Bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks und ihre Eigenschaften. Bemerkenswerte Punkte des Dreiecks

Beweisen wir zunächst den Satz über die Winkelhalbierende.

Satz

Nachweisen

1) Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M auf der Winkelhalbierenden BAC, zeichnen Sie die Senkrechten MK und ML zu den Geraden AB und AC und beweisen Sie, dass MK = ML (Abb. 224). Betrachten Sie die rechtwinkligen Dreiecke AM K und AML. Sie sind in Hypotenuse und gleich scharfe Ecke(AM ist die allgemeine Hypotenuse, ∠1 = ∠2 laut Konvention). Daher ist MK = ML.

2) Der Punkt M liege innerhalb des Winkels BAC und sei von seinen Seiten AB und AC gleich weit entfernt. Beweisen wir, dass der Strahl AM die Winkelhalbierende des Winkels BAC ist (siehe Abb. 224). Zeichnen wir die Senkrechten MK und ML zu den Geraden AB und AC. Die rechtwinkligen Dreiecke AMK und AML sind in Hypotenuse und Bein gleich (AM ist die gemeinsame Hypotenuse, MK = ML laut Konvention). Daher ist ∠1 = ∠2. Dies bedeutet aber, dass der Strahl AM die Winkelhalbierende des Winkels BAC ist. Der Satz ist bewiesen.

Reis. 224

Folgerung 1

Folgerung 2

Tatsächlich bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden AA 1 und BB 1 des Dreiecks ABC und zeichnen von diesem Punkt aus die Senkrechten OK, OL bzw. OM zu den Geraden AB, BC und CA (Abb. 225). Nach dem bewährten Satz ist OK = OM und OK = OL. Daher ist OM = OL, d. h. Punkt O ist von den Seiten des Winkels ACB gleich weit entfernt und liegt daher auf der Winkelhalbierenden CC 1 dieses Winkels. Folglich schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC im Punkt O, was bewiesen werden musste.

Reis. 225

Eigenschaften der Mittelsenkrechten zu einem Segment

Eine Mittelsenkrechte zu einem Segment ist eine Linie, die durch die Mitte eines gegebenen Segments und senkrecht dazu verläuft.

Reis. 226

Beweisen wir den Satz über die Mittelsenkrechte einer Strecke.

Satz

Nachweisen

Die Gerade m sei die Mittelsenkrechte zum Segment AB, Punkt O sei der Mittelpunkt dieses Segments (Abb. 227, a).

Reis. 227

1) Betrachten Sie einen beliebigen Punkt M auf einer Geraden m und beweisen Sie, dass AM = BM. Wenn Punkt M mit Punkt O zusammenfällt, dann ist diese Gleichheit wahr, da O der Mittelpunkt des Segments AB ist. Seien M und O unterschiedliche Punkte. Die rechtwinkligen Dreiecke OAM und OBM sind auf zwei Schenkeln gleich (OA = OB, OM ist der gemeinsame Schenkel), also AM = BM.

2) Betrachten Sie einen beliebigen Punkt N mit gleichem Abstand von den Enden des Segments AB und beweisen Sie, dass der Punkt N auf der Geraden m liegt. Wenn N ein Punkt auf der Linie AB ist, dann fällt er mit dem Mittelpunkt O der Strecke AB zusammen und liegt daher auf der Linie m. Liegt der Punkt N nicht auf der Geraden AB, dann ist das Dreieck ANB gleichschenklig, da AN = BN (Abb. 227, b). Das Segment NO ist der Median dieses Dreiecks und damit die Höhe. Somit ist NO ⊥ AB, also fallen die Geraden ON und m zusammen, d. h. N ist ein Punkt der Geraden m. Der Satz ist bewiesen.

Folgerung 1

Folgerung 2

Um diese Aussage zu beweisen, betrachten Sie die Winkelhalbierenden m und n zu den Seiten AB und BC des Dreiecks ABC (Abb. 228). Diese Geraden schneiden sich an einem Punkt O. Wenn wir tatsächlich das Gegenteil annehmen, nämlich dass m || n, dann wäre die Gerade BA, die senkrecht zur Geraden m steht, auch senkrecht zur Geraden n, parallel dazu, und dann würden zwei Geraden BA und BC durch den Punkt B verlaufen, senkrecht zur Geraden n, was unmöglich ist .

Reis. 228

Nach dem bewährten Satz ist OB = OA und OB = OS. Daher ist OA = OC, d. h. Punkt O ist von den Enden des Segments AC gleich weit entfernt und liegt daher auf der Mittelsenkrechten p zu diesem Segment. Folglich schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden m, n und p zu den Seiten des Dreiecks ABC im Punkt O.

Dreieck-Höhenschnittpunktsatz

Wir haben bewiesen, dass sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden und dass sich die Mittelsenkrechten zu den Seiten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden. Es wurde bereits früher nachgewiesen, dass sich die Mittellinien eines Dreiecks in einem Punkt schneiden (Abschnitt 64). Es stellt sich heraus, dass die Höhen eines Dreiecks eine ähnliche Eigenschaft haben.

Satz

Nachweisen

Betrachten wir ein beliebiges Dreieck ABC und beweisen, dass sich die Linien AA 1 BB 1 und CC 1, die seine Höhen enthalten, in einem Punkt schneiden (Abb. 229).

Reis. 229

Zeichnen wir eine gerade Linie durch jeden Scheitelpunkt des Dreiecks ABC, parallel zur gegenüberliegenden Seite. Wir erhalten das Dreieck A 2 B 2 C 2. Die Punkte A, B und C sind die Mittelpunkte der Seiten dieses Dreiecks. Tatsächlich sind AB = A 2 C und AB = CB 2 als gegenüberliegende Seiten der Parallelogramme ABA 2 C und ABCB 2, daher A 2 C = CB 2. Ebenso gilt C 2 A = AB 2 und C 2 B = BA 2. Darüber hinaus gilt, wie aus der Konstruktion hervorgeht, CC 1 ⊥ A 2 B 2, AA 1 ⊥ B 2 C 2 und BB 1 ⊥ A 2 C 2. Somit sind die Linien AA 1, BB 1 und CC 1 die senkrechten Winkelhalbierenden zu den Seiten des Dreiecks A 2 B 2 C 2. Folglich schneiden sie sich in einem Punkt. Der Satz ist bewiesen.

Jedem Dreieck sind also vier Punkte zugeordnet: der Schnittpunkt der Mediane, der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten und der Schnittpunkt der Höhen (oder ihrer Verlängerungen). Diese vier Punkte werden aufgerufen bemerkenswerte Punkte des Dreiecks.

Aufgaben

674. Vom Punkt M der Winkelhalbierenden eines nicht entwickelten Winkels O werden die Senkrechten MA und MB zu den Seiten dieses Winkels gezogen. Beweisen Sie, dass AB ⊥ OM.

675. Die Seiten des Winkels O berühren jeden von zwei Kreisen, die im Punkt A eine gemeinsame Tangente haben. Beweisen Sie, dass die Mittelpunkte dieser Kreise auf der Geraden O A liegen.

676. Die Seiten des Winkels A berühren einen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r. Finden Sie: a) OA, wenn r = 5 cm, ∠A = 60°; b) d, wenn OA = 14 dm, ∠A = 90°.

677. Winkelhalbierende Außenecken an den Eckpunkten B und C des Dreiecks ABC schneiden sich im Punkt O. Beweisen Sie, dass Punkt O der Mittelpunkt eines Kreises ist, der die Geraden AB, BC, AC tangiert.

678. Die Winkelhalbierenden AA 1 und BB 1 des Dreiecks ABC schneiden sich im Punkt M. Finden Sie die Winkel ACM und ВСМ, wenn: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.

679. Die Mittelsenkrechte zur Seite BC des Dreiecks ABC schneidet die Seite AC im Punkt D. Finden Sie: a) AD und CD, wenn BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm; b) AC, wenn BD = 11,4 cm, AD = 3,2 cm.

680. Die Mittelsenkrechten zu den Seiten AB und AC des Dreiecks ABC schneiden sich im Punkt D der Seite BC. Beweisen Sie, dass: a) Punkt D der Mittelpunkt der Seite BC ist; b) ∠A - ∠B + ∠C.

681. Die Mittelsenkrechte zur Seite AB des gleichschenkligen Dreiecks ABC schneidet die Seite BC im Punkt E. Finden Sie die Basis AC, wenn der Umfang des Dreiecks AEC 27 cm und AB = 18 cm beträgt.

682. Gleichschenklige Dreiecke ABC und ABD haben eine gemeinsame Basis AB. Beweisen Sie, dass die Gerade CD durch die Mitte des Segments AB verläuft.

683. Beweisen Sie, dass, wenn im Dreieck ABC die Seiten AB und AC nicht gleich sind, der Median AM des Dreiecks keine Höhe ist.

684. Die Winkelhalbierenden an der Basis AB des gleichschenkligen Dreiecks ABC schneiden sich im Punkt M. Beweisen Sie, dass die Gerade CM senkrecht zur Geraden AB steht.

685. Die Höhen AA 1 und BB 1 des an den Seiten gezeichneten gleichschenkligen Dreiecks ABC schneiden sich im Punkt M. Beweisen Sie, dass die Gerade MC die Mittelsenkrechte zum Segment AB ist.

686. Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte zu diesem Segment.

Lösung

Sei AB das gegebene Segment. Konstruieren wir zwei Kreise mit Mittelpunkten in den Punkten A und B mit dem Radius AB (Abb. 230). Diese Kreise schneiden sich in zwei Punkten M 1 und M 2. Die Segmente AM 1, AM 2, VM 1, VM 2 sind untereinander gleich wie die Radien dieser Kreise.

Reis. 230

Zeichnen wir eine gerade Linie M 1 M 2. Es ist die gewünschte Mittelsenkrechte zur Strecke AB. Tatsächlich sind die Punkte M 1 und M 2 von den Enden des Segments AB gleich weit entfernt, liegen also auf der Mittelsenkrechten zu diesem Segment. Dies bedeutet, dass die Gerade M 1 M 2 die Mittelsenkrechte zur Strecke AB ist.

687. Gegeben sei eine Gerade a und zwei Punkte A und B, die auf einer Seite dieser Geraden liegen. Konstruieren Sie auf der Geraden a den Punkt M, der von den Punkten A bis B gleich weit entfernt ist.

688. Ein Winkel und ein Segment sind angegeben. Konstruieren Sie einen Punkt, der innerhalb eines gegebenen Winkels liegt, gleich weit von seinen Seiten und gleich weit von den Enden eines gegebenen Segments entfernt.

Antworten auf Probleme

674. Anweisung. Beweisen Sie zunächst, dass das Dreieck AOB gleichschenklig ist.

676. a) 10 cm; b) 7√2 dm.

678. a) 46° und 46°; b) 21° und 21°.

679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) AC = 14,6 cm.

683. Anweisung. Verwenden Sie die Methode des Widerspruchsbeweises.

687. Anleitung. Verwenden Sie Satz 75.

688. Anleitung. Berücksichtigen Sie, dass der gewünschte Punkt auf der Winkelhalbierenden des gegebenen Winkels liegt.

1 Das heißt, sie hat den gleichen Abstand zu den Linien, die die Seiten des Winkels enthalten.

Inhalt

Einleitung………………………………………………………………………………3

Kapitel 1.

1.1 Dreieck……………………………………………………………………………..4

1.2. Mittelwerte eines Dreiecks

1.4. Höhen im Dreieck

Abschluss

Liste der verwendeten Literatur

Broschüre

Einführung

Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verschiedenen Figuren und ihren Eigenschaften beschäftigt. Geometrie beginnt mit einem Dreieck. Seit zweieinhalb Jahrtausenden ist das Dreieck ein Symbol der Geometrie; Aber es ist nicht nur ein Symbol, ein Dreieck ist ein Atom der Geometrie.

In meiner Arbeit werde ich die Eigenschaften der Schnittpunkte von Winkelhalbierenden, Medianen und Höhen eines Dreiecks betrachten und über ihre bemerkenswerten Eigenschaften und die Linien des Dreiecks sprechen.

Unter diesen untersuchten Punkten Schulkurs Geometrie umfassen:

a) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises);

b) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises);

c) Schnittpunkt der Höhen (Orthozentrum);

d) Schnittpunkt der Mediane (Schwerpunkt).

Relevanz: Erweitern Sie Ihr Wissen über das Dreieck,seine Eigenschaftenwunderbare Punkte.

Ziel: Erkundung des Dreiecks bis zu seinen bemerkenswerten Punkten,sie zu studierenKlassifizierungen und Eigenschaften.

Aufgaben:

1. Studieren Sie die notwendige Literatur

2. Studieren Sie die Klassifizierung bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks

3. Seien Sie in der Lage, bemerkenswerte Dreieckspunkte zu konstruieren.

4. Fassen Sie das untersuchte Material für die Gestaltung der Broschüre zusammen.

Projekthypothese:

Die Fähigkeit, bemerkenswerte Punkte in jedem Dreieck zu finden, ermöglicht es Ihnen, geometrische Konstruktionsprobleme zu lösen.

Kapitel 1. Historische Informationen zu den bemerkenswerten Punkten des Dreiecks

Im vierten Buch der Elemente löst Euklid das Problem: „Einen Kreis in ein gegebenes Dreieck einschreiben.“ Aus der Lösung folgt, dass die drei Winkelhalbierenden Innenecken Dreiecke schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Aus der Lösung eines anderen euklidischen Problems folgt, dass sich die an den Seiten des Dreiecks in ihren Mittelpunkten wiederhergestellten Senkrechten ebenfalls in einem Punkt schneiden – dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Die Principia sagen nicht, dass sich die drei Höhen eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, der als Orthozentrum bezeichnet wird ( griechisches Wort„orthos“ bedeutet „gerade“, „richtig“). Dieser Vorschlag war jedoch Archimedes, Pappus und Proklos bekannt.

Der vierte singuläre Punkt des Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mediane. Archimedes bewies, dass es sich um den Schwerpunkt (Schwerpunkt) des Dreiecks handelt. Die oben genannten vier Punkte wurden angesprochen Besondere Aufmerksamkeit, und seit dem 18. Jahrhundert werden sie als „bemerkenswerte“ oder „besondere“ Punkte des Dreiecks bezeichnet.

Das Studium der Eigenschaften eines Dreiecks, das mit diesen und anderen Punkten verbunden ist, diente als Beginn der Schaffung eines neuen Zweigs der Elementarmathematik – der „Dreiecksgeometrie“ oder „neuen Dreiecksgeometrie“, deren Begründer Leonhard Euler war. Im Jahr 1765 bewies Euler, dass in jedem Dreieck das Orthozentrum, der Schwerpunkt und das Umkreiszentrum auf derselben Geraden liegen, die später „Euler-Gerade“ genannt wurde.

1. Dreieck

Dreieck - geometrische Figur, bestehend aus drei Punkten, die nicht auf derselben Linie liegen, und drei Segmenten, die diese Punkte paarweise verbinden. Punkte -Gipfel Dreieck, Segmente -Seiten Dreieck.

IN A, B, C – Eckpunkte

AB, BC, SA - Seiten

Ein C

Jedem Dreieck sind vier Punkte zugeordnet:

Schnittpunkt der Mediane;

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden;

Schnittpunkt der Höhen.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten;

1.2. Mittelwerte eines Dreiecks

Medina eines Dreiecks - , den Scheitelpunkt verbindend von der Mitte der gegenüberliegenden Seite (Abbildung 1). Der Punkt, an dem der Median die Seite des Dreiecks schneidet, wird Basis des Medians genannt.

Abbildung 1. Mediane eines Dreiecks

Konstruieren wir die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks und zeichnen wir Segmente, die jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbinden. Solche Segmente werden Mediane genannt.

Und wieder beobachten wir, dass sich diese Segmente in einem Punkt schneiden. Wenn wir die Längen der resultierenden Mediansegmente messen, können wir eine weitere Eigenschaft überprüfen: Der Schnittpunkt der Mediane teilt alle Mediane im Verhältnis 2:1, gezählt von den Eckpunkten. Und doch ist das Dreieck, das im Schnittpunkt der Mediane auf der Nadelspitze ruht, im Gleichgewicht! Ein Punkt mit dieser Eigenschaft wird als Schwerpunkt (Schwerpunkt) bezeichnet. Der Mittelpunkt gleicher Masse wird manchmal als Schwerpunkt bezeichnet. Daher lassen sich die Eigenschaften der Mediane eines Dreiecks wie folgt formulieren: Die Mediane eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt und werden vom Schnittpunkt aus im Verhältnis 2:1 durch den Schnittpunkt geteilt.

1.3. Winkelhalbierende eines Dreiecks

Halbierende angerufen Winkelhalbierende, die vom Scheitelpunkt des Winkels bis zu seinem Schnittpunkt mit der gegenüberliegenden Seite verläuft. Ein Dreieck hat drei Winkelhalbierende, die seinen drei Eckpunkten entsprechen (Abbildung 2).

Abbildung 2. Dreieckshalbierende

In einem beliebigen Dreieck ABC zeichnen wir die Winkelhalbierenden ein. Und wieder schneiden sich bei einer exakten Konstruktion alle drei Winkelhalbierenden in einem Punkt D. Punkt D ist ebenfalls ungewöhnlich: Er ist von allen drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt. Dies kann durch Absenken der Senkrechten DA 1, DB 1 und DC1 zu den Seiten des Dreiecks überprüft werden. Alle sind einander gleich: DA1=DB1=DC1.

Wenn Sie einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt D und einem Radius DA 1 zeichnen, berührt er alle drei Seiten des Dreiecks (d. h. er hat nur eine). gemeinsamer Punkt). Ein solcher Kreis wird als in ein Dreieck eingeschrieben bezeichnet. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich also im Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.

1.4. Höhen im Dreieck

Höhe des Dreiecks - , fiel von oben zur gegenüberliegenden Seite oder eine gerade Linie, die mit der gegenüberliegenden Seite zusammenfällt. Abhängig von der Art des Dreiecks kann die Höhe innerhalb des Dreiecks enthalten sein (z Dreieck), fallen mit seiner Seite zusammen (sein Dreieck) oder außerhalb des Dreiecks an einem stumpfen Dreieck vorbeigehen (Abbildung 3).

Abbildung 3. Höhen in Dreiecken

Wenn Sie drei Höhen in einem Dreieck konstruieren, schneiden sie sich alle in einem Punkt H. Dieser Punkt wird Orthozentrum genannt. (Figur 4).

Mithilfe von Konstruktionen können Sie überprüfen, dass je nach Dreieckstyp das Orthozentrum unterschiedlich liegt:

für ein spitzes Dreieck - innen;

für eine rechteckige - auf der Hypotenuse;

bei einem stumpfen Winkel liegt es außen.

Abbildung 4. Orthozentrum des Dreiecks

Damit haben wir einen weiteren bemerkenswerten Punkt des Dreiecks kennengelernt und können sagen: Die Höhen des Dreiecks schneiden sich im Orthozentrum.

1.5. Senkrechte Winkelhalbierende zu den Seiten eines Dreiecks

Die Mittelsenkrechte eines Segments ist eine Gerade, die senkrecht zum gegebenen Segment steht und durch dessen Mittelpunkt verläuft.

Zeichnen wir ein beliebiges Dreieck ABC und zeichnen wir senkrechte Winkelhalbierende zu seinen Seiten. Wenn die Konstruktion genau ausgeführt wird, schneiden sich alle Senkrechten in einem Punkt – Punkt O. Dieser Punkt ist von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt. Mit anderen Worten: Wenn Sie einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt O zeichnen, der durch einen der Eckpunkte des Dreiecks verläuft, verläuft er auch durch seine beiden anderen Eckpunkte.

Ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Dreiecks verläuft, wird als umschrieben bezeichnet. Daher lässt sich die etablierte Eigenschaft eines Dreiecks wie folgt formulieren: Die Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks schneiden sich im Mittelpunkt des umschriebenen Kreises (Abbildung 5).

Abbildung 5. In einen Kreis eingeschriebenes Dreieck

Kapitel 2. Untersuchung der bemerkenswerten Punkte des Dreiecks.

Untersuchung der Höhe in Dreiecken

Alle drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt wird Orthozentrum des Dreiecks genannt.

Die Höhen eines spitzen Dreiecks liegen streng innerhalb des Dreiecks.

Dementsprechend liegt auch der Schnittpunkt der Höhen innerhalb des Dreiecks.

In einem rechtwinkligen Dreieck fallen zwei Höhen mit den Seiten zusammen. (Dies sind die Höhen, die von den Scheitelpunkten spitzer Winkel zu den Beinen gezogen werden).

Die zur Hypotenuse gezeichnete Höhe liegt innerhalb des Dreiecks.

AC ist die Höhe vom Scheitelpunkt C zur Seite AB.

AB ist die Höhe vom Scheitelpunkt B zur Seite AC.

AK – Höhe vom Scheitelpunkt aus rechter Winkel Und zur Hypotenuse BC.

Die Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks schneiden sich am Scheitelpunkt des rechten Winkels (A ist das Orthozentrum).

In einem stumpfen Dreieck gibt es innerhalb des Dreiecks nur eine Höhe – diejenige, die vom Scheitelpunkt des stumpfen Winkels ausgeht.

Die anderen beiden Höhen liegen außerhalb des Dreiecks und sind bis zur Fortsetzung der Dreiecksseiten abgesenkt.

AK ist die zur Seite BC gezogene Höhe.

BF – Höhe in Fortsetzung der Seite AC.

CD ist die Höhe, die zur Fortsetzung der Seite AB gezogen wird.

Der Schnittpunkt der Höhen eines stumpfen Dreiecks liegt ebenfalls außerhalb des Dreiecks:

H ist das Orthozentrum des Dreiecks ABC.

Untersuchung der Winkelhalbierenden in einem Dreieck

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist der Teil der Winkelhalbierenden des Dreiecks (Strahl), der innerhalb des Dreiecks liegt.

Alle drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden in einem spitzen, stumpfen und rechtwinklige Dreiecke, ist der Mittelpunkt des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises und liegt im Inneren.

Mediane in einem Dreieck studieren

Da ein Dreieck drei Scheitelpunkte und drei Seiten hat, gibt es auch drei Segmente, die den Scheitelpunkt und die Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden.

Nachdem ich diese Dreiecke untersucht hatte, wurde mir klar, dass sich in jedem Dreieck die Mediane in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt des Dreiecks.

Untersuchung von Mittelsenkrechten zu einer Seite eines Dreiecks

Senkrechte Winkelhalbierende eines Dreiecks ist eine Senkrechte, die zur Mitte einer Seite eines Dreiecks gezogen wird.

Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und bilden den Mittelpunkt des Umkreises.

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in einem spitzen Dreieck liegt innerhalb des Dreiecks; in einem stumpfen Winkel - außerhalb des Dreiecks; in einem rechteckigen - in der Mitte der Hypotenuse.

Abschluss

Im Zuge der durchgeführten Arbeiten kommen wir zu folgenden Schlussfolgerungen:

Ziel erreicht:erkundete das Dreieck und fand seine bemerkenswerten Punkte.

Die gestellten Aufgaben wurden gelöst:

1). Wir haben die notwendige Literatur studiert;

2). Wir haben die Klassifizierung bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks untersucht;

3). Wir haben gelernt, wie man wunderbare Dreieckspunkte baut;

4). Wir haben das untersuchte Material für die Gestaltung der Broschüre zusammengefasst.

Die Hypothese, dass die Fähigkeit, bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks zu finden, bei der Lösung von Konstruktionsproblemen hilft, wurde bestätigt.

Die Arbeit beschreibt konsequent die Techniken zum Konstruieren bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks historische Informationenüber geometrische Konstruktionen.

Informationen aus dieser Arbeit können im Geometrieunterricht in der 7. Klasse nützlich sein. Das Heft kann zu einem Nachschlagewerk zur Geometrie zum vorgestellten Thema werden.

Referenzliste

Lehrbuch. L.S. Atanasyan „Geometrie Klassen 7-9Mnemosyne, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Portal-Scharlachrote Segel

Führend Bildungsportal Russland http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157

Baranova Elena

Diese Arbeit untersucht die bemerkenswerten Punkte des Dreiecks, ihre Eigenschaften und Muster, wie zum Beispiel den Neun-Punkte-Kreis und die Euler-Gerade. Gegeben historische Referenz Entdeckung der Eulerschen Geraden und des Neunpunktekreises. Die praktische Anwendungsrichtung meines Projekts wird vorgeschlagen.

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Folienunterschriften:

„WUNDERBARE PUNKTE EINES DREIECKS.“ (Angewandte und grundlegende Fragen der Mathematik) Elena Baranova 8. Klasse, MKOU „Sekundarschule Nr. 20“ Pos. Novoizobilny, Tatyana Vasilievna Dukhanina, Mathematiklehrerin der MKOU „Sekundarschule Nr. 20“ Dorf Novoizobilny 2013. Stadtverwaltung Bildungseinrichtung"Durchschnitt allgemein bildende Schule Nr. 20"

Ziel: Studieren Sie das Dreieck auf seine bemerkenswerten Punkte hin, studieren Sie ihre Klassifizierungen und Eigenschaften. Ziele: 1. Studieren Sie die notwendige Literatur. 2. Studieren Sie die Klassifizierung bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks. 3. Machen Sie sich mit den Eigenschaften bemerkenswerter Punkte eines Dreiecks vertraut. 4. Seien Sie in der Lage, bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks zu konstruieren. 5. Erkunden Sie den Umfang der bemerkenswerten Punkte. Studiengegenstand - Abschnitt Mathematik - Geometrie Studiengegenstand - Dreieck Relevanz: Erweitern Sie Ihr Wissen über das Dreieck und die Eigenschaften seiner bemerkenswerten Punkte. Hypothese: Zusammenhang zwischen Dreieck und Natur

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Er hat den gleichen Abstand von den Eckpunkten des Dreiecks und ist der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Um Dreiecke umschriebene Kreise, deren Scheitelpunkte die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks sind und deren Scheitelpunkte sich in einem Punkt schneiden, der mit dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zusammenfällt.

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist von den Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt. OM=OA=OB

Schnittpunkt der Höhen Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks, dessen Eckpunkte die Basen der Höhen sind, fällt mit dem Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks zusammen.

Schnittpunkt der Mediane Die Mediane eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jeden Median im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Wenn der Schnittpunkt der Mediane mit den Eckpunkten verbunden ist, wird das Dreieck in drei Dreiecke gleicher Fläche geteilt. Wichtiges Eigentum Der Schnittpunkt der Mediane ist die Tatsache, dass die Summe der Vektoren, deren Anfang der Schnittpunkt der Mediane ist und deren Enden die Eckpunkte der Dreiecke sind, gleich Null ist M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3

Torricelli-Punkt Hinweis: Ein Torricelli-Punkt liegt vor, wenn alle Winkel des Dreiecks kleiner als 120 sind.

Kreis aus neun Punkten B1, A1, C1 – Höhenbasen; A2, B2, C2 – die Mittelpunkte der entsprechenden Seiten; A3, B3, C3 sind die Mittelpunkte der Segmente AN, VN und CH.

Eulers Gerade Der Schnittpunkt der Mediane, der Schnittpunkt der Höhen, der Mittelpunkt eines Kreises aus neun Punkten liegen auf einer Geraden, die zu Ehren des Mathematikers, der dieses Muster bestimmt hat, Eulers Gerade genannt wird.

Ein kleiner Auszug aus der Entdeckungsgeschichte bemerkenswerter Punkte Im Jahr 1765 entdeckte Euler, dass die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks und die Basen seiner Höhen auf demselben Kreis liegen. Am meisten erstaunliches Anwesen Das Bemerkenswerte an den Punkten des Dreiecks ist, dass einige von ihnen in einem bestimmten Verhältnis miteinander verbunden sind. Der Schnittpunkt der Mediane M, der Schnittpunkt der Höhen H und der Mittelpunkt des Umkreises O liegen auf derselben Geraden, und der Punkt M teilt die Strecke OH, so dass die Beziehung OM:OH = 1:2 ist gültig. Dieser Satz wurde 1765 von Leonhard Euler bewiesen.

Die Verbindung zwischen Geometrie und Natur. In dieser Position potenzielle Energie Es hat kleinster Wert und die Summe der Segmente MA+MB+MC wird am kleinsten sein, und die Summe der Vektoren, die auf diesen Segmenten liegen und am Torricelli-Punkt beginnen, wird gleich Null sein.

Schlussfolgerungen Ich habe gelernt, dass es neben den wunderbaren Schnittpunkten von Höhen, Mitteln, Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten, die ich kenne, auch wunderbare Punkte und Linien eines Dreiecks gibt. Die gewonnenen Erkenntnisse zu diesem Thema kann ich in meiner Arbeit nutzen Bildungsaktivitäten, Theoreme selbstständig auf bestimmte Probleme anwenden, die erlernten Theoreme in einer realen Situation anwenden. Ich glaube, dass die Verwendung der wunderbaren Punkte und Linien eines Dreiecks beim Mathematiklernen effektiv ist. Ihre Kenntnis beschleunigt die Lösung vieler Aufgaben erheblich. Das vorgeschlagene Material kann sowohl im Mathematikunterricht als auch in verwendet werden außerschulische Aktivitäten Schüler der Klassen 5-9.

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© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometrie, 8. Klasse DREIECK VIER BEMERKENSWERTE PUNKTE

Der Schnittpunkt der Mittellinien eines Dreiecks. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks. Der Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks

Der Median (BD) eines Dreiecks ist das Segment, das den Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. A B C D Median

Die Mediane eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (dem Schwerpunkt des Dreiecks) und werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 geteilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Die Winkelhalbierende (A D) eines Dreiecks ist das Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks.

Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines nicht entwickelten Winkels ist von seinen Seiten gleich weit entfernt. Umgekehrt: Jeder Punkt, der innerhalb eines Winkels liegt und von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt ist, liegt auf seiner Winkelhalbierenden. A M B C

Alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises. C B 1 M A V A 1 C 1 O Der Radius eines Kreises (OM) ist eine Senkrechte, die vom Mittelpunkt (TO) zur Seite des Dreiecks fällt

HÖHE Die Höhe (C D) eines Dreiecks ist das senkrechte Segment, das vom Scheitelpunkt des Dreiecks zur geraden Linie verläuft, die die gegenüberliegende Seite enthält. A B C D

Die Höhen eines Dreiecks (bzw. deren Verlängerungen) schneiden sich in einem Punkt. A A 1 B B 1 C C 1

MITTELSENKrecht Die Mittelsenkrechte (DF) ist die Linie senkrecht zur Seite des Dreiecks und teilt es in zwei Hälften. A D F B C

A M B m O Jeder Punkt der Mittelsenkrechten (m) zu einem Segment ist von den Enden dieses Segments gleich weit entfernt. Umgekehrt: Jeder Punkt mit gleichem Abstand von den Enden einer Strecke liegt auf der Mittelsenkrechten dazu.

Alle Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt des Kreises, der das Dreieck umschreibt. A B C O Der Radius des umschriebenen Kreises ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Scheitelpunkt des Dreiecks (OA). m n p

Aufgaben für Schüler Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal einen Kreis, der in ein stumpfes Dreieck eingeschrieben ist. Gehen Sie dazu wie folgt vor: Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal Winkelhalbierende in einem stumpfen Dreieck. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Kreises. Konstruieren Sie den Radius des Kreises: eine Senkrechte vom Mittelpunkt des Kreises zur Seite des Dreiecks. Konstruieren Sie einen Kreis, der in das Dreieck eingeschrieben ist.

2. Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal einen Kreis, der ein stumpfes Dreieck umschreibt. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor: Konstruieren Sie senkrechte Winkelhalbierende zu den Seiten des stumpfen Dreiecks. Der Schnittpunkt dieser Senkrechten ist der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Der Radius eines Kreises ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Eckpunkt des Dreiecks. Konstruieren Sie einen Kreis um das Dreieck.

Einführung

Objekte der Welt um uns herum haben bestimmte Eigenschaften, die von verschiedenen Wissenschaften untersucht werden.

Die Geometrie ist ein Zweig der Mathematik, der verschiedene Figuren und ihre Eigenschaften untersucht; ihre Wurzeln reichen bis in die ferne Vergangenheit zurück.

Im vierten Buch der Elemente löst Euklid das Problem: „Einen Kreis in ein gegebenes Dreieck einschreiben.“ Aus der Lösung folgt, dass sich die drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks in einem Punkt schneiden – dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Aus der Lösung eines anderen euklidischen Problems folgt, dass sich die an den Seiten des Dreiecks in ihren Mittelpunkten wiederhergestellten Senkrechten ebenfalls in einem Punkt schneiden – dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Die Elemente sagen nicht, dass sich die drei Höhen des Dreiecks in einem Punkt schneiden, dem sogenannten Orthozentrum (das griechische Wort „orthos“ bedeutet „gerade“, „richtig“). Dieser Vorschlag war jedoch Archimedes bekannt. Der vierte singuläre Punkt des Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mediane. Archimedes bewies, dass es sich um den Schwerpunkt (Schwerpunkt) des Dreiecks handelt.

Den oben genannten vier Punkten wurde besondere Aufmerksamkeit gewidmet und seit dem 18. Jahrhundert werden sie als „bemerkenswerte“ oder „besondere“ Punkte des Dreiecks bezeichnet. Das Studium der Eigenschaften eines Dreiecks, das mit diesen und anderen Punkten verbunden ist, diente als Beginn der Schaffung eines neuen Zweigs der Elementarmathematik – der „Dreiecksgeometrie“ oder „neuen Dreiecksgeometrie“, deren Begründer Leonhard Euler war.

Im Jahr 1765 bewies Euler, dass in jedem Dreieck das Orthozentrum, der Schwerpunkt und das Umkreiszentrum auf derselben Geraden liegen, die später „Eulers Gerade“ genannt wird. In den zwanziger Jahren des 19. Jahrhunderts stellten die französischen Mathematiker J. Poncelet, C. Brianchon und andere unabhängig voneinander den folgenden Satz auf: die Basen der Mediane, die Basen der Höhen und die Mittelpunkte der Höhensegmente, die das Orthozentrum mit den Eckpunkten eines Dreiecks verbinden liegen auf demselben Kreis. Dieser Kreis wird „Neun-Punkte-Kreis“ oder „Feuerbach-Kreis“ oder „Euler-Kreis“ genannt. K. Feuerbach stellte fest, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Euler-Geraden liegt.

„Ich denke, dass wir noch nie zuvor in einer so geometrischen Zeit gelebt haben. Alles drumherum ist Geometrie.“ Diese Worte des großen französischen Architekten Le Corbusier zu Beginn des 20. Jahrhunderts charakterisieren unsere Zeit sehr treffend. Die Welt, in der wir leben, ist erfüllt von der Geometrie von Häusern und Straßen, Bergen und Feldern, Schöpfungen der Natur und des Menschen.

Uns interessierten die sogenannten „bemerkenswerten Punkte des Dreiecks“.

Nachdem wir die Literatur zu diesem Thema gelesen hatten, legten wir für uns die Definitionen und Eigenschaften der bemerkenswerten Punkte eines Dreiecks fest. Damit war unsere Arbeit aber noch nicht beendet und wir wollten diese Punkte selbst erforschen.

Deshalb Ziel gegeben arbeiten – Studieren einiger bemerkenswerter Punkte und Linien eines Dreiecks und Anwenden des erworbenen Wissens auf die Lösung von Problemen. Bei der Erreichung dieses Ziels lassen sich folgende Phasen unterscheiden:

Auswahl und Studium Unterrichtsmaterial aus verschiedene Quellen Informationen, Literatur;

Untersuchung der grundlegenden Eigenschaften bemerkenswerter Punkte und Linien eines Dreiecks;

Verallgemeinerung dieser Eigenschaften und Beweis der notwendigen Theoreme;

Lösen von Problemen mit bemerkenswerten Punkten eines Dreiecks.

KapitelICH. Wunderbare Punkte und Dreieckslinien

1.1 Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks

Eine Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die durch die Mitte eines Segments verläuft und senkrecht dazu steht. Wir kennen bereits den Satz, der die Eigenschaft der Mittelsenkrechten charakterisiert: Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment hat den gleichen Abstand von seinen Enden und umgekehrt. Wenn ein Punkt den gleichen Abstand von den Enden des Segments hat, liegt er auf der Mittelsenkrechten.

Das Polygon heißt eingeschrieben in einen Kreis, wenn alle seine Eckpunkte zum Kreis gehören. Der Kreis wird als umschriebenes Polygon bezeichnet.

Um jedes Dreieck lässt sich ein Kreis beschreiben. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks.

Punkt O sei der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks AB und BC.

Abschluss: Wenn also Punkt O der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks ist, dann ist OA = OC = OB, d.h. Punkt O ist von allen Eckpunkten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt, was bedeutet, dass er der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises ist.

Folgen

sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.

Es wird auf ähnliche Weise bewiesen A/ sin α =2R, b/ sin β =2R.

Auf diese Weise:

Diese Eigenschaft wird Sinussatz genannt.

In der Mathematik kommt es häufig vor, dass Objekte vollständig definiert sind unterschiedlich, erweisen sich als identisch.

Beispiel. Seien A1, B1, C1 jeweils die Mittelpunkte der Seiten ∆ABC BC, AC, AB. Zeigen Sie, dass sich die um die Dreiecke AB1C1, A1B1C, A1BC1 beschriebenen Kreise in einem Punkt schneiden. Darüber hinaus ist dieser Punkt der Mittelpunkt eines um ∆ABC umschriebenen Kreises.

Verallgemeinerung. Wenn wir auf den Seiten ∆ABC AC, BC, AC beliebige Punkte A 1, B 1, C 1 nehmen, dann schneiden sich die um die Dreiecke AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 umschriebenen Kreise in einem Punkt .

1.2 Schnittpunkt der Dreieckshalbierenden

Das Umgekehrte gilt auch: Wenn ein Punkt von den Seiten eines Winkels gleich weit entfernt ist, liegt er auf dessen Winkelhalbierende.

Es ist sinnvoll, die Hälften einer Ecke mit den gleichen Buchstaben zu kennzeichnen:

OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.

Punkt O sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Winkel A und B. Aufgrund der Eigenschaft des Punktes, der auf der Winkelhalbierenden von Winkel A liegt, gilt OF=OD=r. Gemäß der Eigenschaft des Punktes, der auf der Winkelhalbierenden von B liegt, gilt OE=OD=r. Somit ist OE=OD= OF=r= Punkt O von allen Seiten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt, d.h. O ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. (Punkt O ist der einzige).

Abschluss: Wenn also der Punkt O der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist, dann ist OE=OD= OF=r, d.h. Punkt O ist von allen Seiten des Dreiecks ABC gleich weit entfernt, was bedeutet, dass er der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ist. Der O-Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist ein bemerkenswerter Punkt des Dreiecks.

Folgen:

Aus der Gleichheit der Dreiecke AOF und AOD (Abbildung 1) entlang der Hypotenuse und des spitzen Winkels folgt dies A.F. = ANZEIGE . Aus der Gleichheit der Dreiecke OBD und OBE folgt das BD = SEI , Aus der Gleichheit der Dreiecke COE und COF folgt das MIT F = C.E. . Somit sind die Tangentensegmente, die von einem Punkt zum Kreis gezogen werden, gleich.

AF=AD= z, BD=BE= j, CF=CE= X

a=x+y (1), B= x+z (2), c= x+y (3).

+ (2) – (3), dann erhalten wir: a+B-с=X+ j+ X+ z- z- j = a+B-с= 2X =

x=( B + C - a)/2

Ähnlich: (1) + (3) – (2), dann erhalten wir: y = (a + c –B)/2.

Ähnlich: (2) + (3) – (1), dann erhalten wir: z= (a +B - C)/2.

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks unterteilt die gegenüberliegende Seite in Segmente, die proportional zu den benachbarten Seiten sind.

1.3 Schnittpunkt der Dreiecksmediane (Schwerpunkt)

Beweis 1. Seien A 1 , B 1 und C 1 jeweils die Mittelpunkte der Seiten BC, CA und AB des Dreiecks ABC (Abb. 4).

Sei G der Schnittpunkt zweier Mediane AA 1 und BB 1. Beweisen wir zunächst, dass AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2 ist.

Nehmen Sie dazu die Mittelpunkte P und Q der Segmente AG und BG. Nach dem Satz über die Mittellinie eines Dreiecks sind die Segmente B 1 A 1 und PQ gleich der Hälfte der Seite AB und parallel dazu. Daher ist das Viereck A 1 B 1 ein PQ-Parallelogramm. Dann teilt der Punkt G des Schnittpunkts seiner Diagonalen PA 1 und QB 1 jede von ihnen in zwei Hälften. Daher teilen die Punkte P und G den Median AA 1 in drei gleiche Teile, und die Punkte Q und G teilen auch den Median BB 1 in drei gleiche Teile. Der Punkt G am Schnittpunkt zweier Mittelwerte eines Dreiecks teilt also jeden von ihnen im Verhältnis 2:1, gerechnet vom Scheitelpunkt.

Der Schnittpunkt der Mediane eines Dreiecks heißt Schwerpunkt oder Schwerpunkt Dreieck. Dieser Name ist darauf zurückzuführen, dass sich an dieser Stelle der Schwerpunkt einer homogenen dreieckigen Platte befindet.

1.4 Schnittpunkt der Dreieckshöhen (Orthozentrum)

1,5 Torricelli-Punkt

Der Weg ist durch das Dreieck ABC gegeben. Der Torricelli-Punkt dieses Dreiecks ist der Punkt O, von dem aus die Seiten dieses Dreiecks in einem Winkel von 120° sichtbar sind, d. h. Die Winkel AOB, AOC und BOC betragen 120°.

Beweisen wir, dass der Torricelli-Punkt existiert, wenn alle Winkel eines Dreiecks kleiner als 120° sind.

Auf der Seite AB des Dreiecks ABC konstruieren wir ein gleichseitiges Dreieck ABC“ (Abb. 6, a) und beschreiben einen Kreis darum. Das Segment AB liegt auf einem Bogen dieses Kreises mit einer Länge von 120°. Folglich gibt es auf diesem Bogen andere Punkte als A und B haben die Eigenschaft, dass das Segment AB von ihnen aus in einem Winkel von 120° sichtbar ist. Ebenso werden wir auf der Seite AC des Dreiecks ABC ein gleichseitiges Dreieck ACB konstruieren (Abb. 6, a) und einen Kreis darum beschreiben Es. Punkte des entsprechenden Bogens, die sich von A und C unterscheiden, haben die Eigenschaft, dass von ihnen aus das Segment AC in einem Winkel von 120° sichtbar ist. Wenn die Winkel des Dreiecks weniger als 120° betragen, schneiden sich diese Bögen an einem inneren Punkt O. In diesem Fall ist ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Daher ist ∟BOC = 120°. Daher ist Punkt O der gewünschte.

Wenn einer der Winkel eines Dreiecks, zum Beispiel ABC, 120° beträgt, ist der Schnittpunkt der Kreisbögen Punkt B (Abb. 6, b). In diesem Fall existiert der Torricelli-Punkt nicht, da es unmöglich ist, über die Winkel zu sprechen, unter denen die Seiten AB und BC von diesem Punkt aus sichtbar sind.

Wenn einer der Winkel eines Dreiecks, zum Beispiel ABC, größer als 120° ist (Abb. 6, c), schneiden sich die entsprechenden Kreisbögen nicht und der Torricelli-Punkt existiert auch nicht.

Der Torricelli-Punkt ist mit Fermats Problem verbunden (das wir in Kapitel II betrachten werden), den Punkt zu finden, dessen Summe der Abstände zu drei gegebenen Punkten am kleinsten ist.

1.6 Neun-Punkte-Kreis

Tatsächlich, A 3 B 2 – Mittellinie Dreieck AHC und daher A 3 B 2 || CC 1. B 2 A 2 ist die Mittellinie des Dreiecks ABC und daher B 2 A 2 || AB. Da CC 1 ┴ AB, dann A 3 B 2 A 2 = 90°. Ebenso gilt A 3 C 2 A 2 = 90°. Daher liegen die Punkte A 2, B 2, C 2, A 3 auf demselben Kreis mit dem Durchmesser A 2 A 3. Da AA 1 ┴BC, gehört auch Punkt A 1 zu diesem Kreis. Somit liegen die Punkte A 1 und A 3 auf dem Umkreis des Dreiecks A2B2C2. Ebenso wird gezeigt, dass die Punkte B 1 und B 3, C 1 und C 3 auf diesem Kreis liegen. Das bedeutet, dass alle neun Punkte auf demselben Kreis liegen.

In diesem Fall liegt der Mittelpunkt des Kreises aus neun Punkten in der Mitte zwischen dem Schnittpunkt der Höhen und dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. In der Tat sei im Dreieck ABC (Abb. 9) der Punkt O der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises; G – Schnittpunkt der Mediane. H ist der Punkt, an dem sich die Höhen schneiden. Sie müssen beweisen, dass die Punkte O, G, H auf derselben Linie liegen und der Mittelpunkt des Kreises aus neun Punkten N das Segment OH in zwei Hälften teilt.

Betrachten Sie eine Homothetie mit dem Mittelpunkt im Punkt G und dem Koeffizienten -0,5. Die Eckpunkte A, B, C des Dreiecks ABC gehen jeweils zu den Punkten A 2, B 2, C 2. Die Höhen des Dreiecks ABC gehen in die Höhen des Dreiecks A 2 B 2 C 2 über und daher geht Punkt H zu Punkt O. Daher liegen die Punkte O, G, H auf derselben geraden Linie.

Zeigen wir, dass der Mittelpunkt N des Segments OH der Mittelpunkt des Kreises aus neun Punkten ist. Tatsächlich ist C 1 C 2 ein Akkord des Kreises aus neun Punkten. Daher ist die Mittelsenkrechte dieser Sehne ein Durchmesser und schneidet OH in der Mitte von N. Ebenso ist die Mittelsenkrechte der Sehne B 1 B 2 ein Durchmesser und schneidet OH im selben Punkt N. N ist also der Mittelpunkt von der Kreis aus neun Punkten. Q.E.D.

In der Tat sei P ein beliebiger Punkt, der auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt; D, E, F – die Basen der Senkrechten, die vom Punkt P zu den Seiten des Dreiecks fallen (Abb. 10). Zeigen wir, dass die Punkte D, E, F auf derselben Linie liegen.

Beachten Sie, dass, wenn AP durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, die Punkte D und E mit den Eckpunkten B und C zusammenfallen. Andernfalls ist einer der Winkel ABP oder ACP spitz und der andere stumpf. Daraus folgt, dass die Punkte D und E auf gegenüberliegenden Seiten der Linie BC liegen und um zu beweisen, dass die Punkte D, E und F auf derselben Linie liegen, genügt es zu überprüfen, dass ∟CEF =∟BED.

Beschreiben wir einen Kreis mit dem Durchmesser CP. Da ∟CFP = ∟CEP = 90°, liegen die Punkte E und F auf diesem Kreis. Daher ist ∟CEF =∟CPF als eingeschriebene Winkel, die von einem Kreisbogen begrenzt werden. Als nächstes gilt ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. Beschreiben wir einen Kreis mit dem Durchmesser BP. Da ∟BEP = ∟BDP = 90°, liegen die Punkte F und D auf diesem Kreis. Daher ist ∟BPD =∟BED. Daher erhalten wir schließlich ∟CEF =∟BED. Das bedeutet, dass die Punkte D, E, F auf derselben Linie liegen.

KapitelIIProbleme lösen

Beginnen wir mit Problemen im Zusammenhang mit der Lage von Winkelhalbierenden, Mitteln und Höhen eines Dreiecks. Ihre Lösung ermöglicht es Ihnen einerseits, sich an zuvor behandeltes Material zu erinnern, andererseits entwickelt es die notwendigen geometrischen Konzepte und bereitet Sie auf die Lösung komplexerer Probleme vor.

Aufgabe 1. In den Winkeln A und B des Dreiecks ABC (∟A

Lösung. Dann sei CD die Höhe und CE die Winkelhalbierende

∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.

Daher ist ∟DCE =.

Lösung. Sei O der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC (Abb. 1). Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass der größere Winkel der größeren Seite des Dreiecks gegenüberliegt. Wenn AB BC, dann ∟A

Lösung. Sei O der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks ABC (Abb. 2). Wenn AC ∟B. Ein Kreis mit dem Durchmesser BC verläuft durch die Punkte F und G. Wenn man bedenkt, dass der kleinere der beiden Sehnen derjenige ist, auf dem der kleinere eingeschriebene Winkel ruht, erhalten wir CG

Nachweisen. Auf den Seiten AC und BC des Dreiecks ABC sowie auf den Durchmessern konstruieren wir Kreise. Zu diesen Kreisen gehören die Punkte A 1, B 1, C 1. Daher ist ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC, als Winkel, die auf demselben Kreisbogen basieren. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 als Winkel mit zueinander senkrechten Seiten. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 als Winkel, die von demselben Kreisbogen begrenzt werden. Daher ist ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, d.h. CC 1 ist die Winkelhalbierende des Winkels B 1 C 1 A 1 . Ebenso wird gezeigt, dass AA 1 und BB 1 die Winkelhalbierenden der Winkel B 1 A 1 C 1 und A 1 B 1 C 1 sind.

Das betrachtete Dreieck, dessen Eckpunkte die Basis der Höhen eines gegebenen spitzen Dreiecks sind, liefert eine Antwort auf eines der klassischen Extremalprobleme.

Lösung. Sei ABC das gegebene spitze Dreieck. Auf seinen Seiten müssen Sie Punkte finden A 1 , B 1 , C 1 für die der Umfang des Dreiecks A 1 B 1 C 1 am kleinsten wäre (Abb. 4).

Fixieren wir zunächst den Punkt C 1 und suchen wir nach den Punkten A 1 und B 1, für die der Umfang des Dreiecks A 1 B 1 C 1 am kleinsten ist (für eine gegebene Position des Punktes C 1).

Betrachten Sie dazu die Punkte D und E als symmetrisch zum Punkt C 1 relativ zu den Geraden AC und BC. Dann ist B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E und daher ist der Umfang des Dreiecks A 1 B 1 C 1 gleich der Länge der gestrichelten Linie DB 1 A 1 E. Es Es ist klar, dass die Länge dieser gestrichelten Linie am kleinsten ist, wenn die Punkte B 1, A 1 auf der Linie DE liegen.

Wir ändern nun die Position des Punktes C 1 und suchen nach einer Position, an der der Umfang des entsprechenden Dreiecks A 1 B 1 C 1 am kleinsten ist.

Da Punkt D relativ zu AC symmetrisch zu C 1 ist, gilt CD = CC 1 und ACD = ACC 1. Ebenso gilt CE=CC 1 und BCE=BCC 1. Daher ist das Dreieck CDE gleichschenklig. Seine laterale Seite ist gleich CC 1. Die Basis-DE ist gleich dem Umfang P Dreieck A 1 B 1 C 1. Der Winkel DCE ist gleich dem doppelten Winkel ACB des Dreiecks ABC und hängt daher nicht von der Position des Punktes C 1 ab.

In einem gleichschenkligen Dreieck mit einem bestimmten Winkel an der Spitze gilt: Je kleiner die Seite, desto kleiner die Basis. Daher der kleinste Umfangswert P wird beim niedrigsten CC 1-Wert erreicht. Dieser Wert wird verwendet, wenn CC 1 die Höhe des Dreiecks ABC ist. Somit ist der erforderliche Punkt C 1 auf der Seite AB die Basis der vom Scheitelpunkt C ausgehenden Höhe.

Beachten Sie, dass wir zunächst nicht Punkt C 1, sondern Punkt A 1 oder Punkt B 1 festlegen könnten und erhalten würden, dass A 1 und B 1 die Basen der entsprechenden Höhen des Dreiecks ABC sind.

Daraus folgt, dass das erforderliche Dreieck mit dem kleinsten Umfang, das in ein gegebenes spitzes Dreieck ABC eingeschrieben ist, ein Dreieck ist, dessen Eckpunkte die Basis der Höhen des Dreiecks ABC sind.

Lösung. Beweisen wir, dass der Torricelli-Punkt der erforderliche Punkt im Steiner-Problem ist, wenn die Winkel des Dreiecks weniger als 120° betragen.

Drehen wir das Dreieck ABC um den Scheitelpunkt C um einen Winkel von 60°, Abb. 7. Wir erhalten das Dreieck A’B’C. Nehmen wir einen beliebigen Punkt O im Dreieck ABC. Beim Abbiegen geht es irgendwann zu Punkt O’. Das Dreieck OO'C ist gleichseitig, da CO = CO' und ∟OCO' = 60°, also OC = OO'. Daher ist die Summe der Längen OA + OB + OC gleich der Länge der gestrichelten Linie AO + OO’ + O’B’. Es ist klar, dass die Länge dieser gestrichelten Linie den kleinsten Wert annimmt, wenn die Punkte A, O, O’, B’ auf derselben Geraden liegen. Wenn O ein Torricelli-Punkt ist, dann ist dies der Fall. Tatsächlich ist ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Daher liegen die Punkte A, O, O' auf derselben Geraden. Ebenso ist ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. Daher liegen die Punkte O, O', B' auf derselben Geraden, was bedeutet, dass alle Punkte A, O, O', B' auf derselben Geraden liegen.

Abschluss

Die Geometrie eines Dreiecks ermöglicht zusammen mit anderen Abschnitten der elementaren Mathematik die Schönheit der Mathematik im Allgemeinen zu spüren und kann für jemanden der Beginn des Weges zur „großen Wissenschaft“ sein.

Geometrie ist eine erstaunliche Wissenschaft. Seine Geschichte reicht mehr als tausend Jahre zurück, aber jede Begegnung mit ihm kann (sowohl Schüler als auch Lehrer) mit der aufregenden Neuheit einer kleinen Entdeckung, der erstaunlichen Freude an Kreativität beschenken und bereichern. Tatsächlich ist jedes Problem in der Elementargeometrie im Wesentlichen ein Theorem, und seine Lösung ist ein bescheidener (und manchmal großer) mathematischer Sieg.

Historisch gesehen begann die Geometrie mit einem Dreieck, daher ist das Dreieck seit zweieinhalb Jahrtausenden ein Symbol der Geometrie. Schulgeometrie kann nur dann interessant und bedeutungsvoll werden, sie kann nur dann zur eigentlichen Geometrie werden, wenn sie ein tiefes und umfassendes Studium des Dreiecks einschließt. Überraschenderweise ist das Dreieck trotz seiner scheinbaren Einfachheit ein unerschöpflicher Gegenstand des Studiums – selbst in unserer Zeit wagt niemand zu sagen, dass er alle Eigenschaften des Dreiecks studiert und kennt.

In dieser Arbeit wurden die Eigenschaften von Winkelhalbierenden, Medianen, Mittelsenkrechten und Höhen eines Dreiecks betrachtet, die Anzahl der bemerkenswerten Punkte und Linien des Dreiecks erweitert sowie Theoreme formuliert und bewiesen. Eine Reihe von Problemen bei der Anwendung dieser Theoreme wurde gelöst.

Das vorgestellte Material kann sowohl im Grundunterricht als auch in verwendet werden außerschulische Aktivitäten, auch in Vorbereitung auf zentralisiertes Testen und Olympiaden in Mathematik.

Referenzliste

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