunsuz kesir kavramına daha yakından bakalım.

Örnek olarak $\frac(7)(7)$ uygunsuz kesirini ele alalım. Bu kesrin manası, yedi eşit parçaya bölünmüş bir cismin yedi hissesini almaktır. Böylece mevcut yedi paylaşımdan nesnenin tamamı oluşturulabilir. Onlar. uygunsuz kesir $\frac(7)(7)$ nesnenin tamamını tanımlar ve $\frac(7)(7)=1$. Dolayısıyla payın paydaya eşit olduğu uygunsuz kesirler bir tam nesneyi tanımlar ve böyle bir kesir $1$ doğal sayısıyla değiştirilebilir.

$\frac(5)(2)$ - bu beş saniyelik bölümlerden $2$ bütün nesneler oluşturabileceğiniz oldukça açıktır (bir bütün nesne $2$ parçalardan oluşacaktır ve iki tam nesneyi oluşturmak için ihtiyacınız olan şey) $2+2=4$ hisse) ve geriye bir ikinci hisse kalır. Yani, $\frac(5)(2)$ uygunsuz kesri bir nesnenin $2$'ını ve bu nesnenin payını $\frac(1)(2)$ açıklar.

$\frac(21)(7)$ -- yirmi bir yedinci parçalardan $3$ bütün nesneler (her birinde $7$ paya sahip $3$ nesneler) yapabilirsiniz. Onlar. $\frac(21)(7)$ kesri $3$ tam nesneleri tanımlar.

Ele alınan örneklerden şu sonuca varabiliriz: eğer pay paydaya tamamen bölünebiliyorsa uygunsuz bir kesirin yerini doğal bir sayı alabilir (örneğin, $\frac(7)(7)=1$ ve $\ frac(21)(7)=3$) veya pay, paydaya tamamen bölünemiyorsa bir doğal sayı ile uygun bir kesrin toplamı (örneğin, $\ \frac(5)(2)=2) +\frac(1)(2)$). Bu yüzden bu tür kesirlere denir yanlış.

Tanım 1

Uygun olmayan bir kesri, bir doğal sayı ile bir uygun kesirin toplamı olarak temsil etme işlemine (örneğin, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) denir. bütün parçayı uygunsuz bir kesirden ayırmak.

Uygunsuz kesirlerle çalışırken aralarında yakın bir bağlantı vardır ve karışık sayılar.

Uygunsuz bir kesir genellikle bir tam sayı ve bir kesir kısmından oluşan bir sayı olan karışık bir sayı olarak yazılır.

Uygun olmayan bir kesri tam sayı olarak yazmak için payı paydaya ve kalana bölmeniz gerekir. Bölüm, tam sayının tam kısmı, kalan kısım kesirli kısmın payı, bölen ise kesirli kısmın paydası olacaktır.

Örnek 5

$\frac(37)(12)$ uygunsuz kesirini karışık sayı olarak yazın.

Çözüm.

Payı paydaya kalanla bölün:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (kalan\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Cevap.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Karışık bir sayıyı bileşik kesir olarak yazmak için, paydayı sayının tam kısmı ile çarpmanız, kesirli kısmın payını ortaya çıkan çarpıma eklemeniz ve elde edilen miktarı kesrin payına yazmanız gerekir. Uygunsuz kesrin paydası, karışık sayının kesirli kısmının paydasına eşit olacaktır.

Örnek 6

$5\frac(3)(7)$ karışık sayısını uygunsuz kesir olarak yazın.

Çözüm.

Cevap.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Karışık sayıları ve uygun kesirleri toplama

Karışık Sayı Toplama$a\frac(b)(c)$ ve uygun kesir$\frac(d)(e)$, belirli bir kesirli sayının kesirli kısmının eklenmesiyle gerçekleştirilir:

Örnek 7

Uygun kesir $\frac(4)(15)$ ile karışık sayıyı $3\frac(2)(5)$ ekleyin.

Çözüm.

Karışık bir sayı ve uygun bir kesir eklemek için formülü kullanalım:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

\textit(5) sayısına bölerek $\frac(10)(15)$ kesirinin indirgenebilir olduğunu belirleyebiliriz. Azaltma işlemini yapıp toplama işleminin sonucunu bulalım:

Yani, $\frac(4)(15)$ doğru kesirini ve $3\frac(2)(5)$ karışık sayısını toplamanın sonucu $3\frac(2)(3)$ olur.

Cevap:$3\frac(2)(3)$

Karışık sayıları ve bileşik kesirleri toplama

Uygunsuz kesirleri ve karışık sayıları toplama iki karışık sayının eklenmesine indirgenir; bunun için tüm parçayı yanlış kesirden ayırmak yeterlidir.

Örnek 8

$6\frac(2)(15)$ karışık sayısının ve $\frac(13)(5)$ uygunsuz kesirinin toplamını hesaplayın.

Çözüm.

Öncelikle $\frac(13)(5)$ bileşik kesirinin tamamını çıkaralım:

Cevap:$8\frac(11)(15)$.

Basit matematik kuralları ve teknikleri sürekli kullanılmadığı takdirde çok çabuk unutulur. Terimler hafızadan daha da hızlı kaybolur.

Bu basit işlemlerden biri, bileşik kesri, düzgün veya diğer bir deyişle karışık kesire dönüştürmektir.

Uygunsuz kesir

Uygunsuz kesir, payın (çizginin üzerindeki sayı) paydadan (çizginin altındaki sayı) büyük veya ona eşit olduğu kesirdir. Bu kesir, kesirlerin eklenmesi veya bir kesirin bir tam sayı ile çarpılmasıyla elde edilir. Matematik kurallarına göre böyle bir kesrin uygun kesir haline dönüştürülmesi gerekir.

Uygun kesir

Diğer tüm kesirlerin uygun olarak adlandırıldığını varsaymak mantıklıdır. Kesin bir tanım, payı paydasından küçük olan bir kesirin doğru olarak adlandırılmasıdır. Tamsayı kısmı olan bir kesire bazen karışık kesir denir.

Uygun olmayan bir kesirin uygun bir kesire dönüştürülmesi

İlk durum: pay ve payda birbirine eşittir. Böyle bir kesri dönüştürmenin sonucu birdir. Üçte üç ya da yüz yirmi beş yüz yirmi beşte olması önemli değil. Esasen böyle bir kesir, bir sayının kendisine bölünmesi eylemini ifade eder.

İkinci durum: Pay, paydadan büyüktür. Burada sayıları kalanla bölme yöntemini hatırlamanız gerekir.
Bunu yapmak için paydaya kalansız bölünebilen pay değerine en yakın sayıyı bulmanız gerekir. Örneğin, on dokuz üçte bir kesiriniz var. Üçe bölünebilen en yakın sayı on sekizdir. Bu altı. Şimdi elde edilen sayıyı paydan çıkarın. Bir tane alıyoruz. Geriye kalan bu. Dönüşümün sonucunu yazın: altı tam ve üçte biri.

Ancak kesri azaltmadan önce doğru tür kısaltılıp kısaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir.
Pay ve paydanın ortak bir çarpanı varsa kesri azaltabilirsiniz. Yani her ikisinin de kalansız bölünebildiği sayıdır. Bu tür bölenlerden birkaçı varsa, en büyüğünü bulmanız gerekir.
Örneğin, tüm çift sayıların böyle bir ortak böleni vardır - iki. Ve on altı on ikinci kesirin bir ortak böleni daha var - dört. Bu en büyük bölendir. Pay ve paydayı dörde bölün. Azaltma sonucu: üçte dört. Şimdi pratik olarak bu kesri uygun kesre dönüştürün.

“Kesirler” kelimesi birçok insanın tüylerini diken diken eder. Çünkü okulu ve matematikte çözülen görevleri hatırlıyorum. Bu yerine getirilmesi gereken bir görevdi. Doğru ve yanlış kesirleri içeren problemleri bir bulmaca gibi ele alsanız ne olur? Sonuçta birçok yetişkin dijital ve Japonca bulmacaları çözüyor. Kuralları çözdük ve bu kadar. Burada da durum aynı. Kişinin yalnızca teoriye dalması gerekir - ve her şey yerine oturacaktır. Ve örnekler beyninizi eğitmenin bir yoluna dönüşecek.

Ne tür kesirler vardır?

Ne olduğuyla başlayalım. Kesir, bir kısmı bire sahip olan bir sayıdır. İki biçimde yazılabilir. İlkine sıradan denir. Yani yatay veya eğimli bir çizgiye sahip olan. Bölme işaretine eşdeğerdir.

Böyle bir gösterimde satırın üstündeki sayıya pay, altındaki sayıya da payda adı verilir.

Sıradan kesirler arasında uygun ve yanlış kesirler ayırt edilir. Birincisi için payın mutlak değeri her zaman paydadan küçüktür. Yanlış olanlara öyle denir çünkü onlarda her şey tam tersidir. Bir uygun kesrin değeri her zaman birden küçüktür. Yanlış olan ise her zaman bu sayıdan büyüktür.

Ayrıca tamsayı ve kesirli kısmı olan karışık sayılar da vardır.

İkinci kayıt türü ise ondalık. Onun hakkında ayrı bir konuşma var.

Uygunsuz kesirlerin karışık sayılardan farkı nedir?

Aslında hiçbir şey. Çok basit farklı giriş aynı numara. Uygun olmayan kesirler, basit adımlardan sonra kolayca karışık sayılara dönüşür. Ve tam tersi.

Her şey özel duruma bağlıdır. Bazen görevlerde uygunsuz bir kesir kullanmak daha uygundur. Bazen bunu tam sayıya dönüştürmek gerekir ve o zaman örnek çok kolay çözülecektir. Bu nedenle ne kullanılacağı: uygunsuz kesirler, karışık sayılar, problemi çözen kişinin gözlem becerisine bağlıdır.

Karışık sayı aynı zamanda tam sayı ve kesirli kısmın toplamı ile de karşılaştırılır. Üstelik ikincisi her zaman birden küçüktür.

Karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak nasıl gösterebilirim?

Eğer yazılı olan birden fazla sayı ile herhangi bir işlem yapmanız gerekiyorsa farklı türler, o zaman onları aynı yapmanız gerekir. Yöntemlerden biri sayıları uygunsuz kesirler olarak temsil etmektir.

Bu amaçla aşağıdaki algoritmayı uygulamanız gerekecektir:

paydayı tam kısımla çarpın;
payın değerini sonuca ekleyin;
cevabı satırın üstüne yazın;
paydayı aynı bırakın.

Karışık sayılardan uygunsuz kesirlerin nasıl yazılacağına dair örnekler:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Uygunsuz bir kesir karışık sayı olarak nasıl yazılır?

Bir sonraki teknik yukarıda tartışılanın tam tersidir. Yani, tüm karışık sayıların yerini uygunsuz kesirler aldığında. Eylem algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

kalanı elde etmek için payın paydaya bölünmesi;
bölümü karışık olanın tamamı yerine yazın;
geri kalanı çizginin üstüne yerleştirilmelidir;
bölen payda olacaktır.

Böyle bir dönüşümün örnekleri:

76/14; 76:14 = 5, kalan 6; cevap 5 tam ve 6/14 olacak; bu örnekteki kesirli kısmın 2 oranında azaltılması gerekiyor, sonuçta 3/7 elde ediliyor; son cevap 5 nokta 3/7'dir.

108/54; bölme işleminden sonra kalansız 2 bölümü elde edilir; bu, tüm uygunsuz kesirlerin karışık sayı olarak temsil edilemeyeceği anlamına gelir; cevap bir tam sayı olacaktır - 2.

Bir tam sayıyı yanlış kesire nasıl dönüştürebilirim?

Böyle bir eylemin gerekli olduğu durumlar vardır. Bilinen bir paydaya sahip uygunsuz kesirler elde etmek için aşağıdaki algoritmayı uygulamanız gerekecektir:

bir tam sayıyı istenen paydayla çarpın;
bu değeri satırın üstüne yazın;
paydayı altına yerleştirin.

En basit seçenek, paydanın bire eşit olmasıdır. O zaman hiçbir şeyi çarpmanıza gerek yok. Örnekte verilen tamsayıyı yazıp satırın altına bir tane yerleştirmek yeterlidir.

Örnek: 5'i paydası 3 olan bileşik kesir yapın. 5'i 3 ile çarpmak 15'i verir. Bu sayı payda olacaktır. Görevin cevabı kesirdir: 15/3.

Farklı sayılarla problem çözmede iki yaklaşım

Örnek, iki sayının toplamı ve farkının yanı sıra çarpımı ve bölümünün de hesaplanmasını gerektirir: 2 tam sayı 3/5 ve 14/11.

İlk yaklaşımda karışık sayı uygunsuz bir kesir olarak temsil edilecektir.

Yukarıda anlatılan adımları uyguladıktan sonra şu değeri elde edeceksiniz: 13/5.

Toplamı bulmak için kesirleri aynı paydaya indirmeniz gerekir. 13/5, 11 ile çarpıldığında 143/55 olur. Ve 14/11, 5 ile çarpıldıktan sonra şöyle görünecektir: 70/55. Toplamı hesaplamak için yalnızca payları eklemeniz gerekir: 143 ve 70 ve ardından cevabı bir paydayla yazın. 213/55 - Bu bileşik kesir sorunun cevabıdır.

Farkı bulurken aynı sayılar çıkarılır: 143 - 70 = 73. Cevap kesir olacaktır: 73/55.

13/5 ile 14/11'i çarparken ortak paydaya indirmenize gerek yok. Çiftler halinde pay ve paydaları çarpmak yeterlidir. Cevap: 182/55 olacaktır.

Aynı şey bölme için de geçerli. İçin doğru karar bölmeyi çarpma ile değiştirmeniz ve böleni ters çevirmeniz gerekir: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

İkinci yaklaşımda uygunsuz bir kesir karışık bir sayıya dönüşür.

Algoritmanın işlemlerini gerçekleştirdikten sonra 14/11, tamsayı kısmı 1 ve kesirli kısmı 3/11 olan karışık bir sayıya dönüşecektir.

Toplamı hesaplarken tam ve kesirli kısımları ayrı ayrı eklemeniz gerekir. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Son cevap 3 nokta 48/55'tir. İlk yaklaşımda kesir 213/55 idi. Karışık sayıya dönüştürerek doğruluğunu kontrol edebilirsiniz. 213'ü 55'e böldüğümüzde bölüm 3, kalan 48 oluyor. Cevabın doğru olduğunu görmek çok kolay.

Çıkarma işleminde “+” işaretinin yerini “-” alır. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Kontrol etmek için, önceki yaklaşımdan elde edilen cevabın karışık bir sayıya dönüştürülmesi gerekir: 73, 55'e bölünür ve bölüm 1, kalan ise 18'dir.

Çarpımı ve bölümü bulmak için karışık sayıları kullanmak sakıncalıdır. Burada her zaman uygunsuz kesirlere geçilmesi tavsiye edilir.

Uygunsuz kesir

Çeyrekler

Düzenlilik. A Ve B kişinin aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz bir şekilde tanımlamasına izin veren bir kural vardır: "< », « >" veya " = ". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: negatif olmayan iki sayı ve iki tam sayı ve ile aynı ilişkiyle ilişkilidir; pozitif olmayan iki sayı A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve ; eğer aniden A olumsuz değil ama B- negatif o zaman A > B.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Kesirleri Ekleme Ekleme işlemi. A Ve B Herhangi bir rasyonel sayı için sözde var toplama kuralı C toplama kuralı. Aynı zamanda sayının kendisi isminde miktar A Ve B sayılar ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplam . Toplama kuralı vardır: .
sonraki görünüm Ekleme işlemi. A Ve B Herhangi bir rasyonel sayı için Çarpma işlemi.çarpma kuralı toplama kuralı C toplama kuralı. Aynı zamanda sayının kendisi onlara bazı rasyonel sayılar atar miktar A Ve B iş ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denirçarpma .
. Çarpma kuralı şuna benzer: Sıra ilişkisinin geçişliliği. A , B Ve toplama kuralı Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için A Eğer B Ve B Eğer toplama kuralı az A Eğer toplama kuralı, O A ve eğer B Ve B ve eğer toplama kuralı az A ve eğer toplama kuralı eşittir
.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.
Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
Birimin kullanılabilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
Karşılıklı sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Sola ve sağ taraf Rasyonel bir eşitsizlik için aynı rasyonel sayıyı ekleyebilirsiniz.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Arşimet Aksiyomu. A Rasyonel sayı ne olursa olsun A, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ek özellikler

Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler temel özellikler olarak ayırt edilmez, çünkü genel olarak konuşursak, bunlar artık doğrudan tam sayıların özelliklerine dayanmaz, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan bazı matematiksel nesnelerin tanımıyla kanıtlanabilirler. . Bunun gibi pek çok ek özellik var. Bunlardan sadece birkaçını burada listelemek anlamlı olacaktır.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Bir kümenin sayılabilirliği

Rasyonel sayıların numaralandırılması Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir. Bu algoritmaların en basiti şuna benzer. Her birinde sıradan kesirlerden oluşan sonsuz bir tablo derlenir. Ben her birinde -inci satır Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir. J Ben- sütun numarası.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.

Böyle bir geçiş sürecinde her yeni rasyonel sayı bir başka rasyonel sayıyla ilişkilendirilir. doğal sayı. Yani, 1/1 kesri 1 sayısına, 2/1 kesri 2 sayısına vb. atanır. Yalnızca indirgenemez kesirlerin numaralandırıldığına dikkat edilmelidir. İndirgenemezliğin resmi bir işareti, bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşit olmasıdır.

Bu algoritmayı takip ederek tüm pozitif rasyonel sayıları sıralayabiliriz. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturmak, her rasyonel sayıya basitçe onun tersini atayarak kolaydır. O. Negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri aynı zamanda sayılabilir kümelerin özelliği ile de sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi aynı zamanda sayılabilir bir kümenin sonlu bir kümeyle birleşimi olarak da sayılabilir.

Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliğiyle ilgili ifade, ilk bakışta doğal sayılar kümesinden çok daha kapsamlı gibi göründüğü için bazı karışıklıklara neden olabilir. Aslında durum böyle değildir ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı vardır.

Rasyonel sayıların eksikliği

Böyle bir üçgenin hipotenüsü hiçbir şekilde ifade edilemez. rasyonel sayı

1 / formunun rasyonel sayıları N genel olarak N keyfi olarak küçük miktarlar ölçülebilir. Bu gerçek, rasyonel sayıların herhangi bir geometrik mesafeyi ölçmek için kullanılabileceği yönünde yanıltıcı bir izlenim yaratmaktadır. Bunun doğru olmadığını göstermek kolaydır.

Pisagor teoreminden, bir dik üçgenin hipotenüsünün, dik kenarlarının kareleri toplamının karekökü olarak ifade edildiğini biliyoruz. O. bir ikizkenarın hipotenüs uzunluğu dik üçgen birim ayağı olan bir sayıya eşittir, yani karesi 2 olan bir sayıya.

Bir sayının herhangi bir rasyonel sayı ile temsil edilebileceğini varsayarsak, o zaman böyle bir tamsayı vardır. M ve böyle bir doğal sayı N, bu ve kesir indirgenemez, yani sayılar M Ve N- karşılıklı olarak basit.