Y, X'in köküne eşittir. Güç fonksiyonu ve kökleri - tanımı, özellikleri ve formülleri

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Kuvvet fonksiyonları. Kübik kök. Kübik kökün özellikleri"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Eğitim kompleksi 1C: "Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar" Yazılım ortamı "1C: Mathematical Constructor 6.0"

Güç fonksiyonunun tanımı - küp kökü

Eşitliği kontrol edelim: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
$\sqrt((-x))=a$ ve $\sqrt(x)=b$ olsun. Her iki ifadeyi de üçüncü kuvvete yükseltelim. $–x=a^3$ ve $x=b^3$. Sonra $a^3=-b^3$ veya $a=-b$. Köklerin gösterimini kullanarak istenen özdeşliği elde ederiz.

Kübik köklerin özellikleri

İkinci özelliği kanıtlayalım. $(\sqrt(\frac(a)(b))))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
$\sqrt(\frac(a)(b))$ cubed sayısının $\frac(a)(b)$'a eşit olduğunu ve ardından $\sqrt(\frac(a)(b))$'a eşit olduğunu bulduk. , ve kanıtlanması gerekiyordu.

Arkadaşlar fonksiyonumuzun grafiğini oluşturalım.
1) Tanım alanı gerçek sayılar kümesidir.
2) $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$ olduğundan fonksiyon tektir. Daha sonra, $x≥0$ için fonksiyonumuzu düşünün, ardından grafiği orijine göre görüntüleyin.
3) $x≥0$ olduğunda fonksiyon artar. Fonksiyonumuz için daha büyük argüman değeri şuna karşılık gelir: daha yüksek değer Fonksiyonlar, bu da artan anlamına gelir.
4) Fonksiyon yukarıdan sınırlandırılmamıştır. Aslında herhangi birinden çok sayıdaüçüncü kök hesaplanabilir ve argümanın daha büyük değerlerini bularak sonsuza kadar yukarı doğru hareket edebiliriz.
5) $x≥0$ için en küçük değer 0'a eşittir. Bu özellik açıktır.
Fonksiyonun grafiğini x≥0 noktasındaki noktalara göre oluşturalım.

Fonksiyonun grafiğini tüm tanım alanı üzerinde oluşturalım. Fonksiyonumuzun tuhaf olduğunu unutmayın.

Fonksiyon özellikleri:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Tek fonksiyon.
3) (-∞;+∞) kadar artar.
4) Sınırsız.
5) Minimum veya maksimum değer yoktur.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Aşağıya doğru dışbükey (-∞;0), yukarıya doğru dışbükey (0;+∞).

Güç fonksiyonlarını çözme örnekleri

2. Fonksiyonun grafiğini oluşturun. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Çözüm. Grafiğimiz $y=\sqrt(x)$ fonksiyonunun grafiğinden elde edilmiştir, paralel aktarım iki birim sağa ve üç birim aşağıya.

3. Fonksiyonun grafiğini çizin ve okuyun. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(case)$.
Çözüm. Koşullarımızı dikkate alarak aynı koordinat düzleminde iki fonksiyon grafiği oluşturalım. $x≥-1$ için kübik kökün grafiğini oluştururuz, $x≤-1$ için doğrusal fonksiyonun grafiğini oluştururuz.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fonksiyon ne çift ne de tektir.
3) (-∞;-1) azalır, (-1;+∞) artar.
4) Yukarıdan sınırsız, aşağıdan sınırlı.
5) En büyük değer yoktur. En küçük değer eksi birdir.
6) Fonksiyon sayı doğrusunda süreklidir.
7) E(y)= (-1;+∞).

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

N'inci derece gerçek Numara, herhangi bir derecenin kökünün (ikinci, üçüncü, dördüncü vb.) negatif olmayan herhangi bir sayıdan, herhangi bir tek derecenin kökünün negatif bir sayıdan çıkarılabileceğini kaydetti. Ama sonra formun bir fonksiyonunu, grafiğini, özelliklerini düşünmelisiniz. Bu paragrafta yapacağımız şey budur. Öncelikle değerlerin negatif olmaması durumunda fonksiyondan bahsedelim. argüman.

n = 2 olduğu bilinen durumla başlayalım; Şekil 2'deki fonksiyondan Şekil 166'da fonksiyonun grafiği ve y = x 2, x>0 fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Her iki grafik de aynı eğriyi temsil eder; yalnızca koordinat düzleminde farklı konumlanmış bir parabolün dalını temsil eder. Açıklayalım: Bu grafikler, belirtilen düz çizgiye göre birbirlerine simetrik olan noktalardan oluştuğu için y = x düz çizgisine göre simetriktir. Bakın: y = x 2 parabolünün dikkate alınan dalında (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16) noktaları vardır ve fonksiyonda grafikte (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4) noktaları vardır.

(2; 4) ve (4; 2), (3; 9) ve (9; 3), (4; 16) ve (16; 4) noktaları y = x doğrusuna göre simetriktir (ve (0) noktaları ; 0 ) ve (1; 1) bu doğru üzerinde yer alır). Ve genel olarak herhangi bir (a; a 2) noktası için fonksiyon grafiği y = x 2, fonksiyonun grafiğindeki y = x düz çizgisine göre ona simetrik olan bir (a 2 ; a) noktasıdır ve bunun tersi de geçerlidir. Aşağıdaki teorem doğrudur.

Kanıt. Kesinlik için a ve b'nin eşit olduğunu varsayıyoruz. pozitif sayılar. OAM ve OVR üçgenlerini düşünün (Şekil 167). Eşittirler, yani OP = OM ve . Ama sonra çünkü y = x düz çizgisi AOB açısının açıortayıdır. Yani, ROM üçgeni ikizkenardır, OH onun açıortayıdır ve dolayısıyla simetri eksenidir. M ve P noktaları OH düz çizgisine göre simetriktir ve bunun kanıtlanması gerekiyordu.
Yani fonksiyonun grafiği, y = x 2, x>0 fonksiyonunun grafiğinden, y = x düz çizgisine göre bir simetri dönüşümü kullanılarak elde edilebilir. Benzer şekilde, bir fonksiyonun grafiği, y = x 3, x> 0 fonksiyonunun grafiğinden, y = x düz çizgisine göre bir simetri dönüşümü kullanılarak elde edilebilir; bir fonksiyonun grafiği, y = x düz çizgisine vb. göre bir simetri dönüşümü kullanılarak bir fonksiyonun grafiğinden elde edilebilir. Bir fonksiyonun grafiğinin görünüş olarak bir parabolün dalına benzediğini hatırlayalım: n ne kadar büyük olursa bu dal aralıkta o kadar dikleşir ve x = 0 noktası civarında x eksenine o kadar yaklaşır (Şekil 1). .168).

Genel bir sonuç formüle edelim: fonksiyonun grafiği, fonksiyonun grafiğine y = x düz çizgisine göre simetriktir (Şekil 169).

Fonksiyon özellikleri

1)
2) fonksiyon ne çift ne de tektir;
3) artar
4) yukarıdan sınırlı değil, aşağıdan sınırlı;
5) çok büyük bir öneme sahip değil;
6) sürekli;
7)

İlginç bir duruma dikkat edin. Grafikleri Şekil 2'de gösterilen iki fonksiyonu ele alalım. 169: İlk fonksiyon için az önce yedi özellik sıraladık ama ikinci fonksiyon tamamen aynı özelliklere sahip. İki kişinin sözlü “portreleri” çeşitli işlevler aynıdır. Ama açıklığa kavuşturalım, bunlar hâlâ aynı.

Farklı grafiklere sahip farklı fonksiyonlar sözlü olarak aynı şekilde anlatıldığında matematikçiler böyle bir adaletsizliğe dayanamadılar ve yukarı doğru dışbükeylik ve aşağı doğru dışbükeylik kavramlarını ortaya attılar. Fonksiyonun grafiği yukarı doğru dışbükey, y = x n fonksiyonunun grafiği ise aşağı doğru dışbükeydir.

Grafiğinin herhangi iki noktası bir düz çizgi parçasıyla birleştirildiğinde, grafiğin karşılık gelen kısmının çizilen parçanın altında olduğu keşfedilirse, sürekli bir fonksiyonun genellikle aşağıya doğru dışbükey olduğu söylenir (Şekil 170); sürekli bir fonksiyon, grafiğinin herhangi iki noktasının bir düz çizgi parçasıyla birleştirilmesiyle grafiğin karşılık gelen kısmının çizilen parçanın üzerinde yer aldığı keşfedilirse yukarıya doğru dışbükeydir (Şekil 171).

Ayrıca dışbükeylik özelliğini bir grafiği okuma prosedürüne dahil edeceğiz. Söz konusu fonksiyon için şunu not edelim" (daha önce açıklanan özelliklerin numaralandırılmasına devam ederek):

8) fonksiyon ışın üzerinde yukarı doğru dışbükeydir
Önceki bölümde, bir fonksiyonun başka bir özelliği olan türevlenebilirlik hakkında bilgi sahibi olduk; y = x n fonksiyonunun herhangi bir noktada türevlenebilir olduğunu, türevinin nx n-1'e eşit olduğunu gördük. Geometrik olarak bu, y = x n fonksiyonunun grafiğindeki herhangi bir noktada ona bir teğet çizilebileceği anlamına gelir. Bir fonksiyonun grafiği de aynı özelliğe sahiptir: Herhangi bir noktada grafiğe bir teğet çizmek mümkündür. Böylece fonksiyonun bir özelliğini daha not edebiliriz.
9) fonksiyon x > 0'ın herhangi bir noktasında türevlenebilirdir.
Lütfen unutmayın: fonksiyonun x = 0 noktasındaki türevlenebilirliğinden bahsetmiyoruz - bu noktada fonksiyonun grafiğine teğet y ekseniyle çakışıyor, yani. x eksenine dik.
Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiğini çizin
Çözüm. 1) Devam edelim yardımcı sistem(-1; -4) noktasındaki orijin ile koordinatlar - Şekil 2'deki noktalı çizgiler x = -1 ve y = -4. 172.
2) İşlevi "bağlayın" yeni sistem koordinatlar Bu gerekli program olacaktır.
Örnek 2. Denklemi çözün

Çözüm. İlk yol. 1) İki fonksiyonu tanıtalım
2) Fonksiyonun grafiğini çizelim

3) y=2-x doğrusal fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım (bkz. Şekil 173).

4) Oluşturulan grafikler bir A noktasında kesişir ve grafikten A noktasının koordinatlarının aşağıdaki gibi olduğu varsayımını yapabiliriz: (1; 1). Kontrol, aslında (1; 1) noktasının hem fonksiyonun grafiğine hem de y=2-x fonksiyonunun grafiğine ait olduğunu göstermektedir. Bu, denklemimizin bir kökü olduğu anlamına gelir: x = 1 - A noktasının apsisi.

İkinci yol.
Şekil 2'de sunulan geometrik model. 173, bazen denklemi çok zarif bir şekilde çözmenize olanak tanıyan (ve bunu Örnek 2'yi çözerken zaten § 35'te kullanmıştık) aşağıdaki ifadeyle açıkça gösterilmektedir:

Eğer y=f(x) fonksiyonu artarsa ​​ve y=g(x) fonksiyonu azalırsa ve f(x)=g(x) denkleminin bir kökü varsa, o zaman sadece bir tane vardır.

Bu ifadeye dayanarak verilen denklemi şu şekilde çözebiliriz:

1) x = 1 için eşitliğin geçerli olduğuna dikkat edin; bu, x = 1'in denklemin kökü olduğu anlamına gelir (bu kökü tahmin ettik);
2) y=2-x fonksiyonu azalır ve fonksiyon artar; Bu, verilen denklemin yalnızca bir kökü olduğu ve bu kökün yukarıda bulunan x = 1 değeri olduğu anlamına gelir.

Cevap: x = 1.

Şu ana kadar sadece negatif olmayan argüman değerleri için fonksiyondan bahsettik. Ancak n tek bir sayı ise ifade x için de anlamlıdır<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.

Nitekim listelenenlere yalnızca bir özellik eklenecektir:

n tek bir sayı ise (n = 3,5, 7,...), o zaman tek bir fonksiyondur.

Aslında, bu tür dönüşümlerin tek bir n üssü için doğru olmasına izin verin. Yani f(-x) = -f(x) ve bu, fonksiyonun tek olduğu anlamına gelir.

Tek n üssü durumunda bir fonksiyonun grafiği nasıl görünür? Şekil 2'de gösterildiği gibi olduğunda 169, istenen grafiğin bir dalıdır. Koordinatların orijinine göre simetrik olan bir dal ekleyerek (ki bu, herhangi bir tek fonksiyon için tipiktir), fonksiyonun bir grafiğini elde ederiz (Şekil 174). Y ekseninin grafiğe x = 0 noktasında teğet olduğuna dikkat edin.
O halde bir kez daha tekrarlayalım:
n bir çift sayı ise, fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 169;
n tek bir sayı ise, fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 174.

Örnek 3. y = f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturun ve okuyun; burada
Çözüm.Öncelikle fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım ve bir kısmını ışın üzerinde vurgulayalım (Şekil 175).
Daha sonra fonksiyonun bir grafiğini oluşturacağız ve açık ışındaki kısmını seçeceğiz (Şekil 176). Son olarak, her iki “parçayı” aynı koordinat sisteminde tasvir edeceğiz - bu, y = f(x) fonksiyonunun grafiği olacaktır (Şekil 177).
y = f(x) fonksiyonunun özelliklerini (çizilen grafiğe dayanarak) listeleyelim:

1)
2) ne çift ne de tek;
3) ışında azalır, ışında artar
4) aşağıdan sınırlı değil, yukarıdan sınırlı;
5) minimum değer yoktur, a (x = 1 noktasında elde edilir);
6) sürekli;
7)
8) aşağı doğru dışbükey, segment üzerinde yukarı doğru dışbükey, aşağı doğru dışbükey
9) Fonksiyon x = 0 ve x = 1 noktaları dışında her yerde türevlenebilirdir.
10) fonksiyonun grafiğinin yatay bir asimptotu var, yani şunu hatırlayın

Örnek 4. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun:

Çözüm, a) Çift dereceli kök işaretinin altında negatif olmayan bir sayı bulunmalıdır; bu, problemin eşitsizliğin çözümüyle ilgili olduğu anlamına gelir
b) Herhangi bir sayı tek kökün işareti altında olabilir, bu da burada x'e hiçbir kısıtlama getirilmediği anlamına gelir; D(f) = R.
c) İfade, bir ifadenin iki eşitsizliğin aynı anda karşılanması gerektiği anlamına gelmesi koşuluyla anlamlıdır: onlar. sorun eşitsizlik sistemini çözmekle ilgilidir:

Eşitsizliği çözme
Eşitsizliği çözelim Eşitsizliğin sol tarafını çarpanlara ayıralım: -4 ve 4 noktalarında eşitsizliğin sol tarafı 0'a döner. Bu noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim (Şekil 178). Sayı doğrusu belirtilen noktalarla üç aralığa bölünür ve her aralıkta p(x) = (4-x)(4 + x) ifadesi sabit bir işareti korur (işaretler Şekil 178'de gösterilmiştir). p(x)>0 eşitsizliğinin geçerli olduğu aralık Şekil 2'de gölgelendirilmiştir. 178. Problemin koşullarına göre, p(x) = 0 eşitliğinin sağlandığı x noktalarıyla da ilgileniyoruz.Böyle iki nokta vardır: x = -4, x = 4 - bunlar Şekilde işaretlenmiştir. . 178 koyu halka. Böylece, Şekil 2'de. Şekil 178 sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümü için geometrik bir model sunmaktadır.

Birinci için üst taramayı ve ikinci için alt taramayı kullanarak sistemin birinci ve ikinci eşitsizliklerinin bulunan çözümlerini aynı koordinat çizgisi üzerinde işaretleyelim (Şekil 179). Eşitsizlik sisteminin çözümü, sistem eşitsizliklerinin çözümlerinin kesişimi olacaktır, yani. her iki taramanın çakıştığı aralık. Böyle bir boşluk [-1, 4] segmentidir.

Cevap. D(f) = [-1,4].

A.G. Mordkovich Cebiri 10. sınıf

Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda matematik

y=√x fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

y=√x fonksiyonunun grafiği

Gördüğünüz gibi grafik, döndürülmüş bir parabole, daha doğrusu onun dallarından birine benziyor. x=y^2 parabolünün bir dalını elde ediyoruz. Şekilden grafiğin Oy eksenine koordinatları (0;0) olan noktada yalnızca bir kez dokunduğu görülmektedir.
Şimdi bu fonksiyonun ana özelliklerine dikkat çekmeye değer.

y=√x fonksiyonunun özellikleri

1. Bir fonksiyonun tanım alanı bir ışındır)