Matematik "Denklem çözme" dersinin özeti (3. sınıf). Bilinmeyen terimli denklemleri çözme

Öğrenme hedefleri- seçme yöntemini kullanarak ve toplama ve çıkarma arasındaki bağlantıya dayanarak denklemleri çözebilir.

Dersin Hedefleri

Tüm öğrenciler şunları yapabilecektir:
seçim yöntemini kullanarak bir denklemin kökünü bulma

Çoğu öğrenci şunları yapabilecektir:
Bilinmeyen bir terimi bulmak için basit denklemler yazıp çözebilme

Bazı öğrenciler şunları yapabilecektir:
Çizime dayanarak denklemleri bağımsız olarak oluşturun ve çözün.

Önceki bilgi: 100'ün içindeki sayı sistemini anlama; Karşılaştırma yapma ve karşılaştırmalı dil kullanma becerisi.

Dersler sırasında

İşbirliğine dayalı bir ortam yaratmak
(psikolojik dakikalar)

Neşeli zil çaldı.
Derse başlamaya hazır mısın?
Dinleyelim, konuşalım,
Ve birbirinize yardım edin!

Gruplama

Hedef:Öğrencileri gruplar halinde birleştirmek derse olan bilişsel ilgiyi ve grup çalışmasında uyumu artırır.
Grup halinde çalışmaya ilişkin kuralların gözden geçirilmesi

Yaşam deneyiminin güncellenmesi

Beyin Fırtınası Stratejisi Kalın ve ince sorular kullanma.
- Denklem nedir? (Bilinmeyenle eşitliğe denklem denir)
- Denklemde bilinmeyen nasıl gösterilir?
- Bir denklemi çözmek ne anlama geliyor? (Bilinmeyeni bulmak anlamına gelir)
- Toplamanın bileşenleri nelerdir?

Derecelendirme: Üç alkış
Başlangıç ​​"Bir video izleyin" (eğitici çizgi film)
"Çerçeveyi Dondur" yöntemi

Ders için hedef belirleme
- Bugün sınıfta ne yapacağımızı tahmin ettiniz mi?
- Dersin hedeflerine ulaşmamıza ne yardımcı olacak (yeni şeyler öğrenmek, sorunları çözmeyi öğrenmek) matematiksel gösterimler) (tecrübeniz, öğretmeniniz, ders kitabınız)
Çocuklar dersin amacını formüle ederler, genelliyorum.
- Bugün derste bilinmeyen terimlerle denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceksiniz

Çalışmak. Ders kitabına göre çalışın.
Hedef: Ders kitabı materyalini araştırın s. 46

Görev 1. "Tüneldeki Arabalar" ders kitabına dayanan oyun
Grup çalışması. “Düşün, tartış, paylaş” stratejisi. Disiplinlerarası bağlantı okuma-yazma öğretimi (dinleme ve konuşma)

Oyun "Tüneldeki arabalar"

Tünelde kaç araba var?
6 + x = 18 ve 2 + x = 14.
Cevap: 12 araba.

Tanımlayıcı:
- çizime dayalı bir denklem oluşturur
- Seçim yöntemini kullanarak bir harfin anlamını bulur.
- bir sonuç çıkarır (bir kural formüle eder)

Geri bildirim "Trafik ışığı"
Burada denklem modellemeyi şu amaçla kullanıyorum:
bilinmeyen bir terimle denklemleri çözme yeteneğinin oluşumu.

Görev 2. Çiftler halinde çalışın. "Kahramana yardım et"

Oyun "Kahramana yardım et"

İkili çalışma için öğrenciler arasında bilgi ve becerileri aktaran işbirlikçi öğrenmeyi kullanıyorum.
Tanımlayıcıya göre öz değerlendirme: "Başparmak"

Dinamik duraklama. Müzikal fiziksel egzersiz.

Görev 3. Grup çalışması. "Düşün, bir çift bul, paylaş!"

Tanımlayıcılar:
- tüm grup çalışıyor;
- çizime dayalı olarak denklemleri bağımsız olarak oluşturur ve çözer;
- bir sonuç çıkarır (bir kural formüle eder).

Geribildirim "Tekerlek"
Uygulama (öğretmen - gözlemler, yardım eder, kontrol eder, öğrenci - soruları çözer, bilgiyi gösterir)

Slaytlarda akran değerlendirmesi
Burada öğrenme sürecini geliştirmek için grup çalışmasını kullanıyorum.

Görev 4. Çiftler halinde oyun "Küp" (deneyin)

Grup çalışması: “Düşün, bir çift bul, paylaş!”

Tanımlayıcı:
- çekilen sayının yerine geçer
- denklemi bağımsız olarak çözer.

İşte kullanıyorum aktif yöntem V oyun formu bu da bilinmeyen terimli bir denklemin çözümünün daha derin anlaşılmasına yol açar.
Trafik ışığı tanımlayıcılarına dayalı değerlendirme

Görev 5. Bireysel görev
Farklılaştırılmış görevler.
Görevler farklı bilgi seviyelerine sahip öğrenciler için seçilir.

Tanımlayıcı:

1. sayı doğrusu kullanarak bir denklemin kökünü bulur;
2. matematiksel sayıları ve işaretleri kullanarak bir denklemin kökünü bulur;
3. resimden bir denklem oluşturur.

Öz değerlendirme "Trafik Işığı" (standartlara göre test).
- Aferin, bu görevi tamamladın!
Burada her öğrencinin bireysel öğrenme ihtiyaçlarına farklılaştırılmış bir yaklaşım kullanıyorum.

Ders özeti. Yansıma "Görüşme Yöntemi"
- Bugün sınıfta ne üzerinde çalıştık?
- Bilinmeyen bir terim nasıl bulunur?
- Bilinmeyen terim nedir? (Parça)
- Hedefinize ulaştınız mı?
- Denklemlerle çalışmakta zorluk çekenler ne yapacak? (Öğrenci ifadeleri)

Hedef:Öğretmen, öğrencilerin dersin konusunu anlayıp anlamadıklarını ve hatalarını bir sonraki derste düzeltilebilmeleri için öğrenecektir. (öğrencilerin beyanı) (burada öğrencilerin ihtiyaçlarını daha tatmin edici bir şekilde kullanıyorum)
Akran değerlendirmesi "2 yıldız, 1 dilek"

Yansıma “Başarı Merdiveni” (çocuklar ifadeler yayınlar)
- Terimi bilinmeyen bir denklemi çözebilirim.
- Başka birine öğretebilirim...
- Bunu yapmakta zorlanıyorum...
- Hiçbir şey almadım …

Hedef: Ders sırasındaki başarılarınızın öz değerlendirmesi.

Ders 80-81. Konu: “Denklemleri Çözmek”

Hedefler: bilinmeyen terimlerle denklemleri çözmeyi öğrenin; uzunluk birimlerinin oranını tekrarlayın; hesaplama becerilerini bir sütunda birleştirmek; akıl yürütme ve mantıksal düşünme becerilerini geliştirin.

Planlanan sonuçlar: öğrenciler bilinmeyen bir terimi bulmak için denklem çözmeyi öğrenecekler; öğrenilen teknikleri kullanarak yazılı hesaplamalar yapmak; Başarının/başarısızlığın nedenlerini anlayın Eğitim faaliyetleri.

Dersler sırasında

BEN . Zamanı organize etmek

II . Bilgiyi güncelleme

Matematiksel dikte

1. 67, 89'dan ne kadar azdır? (22'de.)

2. 7 ondan 4 onluğu çıkarın. (30.)

3. 23'ü 32 artırın. (55.)

4. Hangi sayıyı 27 azaltıp 23 elde ettim? (50.)

5. 70 elde etmek için 43'ü ne kadar artırmanız gerekir? (27'sinde)

6. 9 ve 6 sayılarının toplamından 10'u çıkarın. (5.)

7. 37 sayısını elde etmek için 64'ten hangi sayı çıkarılmalıdır? (27.)

8. Hangi sayıya 0 ekleyip 44 elde ettiniz? (44.)

9. 21'e 14 ve 6 sayıları arasındaki farkı ekleyin. (29.) 10. 33, 16,4 ve 27 sayılarının toplamı. (80.)

(Kontrol edin. Öz değerlendirme.)

III . Faaliyet için kendi kaderini tayin etme

Bu örneği kullanarak üç örnek daha yapın. 6 + 4=10

(Öğretmen tahtaya örnekler yazar.) 4 + 6=10 10-4 = 6 10-6 = 4

Kaplama örneğini oluştururken hangi kuralı uyguladınız? (Terimlerin yeniden düzenlenmesiyle toplam değişmez.)

Çıkarma örneğini oluştururken hangi kuralı kullandınız? (Toplamdan bir terim çıkarırsanız başka bir terim elde edersiniz.)

- Dersin konusunu bulmak için bulmacayı çözün.

1. Sayısal ve alfabetiktirler. (İfade.)

2. Eklenen numaralar aranır. (Eklemeler.)

3. Çıkarılacak sayı. (Eksi.)

4. Çıkarma işleminin matematiksel işareti. (Eksi.)

5. Bilinmeyen bir sayı içeren eşitlik. (Denklem.)

6. Şeklin kenar uzunluklarının toplamı. (Çevre.)

7. Artı işaretli ifade. (Toplam.)

8. Eşittir işareti içeren bir giriş. (Eşitlik.)

9. En az iki basamaklı sayı. (On.) 10. Latin harfi. (X.)

Vurgulanan satırda ne oldu? (Denklemleri çözme.)

Ders konusu: “Bilinmeyen terimli denklemleri çözme.” Kendimize hangi görevleri koyacağız?

IV . Dersin konusu üzerinde çalışın

1. Ders kitabına göre çalışın

Sayfadaki dominolara bakın. 7 ders kitabı ve örnekler yan yana kaydedilmiştir. Çıkarma örnekleri nasıl elde edilir? Bunları derlemek için hangi kuralı kullandınız? Sonucu tamamlayın. ( Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerekir.)

№ 1 (s. 7).(Sözlü performans.)

№2 (s. 7).(Ayrıntılı açıklama ile toplu yürütme.)

2. Bağımsız çözüm denklemler

Seçenek 1 Seçenek 2

x + 45 = 92 75+x = 81

26+x = 50x + 22 = 70

(İki öğrenci çözümü tahtaya yazar. Kontrol edin. Öz değerlendirme.)

Çözüm:

x + 45 = 92 75 + x = 81

x = 92-45 x = 81-75

x = 47 X= 6

26+x=50 x + 22 = 70

x = 50 – 26 x = 70 - 22

3. Ders kitabına göre çalışın

№3 (s. 7).(Sözlü performans.)

№4 (s. 7). (Bağımsız tamamlama. Zorluk çekenlere öğretmen çözüm programı içeren yardım kartı verir.) 1) Kız kardeş kaç bardak ahududu topladı?

2) Kaç bardak ahududu topladınız? (Kontrol edin. Öz değerlendirme.)

V . Beden eğitimi dakikası

Ben yürüyorum ve sen yürüyorsun; bir, iki, üç. (Adımlar yerinde.)

Ben şarkı söylüyorum ve sen söylüyorsun - bir, iki, üç. (Ellerini çırp.)

Gidip şarkı söylüyoruz - bir, iki, üç. (Yerinde zıplamak.)

Çok dost canlısı yaşıyoruz - bir, iki, üç. (Adımlar yerinde.)

VI . Öğrenilen materyalin pekiştirilmesi

Ders kitabından çalışma1 numara (s. 14).

Hangi uzunluk birimlerini biliyorsunuz?

1 cm'de kaç milimetre var? (Bağımsız yürütme. Kontrol edin.) Çözüm:

5 santimetre 3 mm = 53 mm

3 santimetre 8 mm = 38mm2 (s. 14).

(Bağımsız yürütme. Kontrol edin.)

1) Çözüm:

AB= 3 cm 5 mm, CD= 5 cm 5 mm;

5 cm 5 mm - 3 cm 5 mm = 2 cm.

Cevap: bölüm uzunluğu CD Segmentin uzunluğundan 2 cm daha fazla AB.

2) Çözüm: ECMO= 2 cm + 4 cm + 1 cm 5 mm = 7 cm 5 mm. 3 (s. 14).

(Bağımsız uygulama. Kontrol etme. Öz değerlendirme.)

Çözüm:

2 santimetre = 20 mm

4 santimetre 2 mm > 40 mm 30 mm = 3 santimetre

4 santimetre 5 mm < 5 santimetre

VII . Refleks

(“Kendinizi test edin” (ders kitabı, s. 7). Bağımsız uygulama. Test.)

Çözüm: 15+x = 35x = 35-15x = 20

VIII . Dersi özetlemek

Bugün ne tür denklemleri hatırladınız?

Bilinmeyen bir terim nasıl bulunur?

Kimin yardıma ihtiyacı var?

Ev ödevi:Çalışma Kitabı: Sayı 10, 11 (s. 6).

§ 1 Bilinmeyen bir terim nasıl bulunur?

Terimlerden biri bilinmiyorsa denklemin kökü nasıl bulunur? Bu derste terimler ile toplamın değeri arasındaki ilişkiye dayalı denklem çözme yöntemine bakacağız.

Bu sorunu çözelim.

Çiçek tarhında 6 kırmızı lale ve 3 sarı lale büyüyordu. Çiçek tarhında kaç tane lale vardı? Çözümü yazalım. Yani 6 kırmızı ve 3 sarı lale büyüdü, dolayısıyla 6 + 3 ifadesini yazabiliriz, toplama işlemini yaptıktan sonra sonucu elde ederiz - çiçek tarhında 9 lale büyüdü.

Çözümü yazalım. Yani 6 kırmızı ve 3 sarı lale büyüdü, dolayısıyla 6 + 3 ifadesini yazabiliriz, toplama işlemini yaptıktan sonra sonucu elde ederiz - çiçek tarhında 9 lale büyüdü. 6 + 3 = 9.

Sorunun durumunu değiştirelim. Çiçek tarhında büyüyen 9 lale vardı, 6'sı toplandı. Kaç tane lale kaldı?

Çiçek tarhında kaç lale kaldığını bulmak için toplam 9 lale sayısından toplanan çiçekleri çıkarmanız gerekir, bunlardan 6 adet vardır.

Hesaplamayı yapalım: 9-6 sonucu 3 alıyoruz. Çiçek tarhında 3 lale kaldı.

Bu sorunu yeniden dönüştürelim. 9 lale büyüyordu, 3'ü toplandı. Kaç tane lale kaldı?

Çözüm şu şekilde olacak: Toplam 9 lale sayısından toplanan çiçekleri çıkarmanız gerekiyor, 3 tane var, 6 lale kaldı.

Eşitliklere yakından bakalım ve birbirleriyle nasıl ilişkili olduklarını anlamaya çalışalım.

Gördüğünüz gibi bu eşitlikler aynı sayıları ve ters işlemleri içeriyor: toplama ve çıkarma.

İlk problemin çözümüne dönelim ve 6 + 3 = 9 ifadesini ele alalım.

Eklerken hangi sayıların çağrıldığını hatırlayalım:

6 ilk terimdir

3 - ikinci dönem

9 - miktar değeri

Şimdi 9 - 6 = 3 ve 9 - 3 = 6 farklarını nasıl elde ettiğimizi düşünelim.

9 - 6 = 3 eşitliğinde toplamın9 değerinden ilk terim6 çıkarılarak ikinci terim3 elde edilir.

9 - 3 = 6 eşitliğinde ikinci terimi3 toplamın9 değerinden çıkarıp ilk terimi6 elde ettik.

Dolayısıyla toplamın değerinden ilk terimi çıkarırsanız ikinci terimi, toplamın değerinden ikinci terimi çıkarırsanız birinci terimi elde edersiniz.

Hadi formüle edelim Genel kural:

Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplam değerden çıkarmanız gerekir.

§ 2 Bilinmeyen bir terimle denklem çözme örnekleri

Bilinmeyen terimleri olan denklemlere bakalım ve bu kuralı kullanarak kökleri bulmaya çalışalım.

X + 5 = 7 denklemini çözelim.

Bu denklemdeki ilk terim bilinmiyor. Bunu bulmak için şu kuralı kullanırız: Bilinmeyen ilk terim X'i bulmak için, ikinci terim 5'i toplam 7'nin değerinden çıkarmak gerekir.

Bu, X = 7 - 5 anlamına gelir,

7 - 5 = 2, X = 2 farkını bulalım.

Denklemin kökünü doğru bulup bulmadığımızı kontrol edelim. Kontrol etmek için denklemde X yerine 2 sayısını kullanmanız gerekir:

7 = 7 - doğru eşitliği elde ettik. Şu sonuca varıyoruz: 2 sayısı X+5=7 denkleminin köküdür.

Başka bir denklem 8 + Y = 17'yi çözelim.

Bu denklemdeki ikinci terim bilinmiyor.

Bulmak için ilk terim olan 8'i toplamın değerinden 17 çıkarmanız gerekir.

Kontrol edelim: Y'nin yerine 9 sayısını koyun. Şunu elde ederiz:

17 = 17 - doğru eşitliği elde ettik.

Dolayısıyla 9 sayısı 8 + Y = 17 denkleminin köküdür.

Böylece derste terimler ile toplamın değeri arasındaki bağlantıya dayanarak denklem çözme yöntemini öğrendik. Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplam değerden çıkarmanız gerekir.

Kullanılan literatürün listesi:

1. I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaya, S.N. Kormişina. Matematik: 2. sınıf ders kitabı: Saat 2'de. - Samara: Yayınevi " Eğitim literatürü": "Fedorov" yayınevi, 2012.
2. Arginskaya I.I. Bağımsız, test ve matematik için görevlerin toplanması testler V ilkokul. - Samara: Fedorov Şirketi, Eğitim Edebiyatı Yayınevi, 2006.

Kullanılan görseller:

Denklemleri hızlı ve başarılı bir şekilde çözmeyi öğrenmek için en çok başlamanız gerekir. Basit kurallar ve örnekler. Her şeyden önce, solda bir bilinmeyen ve sağda başka bir sayı bulunan bazı sayıların farkı, toplamı, bölümü veya çarpımı olan denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenmeniz gerekir. Başka bir deyişle, bu denklemlerde bilinmeyen bir terim ve ya bir çıkan ile bir eksilen ya da bir bölen ile bir bölen vb. vardır. Sizinle bu tür denklemler hakkında konuşacağız.

Bu makale, faktörleri, bilinmeyen terimleri vb. bulmanıza olanak tanıyan temel kurallara ayrılmıştır. Tüm teorik ilkeleri, belirli örnekler kullanarak hemen açıklayacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bilinmeyen terimi bulma

Diyelim ki iki vazoda belirli sayıda topumuz var, örneğin 9. İkinci vazoda 4 top olduğunu biliyoruz. İkincideki miktar nasıl bulunur? Bu problemi bulunması gereken sayıyı x olarak belirterek matematiksel biçimde yazalım. Orijinal durumuna göre bu sayı 4 ile birlikte 9'u oluşturur, yani 4 + x = 9 denklemini yazabiliriz. Sol tarafta bilinmeyen terimli bir toplamımız var, sağ tarafta ise bu toplamın değeri var. X nasıl bulunur? Bunu yapmak için kuralı kullanmanız gerekir:

Tanım 1

Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerekir.

Bu durumda çıkarma işlemine toplamanın tersi bir anlam vermiş oluyoruz. Başka bir deyişle, toplama ve çıkarma eylemleri arasında tam anlamıyla şu şekilde ifade edilebilecek belirli bir bağlantı vardır: eğer a + b = c ise, o zaman c - a = b ve c - b = a ve bunun tersi de geçerlidir. c − a = b ve c − b = a ifadelerinden a + b = c sonucunu çıkarabiliriz.

Bu kuralı bilerek, bilinen terimi ve toplamı kullanarak bilinmeyen bir terim bulabiliriz. Bu durumda tam olarak hangi terimi bildiğimizin, birinci veya ikincinin önemi yoktur. Bakalım nasıl başvurulacak bu kural pratikte.

örnek 1

Yukarıda elde ettiğimiz denklemi ele alalım: 4 + x = 9. Kurala göre, 9'a eşit bilinen bir toplamdan 4'e eşit bilinen bir terim çıkarmamız gerekiyor. Bir doğal sayıyı diğerinden çıkaralım: 9 - 4 = 5. İhtiyacımız olan 5 terimini elde ettik.

Tipik olarak bu tür denklemlerin çözümleri şu şekilde yazılır:

1. İlk önce orijinal denklem yazılır.
2. Daha sonra bilinmeyen terimi hesaplama kuralını uyguladıktan sonra ortaya çıkan denklemi yazıyoruz.
3. Daha sonra tüm işlemlerden sonra elde edilen denklemi sayılarla yazıyoruz.

Bu gösterim biçimi, orijinal denklemin eşdeğer olanlarla sırayla değiştirilmesini göstermek ve kökü bulma sürecini göstermek için gereklidir. Yukarıdaki basit denklemimizin çözümü şu şekilde doğru şekilde yazılır:

4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.

Alınan cevabın doğruluğunu kontrol edebiliriz. Elde ettiğimiz değeri orijinal denklemde yerine koyalım ve buradan doğru sayısal eşitliğin çıkıp çıkmadığına bakalım. 5'i 4 + x = 9 olarak değiştirin ve şunu elde edin: 4 + 5 = 9. 9=9 eşitliği doğrudur, yani bilinmeyen terim doğru bulunmuştur. Eşitliğin yanlış olduğu ortaya çıkarsa çözüme geri dönüp tekrar kontrol etmeliyiz çünkü bu bir hatanın işaretidir. Kural olarak, çoğu zaman bu bir hesaplama hatası veya yanlış bir kuralın uygulanmasıdır.

Bilinmeyen bir çıkan veya eksilen bulma

Daha önce ilk paragrafta da belirttiğimiz gibi toplama ve çıkarma işlemleri arasında belli bir bağlantı vardır. Onun yardımıyla, farkı ve çıkanı bildiğimizde bilinmeyen bir eksiyi veya eksi veya fark yoluyla bilinmeyen bir çıkanı bulmamıza yardımcı olacak bir kural formüle edebiliriz. Bu iki kuralı sırasıyla yazalım ve problemlerin çözümünde nasıl uygulanacağını gösterelim.

Tanım 2

Bilinmeyen eksiyi bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.

Örnek 2

Örneğin x - 6 = 10 denklemimiz var. Bilinmeyen eksi. Kurala göre 10'un farkına çıkardığımız 6'yı eklersek 16 elde ederiz. Yani asıl eksi on altıya eşittir. Çözümün tamamını yazalım:

x - 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.

Ortaya çıkan sayıyı orijinal denkleme ekleyerek sonucu kontrol edelim: 16 - 6 = 10. 16 - 16 eşitliği doğru olacaktır, bu da her şeyi doğru hesapladığımız anlamına gelir.

Tanım 3

Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı eksiden çıkarmanız gerekir.

Örnek 3

10 - x = 8 denklemini çözmek için kuralı kullanalım. Çıkarılanı bilmediğimiz için farkı 10'dan çıkarmamız gerekiyor. 10 - 8 = 2. Bu, gerekli çıkanın ikiye eşit olduğu anlamına gelir. İşte çözümün tamamı:

10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.

İkisini orijinal denklemde yerine koyarak doğruluğunu kontrol edelim. 10 – 2 = 8 doğru eşitliğini elde edelim ve bulduğumuz değerin doğru olacağından emin olalım.

Diğer kurallara geçmeden önce, herhangi bir terimi denklemin bir kısmından diğerine, işareti tersiyle değiştirerek aktarmanın bir kuralı olduğunu not ediyoruz. Yukarıdaki kuralların tümü buna tamamen uygundur.

Bilinmeyen bir faktörü bulma

İki denkleme bakalım: x · 2 = 20 ve 3 · x = 12. Her ikisinde de ürünün değerini biliyoruz ve faktörlerden birini biliyoruz, ikincisini bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için başka bir kural kullanmamız gerekiyor.

Tanım 4

Bilinmeyen bir faktörü bulmak için ürünü bilinen faktöre bölmeniz gerekir.

Bu kural çarpmanın anlamının tersi olan bir anlama dayanmaktadır. Çarpma ve bölme arasında şu bağlantı vardır: a ve b 0'a eşit olmadığında a · b = c, c: a = b, c: b = c ve bunun tersi.

Örnek 4

İlk denklemdeki bilinmeyen faktörü, bilinen bölüm 20'yi bilinen faktör 2'ye bölerek hesaplayalım. Bölme işlemini gerçekleştiriyoruz doğal sayılar ve 10 alıyoruz. Eşitlik sırasını yazalım:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.

On'u orijinal eşitliğe koyarsak 2 · 10 = 20 elde ederiz. Bilinmeyen çarpanın değeri doğru bir şekilde uygulandı.

Çarpanlardan birinin sıfır olması durumunda bu kuralın uygulanamayacağını açıklayalım. Dolayısıyla x · 0 = 11 denklemini onun yardımıyla çözemeyiz. Bu gösterim hiçbir anlam ifade etmiyor, çünkü bunu çözmek için 11'i 0'a bölmeniz gerekiyor ve sıfıra bölme tanımlı değil. Hakkında daha fazlasını okuyun benzer vakalar Bunu doğrusal denklemlerle ilgili bir makalede ele aldık.

Bu kuralı uyguladığımızda aslında denklemin her iki tarafını da 0 dışında bir faktöre bölüyoruz. Var ayrı kural Buna göre böyle bir bölme yapılabilir ve denklemin köklerini etkilemez ve bu paragrafta yazdıklarımız da bununla tamamen tutarlıdır.

Bilinmeyen bir temettü veya böleni bulma

Dikkate almamız gereken diğer bir durum, böleni ve bölümü biliyorsak bilinmeyen böleni bulmanın yanı sıra, bölüm ve böleni bildiğimizde böleni bulmaktır. Bu kuralı daha önce burada bahsettiğimiz çarpma ve bölme arasındaki bağlantıyı kullanarak formüle edebiliriz.

Tanım 5

Bilinmeyen böleni bulmak için böleni bölümle çarpmanız gerekir.

Bu kuralın nasıl uygulandığına bakalım.

Örnek 5

Bunu x: 3 = 5 denklemini çözmek için kullanalım. Bilinen bölümü ve bilinen böleni çarparız ve ihtiyacımız olan bölen olan 15'i elde ederiz.

Burada Kısa not tüm çözüm:

x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.

Kontrol, her şeyi doğru hesapladığımızı gösteriyor çünkü 15'i 3'e böldüğümüzde aslında 5 çıkıyor. Doğru sayısal eşitlik, doğru çözümün kanıtıdır.

Bu kural, denklemin sağ ve sol taraflarının 0 dışında aynı sayıyla çarpılması şeklinde yorumlanabilir. Bu dönüşüm denklemin köklerini hiçbir şekilde etkilemez.

Bir sonraki kurala geçelim.

Tanım 6

Bilinmeyen bir böleni bulmak için, böleni bölüme bölmeniz gerekir.

Örnek 6

Basit bir örnek alalım - denklem 21: x = 3. Bunu çözmek için, bilinen 21'i bölüm 3'e bölün ve 7'yi elde edin. Bu gerekli bölen olacaktır. Şimdi çözümü doğru şekilde formüle edelim:

21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.

Orijinal denklemde yediyi değiştirerek sonucun doğru olduğundan emin olalım. 21:7=3 olduğuna göre denklemin kökü doğru hesaplanmıştır.

Bu kuralın yalnızca bölümün sıfıra eşit olmadığı durumlar için geçerli olduğunu belirtmek önemlidir, aksi takdirde yine 0'a bölmek zorunda kalacağız. Sıfır özelse iki seçenek mümkündür. Bölünen de sıfıra eşitse ve denklem 0: x = 0 gibi görünüyorsa, o zaman değişkenin değeri herhangi olacaktır, yani bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır. Ancak bölümü 0'a eşit ve böleni 0'dan farklı olan bir denklemin çözümü olmayacaktır çünkü bölenin bu değerleri mevcut değildir. Bir örnek, herhangi bir kökü olmayan denklem 5: x = 0 olabilir.

Kuralların tutarlı uygulanması

Uygulamada genellikle toplamaları, çıkarmaları, çıkarmaları, çarpanları, bölenleri ve bölümleri bulma kurallarının sırayla uygulanması gereken daha karmaşık problemler vardır. Bir örnek verelim.

Örnek 7

3 x + 1 = 7 şeklinde bir denklemimiz var. Bilinmeyen terimi 3 x 7'den bir çıkararak hesaplıyoruz. 3 x = 7 − 1 ve ardından 3 x = 6 elde ederiz. Bu denklemin çözümü çok basittir: 6'yı 3'e bölün ve orijinal denklemin kökünü bulun.

Başka bir denklemin (2 x − 7) çözümünün kısa bir özeti aşağıda verilmiştir: 3 − 5 = 2:

(2 x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x − 7) : 3 = 7 , 2 x − 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Denklemler ustalaşması en zor konulardan biridir ama aynı zamanda çoğu problemi çözmek için de güçlü bir araçtır.

Denklemler kullanılarak doğada meydana gelen çeşitli süreçler açıklanmaktadır. Denklemler diğer bilimlerde yaygın olarak kullanılmaktadır: ekonomi, fizik, biyoloji ve kimya.

Bu derste en basit denklemlerin özünü anlamaya, bilinmeyenleri ifade etmeyi ve çeşitli denklemleri çözmeyi öğreneceğiz. Yeni materyaller öğrendikçe denklemler daha karmaşık hale gelecektir, dolayısıyla temelleri anlamak çok önemlidir.

Denklem nedir?

Denklem, değerini bulmak istediğiniz değişkeni içeren bir eşitliktir. Bu değer, orijinal denklemde yerine konulduğunda doğru sayısal eşitlik elde edilecek şekilde olmalıdır.

Örneğin 2 + 2 = 4 ifadesi bir eşitliktir. Sol taraf hesaplanırken doğru sayısal eşitlik 4=4 elde edilir.

Ancak eşitlik 2 + X= 4 bir denklemdir çünkü bir değişken içerir X değeri bulunabilir. Değer, bu değer orijinal denklemde değiştirildiğinde doğru sayısal eşitlik elde edilecek şekilde olmalıdır.

Başka bir deyişle, eşittir işaretinin konumunu doğrulayacağı bir değer bulmalıyız - sol taraf sağ tarafa eşit olmalıdır.

Denklem 2 + X= 4 temeldir. Değişken değer X 2 sayısına eşittir. Diğer herhangi bir değer için eşitlik sağlanmayacaktır.

2 numara diyorlar kök veya denklemi çözme 2 + X = 4

Kök veya denklemin çözümü- bu, denklemin gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüğü değişkenin değeridir.

Birkaç kök olabilir veya hiç olmayabilir. Denklemi çözün köklerini bulmak veya köklerinin olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.

Denklemde yer alan değişkene aksi takdirde denir Bilinmeyen. Bunu tercih ettiğiniz şekilde adlandırma hakkına sahipsiniz. Bunlar eş anlamlıdır.

Not. "Bir denklemi çöz" ifadesi kendi adına konuşur. Bir denklemi çözmek, denklemi "eşitlemek" anlamına gelir; sol taraf sağ tarafa eşit olacak şekilde onu dengede tutmak anlamına gelir.

Bir şeyi diğeri aracılığıyla ifade edin

Denklemlerin incelenmesi geleneksel olarak bir eşitliğin içerdiği bir sayıyı diğer sayılar aracılığıyla ifade etmeyi öğrenmekle başlar. Bu geleneği bozmayalım ve aynısını yapalım.

Aşağıdaki ifadeyi göz önünde bulundurun:

8 + 2

Bu ifade 8 ve 2 sayılarının toplamıdır. Bu ifadenin değeri 10'dur.

8 + 2 = 10

Eşitlik sağladık. Artık bu eşitlikten herhangi bir sayıyı aynı eşitliğe dahil olan diğer sayılar aracılığıyla ifade edebilirsiniz. Örneğin 2 sayısını ifade edelim.

2 sayısını ifade etmek için “2 sayısını elde etmek için 10 ve 8 sayılarıyla ne yapılması gerekir?” sorusunu sormanız gerekir. 2 sayısını elde etmek için 8 sayısını 10 sayısından çıkarmanız gerektiği açıktır.

Yaptığımız bu. 2 sayısını yazıyoruz ve eşittir işaretiyle bu 2 sayısını elde etmek için 8 sayısını 10 sayısından çıkardığımızı söylüyoruz:

2 = 10 − 8

2 sayısını 8 + 2 = 10 eşitliğinden ifade ettik. Örnekten de görülebileceği gibi, bunda karmaşık bir şey yok.

Denklemleri çözerken, özellikle bir sayıyı diğerleri cinsinden ifade ederken, eşittir işaretini "" kelimesiyle değiştirmek uygundur. Orada" . Bu, ifadenin kendisinde değil, zihinsel olarak yapılmalıdır.

Yani 8 + 2 = 10 eşitliğinden 2 sayısını ifade edersek 2 = 10 − 8 eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlik şu şekilde okunabilir:

2 Orada 10 − 8

Yani bir işaret = "dir" kelimesiyle değiştirilmiştir. Ayrıca 2 = 10 − 8 eşitliği şu şekilde çevrilebilir: matematik dili tam insan diline. O zaman şu şekilde okunabilir:

2 numara Orada 10 numara ile 8 numara arasındaki fark

2 numara Orada 10 numara ile 8 numara arasındaki fark

Ancak kendimizi yalnızca eşittir işaretini "dir" kelimesiyle değiştirmekle sınırlayacağız ve bunu her zaman yapmayacağız. Temel ifadeler, matematik dilini insan diline çevirmeden anlaşılabilir.

Ortaya çıkan 2 = 10 − 8 eşitliğini orijinal durumuna döndürelim:

8 + 2 = 10

Bu kez 8 sayısını ifade edelim. 8 sayısını elde etmek için kalan sayılarla ne yapılması gerekiyor? Doğru, 10 sayısından 2'yi çıkarman gerekiyor

8 = 10 − 2

Ortaya çıkan 8 = 10 − 2 eşitliğini orijinal durumuna döndürelim:

8 + 2 = 10

Bu sefer 10 sayısını ifade edeceğiz. Ama meğerse 10'u ifade etmeye gerek yok, çünkü zaten ifade edilmiş. Sol ve sağ parçaları değiştirmek yeterli, sonra ihtiyacımız olanı elde ederiz:

10 = 8 + 2

Örnek 2. 8 − 2 = 6 eşitliğini düşünün

Bu eşitlikten 8 sayısını ifade edelim. 8 sayısını ifade etmek için kalan iki sayının toplanması gerekir:

8 = 6 + 2

Ortaya çıkan 8 = 6 + 2 eşitliğini orijinal durumuna döndürelim:

8 − 2 = 6

Bu eşitlikten 2 sayısını ifade edelim.2 sayısını ifade etmek için 8'den 6'yı çıkarmanız gerekir.

2 = 8 − 6

Örnek 3. 3 × 2 = 6 eşitliğini düşünün

3 sayısını ifade edelim. 3 sayısını ifade etmek için 6'nın 2'ye bölünmesi gerekir.

Ortaya çıkan eşitliği orijinal durumuna döndürelim:

3 × 2 = 6

Bu eşitlikten 2 sayısını ifade edelim. 2 sayısını ifade etmek için 6'yı 3'e bölmemiz gerekir.

Örnek 4. Eşitliği düşünün

Bu eşitlikten 15 sayısını ifade edelim. 15 sayısını ifade etmek için 3 ile 5 sayısını çarpmanız gerekir.

15 = 3 × 5

Ortaya çıkan 15 = 3 × 5 eşitliğini orijinal durumuna döndürelim:

Bu eşitlikten 5 sayısını ifade edelim. 5 sayısını ifade etmek için 15'in 3'e bölünmesi gerekir.

Bilinmeyenleri bulma kuralları

Bilinmeyenleri bulmak için çeşitli kuralları ele alalım. Size tanıdık gelebilir ama tekrarlamaktan zarar gelmez. Gelecekte bu kuralları uygulamadan denklem çözmeyi öğrendiğimiz için bunlar unutulabilir.

Bir önceki başlıkta incelediğimiz 8 + 2 = 10 eşitliğinde 2 sayısını ifade etmemiz gereken ilk örneğe dönelim.

8 + 2 = 10 eşitliğinde 8 ve 2 sayıları terim, 10 sayısı ise toplamdır.

2 sayısını ifade etmek için şunları yaptık:

2 = 10 − 8

Yani 10'un toplamından 8 terimini çıkardık.

Şimdi 8 + 2 = 10 eşitliğinde 2 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin X

8 + X = 10

Bu durumda 8 + 2 = 10 eşitliği 8 + denklemi haline gelir. X= 10 ve değişken X bilinmeyen terim

Görevimiz bu bilinmeyen terimi bulmak, yani 8 + denklemini çözmektir. X= 10. Bilinmeyen bir terimi bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerekir.

Temelde ikiyi 8 + 2 = 10 eşitliğiyle ifade ettiğimizde yaptığımız şey buydu. 2. terimi ifade etmek için 10 toplamından 8 terimini daha çıkardık.

2 = 10 − 8

Şimdi bilinmeyen terimi bulmak için X, bilinen terim 8'i toplam 10'dan çıkarmalıyız:

X = 10 − 8

Ortaya çıkan eşitliğin sağ tarafını hesaplarsanız değişkenin neye eşit olduğunu öğrenebilirsiniz. X

X = 2

Denklemi çözdük. Değişken değer X 2'ye eşittir. Bir değişkenin değerini kontrol etmek için X orijinal denkleme gönderildi 8 + X= 10 ve yerine X. Denklemin doğru çözüldüğünden kesinlikle emin olamayacağınız için bunu herhangi bir çözülmüş denklemle yapmanız önerilir:

Sonuç olarak

Bilinmeyen terimin ilk 8 rakamı olması durumunda da aynı kural geçerli olacaktır.

X + 2 = 10

Bu denklemde X bilinmeyen terim, 2 bilinen terim, 10 toplamdır. Bilinmeyen bir terimi bulmak için X, bilinen terim 2'yi toplam 10'dan çıkarmanız gerekir

X = 10 − 2

X = 8

Önceki konunun ikinci örneğine dönelim, burada 8 − 2 = 6 eşitliğinde 8 sayısını ifade etmek gerekiyordu.

8 − 2 = 6 eşitliğinde 8 sayısı eksi, 2 sayısı çıkan ve 6 sayısı farktır.

8 sayısını ifade etmek için şunları yaptık:

8 = 6 + 2

Yani 6'nın farkını ekledik ve 2'yi çıkardık.

Şimdi 8 − 2 = 6 eşitliğinde 8 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin X

X − 2 = 6

Bu durumda değişken X sözde rolünü üstleniyor bilinmeyen eksi

Bilinmeyen bir eksiyi bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Bilinmeyen eksiyi bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.

8 sayısını 8 – 2 = 6 eşitliğinde ifade ettiğimizde yaptığımız da budur. 8'in eksiğini ifade etmek için 6'nın farkına 2'nin çıkanını ekledik.

Şimdi bilinmeyen eksiyi bulmak için X 2'yi 6 farkına eklemeliyiz

X = 6 + 2

Sağ tarafı hesaplarsanız değişkenin neye eşit olduğunu bulabilirsiniz. X

X = 8

Şimdi 8 − 2 = 6 eşitliğinde 2 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin X

8 − X = 6

Bu durumda değişken X rolü üstleniyor bilinmeyen çıkan

Bilinmeyen bir çıkanı bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı eksiden çıkarmanız gerekir.

2 sayısını 8 − 2 = 6 eşitliğinde ifade ettiğimizde yaptığımız da budur. 2 sayısını ifade etmek için eksilen 8'den 6 farkını çıkardık.

Şimdi bilinmeyen çıkanı bulmak için X, yine eksi 8'den 6 farkını çıkarmanız gerekiyor

X = 8 − 6

Sağ tarafı hesaplayıp değeri buluyoruz X

X = 2

Bir önceki konudan üçüncü örneğe dönelim, burada 3 × 2 = 6 eşitliğinde 3 sayısını ifade etmeye çalıştık.

3 × 2 = 6 eşitliğinde 3 sayısı çarpan, 2 sayısı çarpan, 6 sayısı çarpımdır.

3 sayısını ifade etmek için şunları yaptık:

Yani 6'nın çarpımını 2'nin katına böldük.

Şimdi 3 × 2 = 6 eşitliğinde 3 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin X

X× 2 = 6

Bu durumda değişken X rolü üstleniyor bilinmeyen çarpan.

Bilinmeyen bir çarpanı bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Bilinmeyen bir çarpanı bulmak için ürünü faktöre bölmeniz gerekir.

3 sayısını 3×2=6 eşitliğinden ifade ettiğimizde bunu yapmış olduk. 6'yı 2'nin çarpanına böldük.

Şimdi bilinmeyen çarpanı bulmak için X 6'yı 2 çarpanına bölmeniz gerekir.

Sağ tarafı hesaplamak bir değişkenin değerini bulmamızı sağlar X

X = 3

Değişken ise aynı kural geçerlidir. Xçarpanın yerine çarpanın yerine yer alır. 3 × 2 = 6 eşitliğinde 2 sayısı yerine bir değişken olduğunu düşünelim. X.

Bu durumda değişken X rolü üstleniyor bilinmeyen çarpan. Bilinmeyen bir faktörü bulmak için, bilinmeyen bir çarpanı bulmak için kullanılan prosedürün aynısı, yani çarpımın bilinen bir faktöre bölünmesi sağlanır:

Bilinmeyen bir faktörü bulmak için ürünü çarpıma bölmeniz gerekir.

2 sayısını 3×2=6 eşitliğinden ifade ettiğimizde bunu yapmış olduk. Daha sonra 2 sayısını elde etmek için 6'nın çarpımını 3'ün çarpımına böldük.

Şimdi bilinmeyen faktörü bulmak için X 6'nın çarpımını 3'ün çarpımına böldük.

Eşitliğin sağ tarafını hesaplamak, x'in neye eşit olduğunu bulmanızı sağlar

X = 2

Çarpan ve çarpan birlikte faktörler olarak adlandırılır. Çarpanı ve çarpanı bulma kuralları aynı olduğundan, bilinmeyen bir faktörü bulmak için genel bir kural formüle edebiliriz:

Bilinmeyen bir faktörü bulmak için ürünü bilinen faktöre bölmeniz gerekir.

Örneğin 9 × denklemini çözelim X= 18. Değişken X bilinmeyen bir faktördür. Bu bilinmeyen faktörü bulmak için 18'i bilinen faktör 9'a bölmeniz gerekir.

Denklemi çözelim X× 3 = 27. Değişken X bilinmeyen bir faktördür. Bu bilinmeyen faktörü bulmak için 27'yi bilinen faktör 3'e bölmeniz gerekir.

Bir önceki konudan dördüncü örneğe dönelim, burada 15 sayısını eşitlikle ifade etmemiz gerekiyordu. Bu eşitlikte 15 sayısı bölen, 5 sayısı bölen, 3 sayısı ise bölümdür.

15 sayısını ifade etmek için şunları yaptık:

15 = 3 × 5

Yani 3'ün bölümünü 5'in böleniyle çarptık.

Şimdi eşitlikte 15 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin X

Bu durumda değişken X rolü üstleniyor bilinmeyen temettü.

Bilinmeyen bir temettü bulmak için aşağıdaki kural sağlanmıştır:

Bilinmeyen böleni bulmak için bölümü bölenle çarpmanız gerekir.

15 sayısını eşitlikten ifade ettiğimizde bunu yaptık. 15 sayısını ifade etmek için 3'ün bölümünü 5'in böleniyle çarpıyoruz.

Şimdi bilinmeyen temettüyü bulmak için X 3 bölümünü bölen 5 ile çarpmanız gerekir

X= 3 × 5

X .

X = 15

Şimdi eşitlikte 5 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin X .

Bu durumda değişken X rolü üstleniyor bilinmeyen bölen.

Bilinmeyen bir böleni bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

5 sayısını eşitlikten ifade ettiğimizde bunu yaptık. 5 sayısını ifade etmek için 15'i bölen bölü 3'e böleriz.

Şimdi bilinmeyen böleni bulmak için X, temettü 15'i bölüm 3'e bölmeniz gerekir

Ortaya çıkan eşitliğin sağ tarafını hesaplayalım. Bu şekilde değişkenin neye eşit olduğunu buluruz X .

X = 5

Bilinmeyenleri bulmak için aşağıdaki kuralları inceledik:

• Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerekir;
• Bilinmeyen eksiyi bulmak için, çıkanı farka eklemeniz gerekir;
• Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı eksiden çıkarmanız gerekir;
• Bilinmeyen bir çarpanı bulmak için ürünü faktöre bölmeniz gerekir;
• Bilinmeyen bir faktörü bulmak için çarpımı çarpmaya bölmeniz gerekir;
• Bilinmeyen bir bölen bulmak için bölümü bölenle çarpmanız gerekir;
• Bilinmeyen bir böleni bulmak için, böleni bölüme bölmeniz gerekir.

Bileşenler

Eşitliğe dahil edilen sayıları ve değişkenleri bileşenler olarak adlandıracağız

Yani toplama işleminin bileşenleri şartlar Ve toplam

Çıkarma bileşenleri şunlardır: eksi, çıkarma Ve fark

Çarpmanın bileşenleri şunlardır çarpılan, faktör Ve iş

Bölmenin bileşenleri; bölen, bölen ve bölümdür.

Hangi bileşenlerle uğraştığımıza bağlı olarak, bilinmeyenleri bulmak için ilgili kurallar geçerli olacaktır. Bu kuralları bir önceki başlıkta incelemiştik. Denklemleri çözerken bu kuralları ezberlemeniz tavsiye edilir.

örnek 1. Denklemin kökünü bulun 45 + X = 60

45 - dönem, X- bilinmeyen terim, 60 - toplam. Toplamanın bileşenleriyle ilgileniyoruz. Bilinmeyen bir terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerektiğini hatırlıyoruz:

X = 60 − 45

Sağ tarafı hesaplayıp değeri alalım X 15'e eşit

X = 15

Yani denklemin kökü 45 + X= 60 eşittir 15.

Çoğu zaman bilinmeyen bir terimin ifade edilebileceği bir biçime indirgenmesi gerekir.

Örnek 2. Denklemi çözün

Burada, önceki örnekten farklı olarak, bilinmeyen terim 2 katsayısını içerdiğinden hemen ifade edilemez. Bizim görevimiz bu denklemi ifade edilebilecek bir forma getirmektir. X

İÇİNDE bu örnekte Toplamanın bileşenleriyle (terimler ve toplam) ilgileniyoruz. 2 X birinci terim, 4 ikinci terim, 8 toplamdır.

Bu durumda 2. dönem X bir değişken içerir X. Değişkenin değerini bulduktan sonra X 2. dönem X farklı bir görünüme sahip olacak. Bu nedenle 2. dönem X tamamen bilinmeyen bir terim olarak alınabilir:

Şimdi bilinmeyen terimi bulma kuralını uygulayacağız. Bilinen terimi toplamdan çıkarın:

Ortaya çıkan denklemin sağ tarafını hesaplayalım:

Yeni bir denklemimiz var. Şimdi çarpma işleminin bileşenleriyle ilgileniyoruz: çarpma, çarpan ve çarpım. 2 - çarpın, X- çarpan, 4 - çarpım

Bu durumda değişken X sadece bir çarpan değil, bilinmeyen bir çarpandır

Bu bilinmeyen faktörü bulmak için çarpımı çarpmaya bölmeniz gerekir:

Sağ tarafı hesaplayıp değişkenin değerini alalım X

Kontrol etmek için bulunan kökü orijinal denkleme gönderin ve yerine koyun X

Örnek 3. Denklemi çözün 3X+ 9X+ 16X= 56

Bilinmeyeni anında ifade edin X yasaktır. Öncelikle bu denklemi ifade edilebilecek bir forma getirmeniz gerekiyor.

Bu denklemin sol tarafında şunu sunuyoruz:

Çarpmanın bileşenleriyle uğraşıyoruz. 28 - çarpın, X- çarpan, 56 - çarpım. burada X bilinmeyen bir faktördür. Bilinmeyen bir faktörü bulmak için ürünü çarpıma bölmeniz gerekir:

Buradan X 2'ye eşittir

Eşdeğer denklemler

Önceki örnekte denklemi çözerken 3X + 9X + 16X = 56 Denklemin sol tarafında da benzer terimleri verdik. Sonuç olarak yeni bir denklem elde ettik 28 X= 56. Eski denklem 3X + 9X + 16X = 56 ve ortaya çıkan yeni denklem 28 X= 56 denir eşdeğer denklemlerçünkü kökleri çakışıyor.

Denklemlerin kökleri çakışıyorsa eşdeğer denir.

Hadi kontrol edelim. Denklem için 3X+ 9X+ 16X= 56 kökün 2'ye eşit olduğunu bulduk. Önce bu kökü denklemde yerine koyalım 3X+ 9X+ 16X= 56 ve sonra denklem 28'e X= 56, önceki denklemin sol tarafına benzer terimlerin getirilmesiyle elde edildi. Doğru sayısal eşitlikleri elde etmeliyiz

İşlem sırasına göre ilk önce çarpma işlemi yapılır:

İkinci denklem 28'de kök 2'yi yerine koyalım X= 56

Her iki denklemin de aynı köklere sahip olduğunu görüyoruz. Yani denklemler 3X+ 9X+ 16X= 6 ve 28 X= 56 aslında eşdeğerdir.

Denklemi çözmek için 3X+ 9X+ 16X= 56 Bunlardan birini kullandık; benzer terimlerin kısaltılması. Denklemin doğru kimlik dönüşümü, eşdeğer denklem 28'i elde etmemizi sağladı X= 56, çözülmesi daha kolay.

Aynı dönüşümlerden şu an Sadece kesirleri nasıl azaltacağımızı, benzer terimleri nasıl ekleyeceğimizi, parantezlerden ortak çarpanı nasıl çıkaracağımızı ve ayrıca parantezleri nasıl açacağımızı biliyoruz. Bilmeniz gereken başka dönüşümler de var. Ama için Genel fikir Denklemlerin özdeş dönüşümleri konusunda incelediğimiz konular oldukça yeterlidir.

Eşdeğer denklemi elde etmemizi sağlayan bazı dönüşümleri ele alalım.

Denklemin her iki tarafına da aynı sayıyı eklerseniz verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz.

ve benzer şekilde:

Bir denklemin her iki tarafından aynı sayıyı çıkarırsanız verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz.

Başka bir deyişle, aynı sayıya aynı sayı eklenirse (veya her iki taraftan da çıkarılırsa) denklemin kökü değişmeyecektir.

örnek 1. Denklemi çözün

Denklemin her iki tarafından 10 çıkarın

Denklem 5'i elde ettik X= 10. Çarpmanın bileşenleriyle uğraşıyoruz. Bilinmeyen bir faktörü bulmak için X 10'u bilinen faktör 5'e bölmeniz gerekir.

ve yerine X bulunan değer 2

Doğru sayısal eşitliği elde ettik. Bu, denklemin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Denklemin çözümü Denklemin her iki tarafından da 10 sayısını çıkardık. Sonuç olarak eşdeğer bir denklem elde ettik. Bu denklemin kökü, denklem gibi aynı zamanda 2'ye eşittir

Örnek 2. Denklem 4'ü çözün( X+ 3) = 16

Denklemin her iki tarafından 12 sayısını çıkarın

Sol tarafta 4 tane kalacak X ve sağ tarafta 4 sayısı

Denklem 4'ü elde ettik X= 4. Çarpmanın bileşenleriyle uğraşıyoruz. Bilinmeyen bir faktörü bulmak için X 4'ü bilinen faktör 4'e bölmeniz gerekir

Orijinal denklem 4'e dönelim( X+ 3) = 16 ve yerine X bulunan değer 1

Doğru sayısal eşitliği elde ettik. Bu, denklemin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Denklem 4'ü çözme( X+3) = 16 eşitliğin her iki tarafından da 12 sayısını çıkardık. Sonuç olarak eşdeğer denklem 4'ü elde ettik X= 4. Bu denklemin kökü, denklem 4'teki gibi( X+ 3) = 16 da 1'e eşittir

Örnek 3. Denklemi çözün

Eşitliğin sol tarafındaki parantezleri genişletelim:

Denklemin her iki tarafına 8 sayısını ekleyin

Denklemin her iki tarafında da benzer terimler sunalım:

Sol tarafta 2 tane kalacak X ve sağ tarafta 9 sayısı

Ortaya çıkan denklemde 2 X= 9 bilinmeyen terimi ifade ediyoruz X

Orijinal denkleme dönelim ve yerine X bulunan değer 4,5

Doğru sayısal eşitliği elde ettik. Bu, denklemin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Denklemin çözümü Denklemin her iki tarafına da 8 sayısını ekledik ve sonuç olarak eşdeğer bir denklem elde ettik. Bu denklemin kökü, denklem gibi ayrıca 4,5'a eşit

Eşdeğer bir denklem elde etmemizi sağlayan bir sonraki kural aşağıdaki gibidir

Bir denklemdeki bir terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz.

Yani, bir terimi denklemin bir kısmından diğerine hareket ettirip işaretini değiştirirsek denklemin kökü değişmeyecektir. Bu özellik önemli ve denklem çözerken sıklıkla kullanılan özelliklerden biridir.

Aşağıdaki denklemi göz önünde bulundurun:

Bu denklemin kökü 2'ye eşittir. Yerine koyalım X bu kök ve sayısal eşitliğin doğru olup olmadığını kontrol edin

Sonuç doğru bir eşitliktir. Bu, 2 sayısının aslında denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Şimdi bu denklemin terimlerini bir parçadan diğerine taşıyarak, işaretleri değiştirerek deneyelim.

Örneğin, terim 3 X denklemin sol tarafında yer alır. İşareti ters yönde değiştirerek onu sağ tarafa taşıyalım:

Sonuç bir denklemdir 12 = 9X − 3X . bu denklemin sağ tarafında:

X bilinmeyen bir faktördür. Bu iyi bilinen faktörü bulalım:

Buradan X= 2 . Gördüğünüz gibi denklemin kökü değişmedi. Yani denklemler 12 + 3 X = 9X Ve 12 = 9X − 3X eşdeğerdir.

Aslında bu dönüşüm, denklemin her iki tarafına da aynı sayının eklendiği (veya çıkarıldığı) önceki dönüşümün basitleştirilmiş bir yöntemidir.

12+3 denkleminde söylemiştik X = 9X 3. dönem X işaret değiştirilerek sağ tarafa kaydırıldı. Gerçekte ise şöyle oldu: 3. terim denklemin her iki tarafından da çıkarıldı. X

Daha sonra sol tarafta benzer terimler verilerek denklem elde edildi. 12 = 9X − 3X. Daha sonra benzer terimler yine sağ tarafta verildi ve 12 = 6 denklemi elde edildi. X.

Ancak sözde "çeviri" bu tür denklemler için daha uygundur, bu yüzden bu kadar yaygınlaştı. Denklemleri çözerken sıklıkla bu özel dönüşümü kullanacağız.

12 + 3 denklemleri de eşdeğerdir X= 9X Ve 3x− 9X= −12 . Bu sefer denklem 12 + 3 X= 9X 12. terim sağ tarafa taşındı ve 9. terim X Sola. Transfer sırasında bu terimlerin işaretlerinin değiştirildiğini unutmamalıyız.

Eşdeğer bir denklem elde etmemizi sağlayan bir sonraki kural aşağıdaki gibidir:

Denklemin her iki tarafı da sıfıra eşit olmayan aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.

Yani bir denklemin kökleri her iki taraf da aynı sayıyla çarpıldığında veya aynı sayıya bölündüğünde değişmeyecektir. Bu eylem genellikle kesirli ifadeler içeren bir denklemi çözmeniz gerektiğinde kullanılır.

Öncelikle denklemin her iki tarafının da aynı sayıyla çarpılacağı örneklere bakalım.

örnek 1. Denklemi çözün

Kesirli ifadeler içeren denklemleri çözerken, önce denklemi basitleştirmek gelenekseldir.

Bu durumda tam da böyle bir denklemle karşı karşıyayız. Bu denklemi basitleştirmek için her iki taraf da 8 ile çarpılabilir:

için belirli bir kesrin payını bu sayıyla çarpmamız gerektiğini hatırlıyoruz. Elimizde iki kesir var ve her biri 8 sayısıyla çarpılıyor. Görevimiz kesirlerin paylarını bu 8 sayısıyla çarpmak.

Şimdi işin ilginç kısmı gerçekleşiyor. Her iki kesirin payları ve paydaları 8'e kadar azaltılabilen 8 faktörünü içerir. Bu, kesirli ifadeden kurtulmamızı sağlayacaktır:

Sonuç olarak, en basit denklem kalır

Peki bu denklemin kökünün 4 olduğunu tahmin etmek zor değil

X bulunan değer 4

Sonuç doğru bir sayısal eşitliktir. Bu, denklemin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Bu denklemi çözerken her iki tarafı da 8 ile çarptık. Sonuç olarak denklemi elde ettik. Bu denklemin kökü de denklem gibi 4'tür. Bu, bu denklemlerin eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Denklemin her iki tarafının çarpıldığı faktör genellikle denklemin ilgili kısmından sonra değil, önce yazılır. Böylece denklemi çözerek her iki tarafı da 8'in katıyla çarptık ve aşağıdaki girdiyi elde ettik:

Bu denklemin kökünü değiştirmedi, ancak bunu okuldayken yapsaydık azarlanırdık, çünkü cebirde bir çarpanı çarpıldığı ifadeden önce yazmak gelenekseldir. Bu nedenle denklemin her iki tarafının 8 çarpanıyla çarpımının aşağıdaki şekilde yeniden yazılması tavsiye edilir:

Örnek 2. Denklemi çözün

Sol tarafta 15'in çarpanları 15, sağ tarafta ise 15 ve 5'in çarpanları 5 azaltılabilir

Denklemin sağ tarafındaki parantezleri açalım:

Terimi taşıyalım X Denklemin sol tarafından sağ tarafına doğru işaret değiştirilerek. Ve 15. terimi denklemin sağ tarafından sol tarafına kaydırıyoruz, yine işaretini değiştiriyoruz:

Her iki tarafa da benzer terimler sunarız, şunu elde ederiz:

Çarpmanın bileşenleriyle uğraşıyoruz. Değişken X

Orijinal denkleme dönelim ve yerine X bulunan değer 5

Sonuç doğru bir sayısal eşitliktir. Bu, denklemin doğru çözüldüğü anlamına gelir. Bu denklemi çözerken her iki tarafı da 15 ile çarptık. Aynı dönüşümleri daha da gerçekleştirerek 10 = 2 denklemini elde ettik X. Bu denklemin kökü, denklem gibi 5'e eşittir. Bu, bu denklemlerin eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Örnek 3. Denklemi çözün

Sol tarafta iki üçlüyü azaltabilirsiniz ve sağ kısım 18'e eşit olacak

En basit denklem kalıyor. Çarpmanın bileşenleriyle uğraşıyoruz. Değişken X bilinmeyen bir faktördür. Bu iyi bilinen faktörü bulalım:

Orijinal denkleme dönelim ve yerine koyalım X bulunan değer 9

Sonuç doğru bir sayısal eşitliktir. Bu, denklemin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Örnek 4. Denklemi çözün

Denklemin her iki tarafını da 6 ile çarpın

Denklemin sol tarafındaki parantezleri açalım. Sağ tarafta, 6 faktörü paya yükseltilebilir:

Denklemin her iki tarafında neyin azaltılabileceğini azaltalım:

Elimizde kalanları yeniden yazalım:

Terimlerin aktarımını kullanalım. Bilinmeyeni içeren terimler X, denklemin sol tarafında ve bilinmeyenlerden arındırılmış terimleri sağ tarafta gruplandırıyoruz:

Her iki bölümde de benzer terimleri sunalım:

Şimdi değişkenin değerini bulalım X. Bunu yapmak için, çarpım 28'i bilinen faktör 7'ye bölün.

Buradan X= 4.

Orijinal denkleme dönelim ve yerine X bulunan değer 4

Sonuç doğru bir sayısal denklemdir. Bu, denklemin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Örnek 5. Denklemi çözün

Mümkün olduğunca denklemin her iki tarafındaki parantezleri açalım:

Denklemin her iki tarafını da 15 ile çarpın

Denklemin her iki tarafındaki parantezleri açalım:

Denklemin her iki tarafında neyin azaltılabileceğini azaltalım:

Elimizde kalanları yeniden yazalım:

Mümkün olduğunca parantezleri genişletelim:

Terimlerin aktarımını kullanalım. Bilinmeyeni içeren terimleri denklemin sol tarafında, bilinmeyen içermeyen terimleri ise sağ tarafında gruplandırıyoruz. Aktarım sırasında terimlerin işaretlerinin ters yönde değiştiğini unutmayın:

Denklemin her iki tarafında da benzer terimler sunalım:

Değeri bulalım X

Ortaya çıkan cevap bütün bir parçaya bölünebilir:

Orijinal denkleme dönelim ve yerine koyalım X bulunan değer

Oldukça hantal bir ifade olduğu ortaya çıkıyor. Değişkenleri kullanalım. Eşitliğin sol tarafını bir değişkene koyalım A ve eşitliğin sağ tarafı bir değişkene dönüştürülür B

Görevimiz sol tarafın sağa eşit olup olmadığından emin olmaktır. Başka bir deyişle A = B eşitliğini kanıtlayın

A değişkenindeki ifadenin değerini bulalım.

Değişken değer A eşittir. Şimdi değişkenin değerini bulalım B. Yani eşitliğimizin sağ tarafının değeri. Eğer eşitse denklem doğru çözülecektir.

Değişkenin değerinin olduğunu görüyoruz. B, yanı sıra A değişkeninin değeridir. Bu, sol tarafın sağ tarafa eşit olduğu anlamına gelir. Buradan denklemin doğru çözüldüğü sonucuna varıyoruz.

Şimdi denklemin her iki tarafını da aynı sayıyla çarpmamaya, bölmeye çalışalım.

Denklemi düşünün 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . Bunu olağan yöntemi kullanarak çözelim: Denklemin sol tarafında bilinmeyen içeren terimleri ve sağ tarafında bilinmeyen içermeyen terimleri gruplandırıyoruz. Daha sonra bilinen kimlik dönüşümlerini gerçekleştirerek değeri buluyoruz X

Bulunan değeri 2 yerine koyalım X orijinal denklemde:

Şimdi denklemin tüm terimlerini ayırmaya çalışalım 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 Bu denklemdeki tüm terimlerin ortak çarpanı 2'dir. Her terimi buna böleriz:

Her terimde bir azaltma işlemi yapalım:

Elimizde kalanları yeniden yazalım:

Bu denklemi iyi bilinen kimlik dönüşümlerini kullanarak çözelim:

Kök 2'yi aldık. Yani denklemler 15X+ 7X+ 7 = 35x− 20X+ 21 Ve 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 eşdeğerdir.

Denklemin her iki tarafını aynı sayıya bölmek, bilinmeyeni katsayıdan çıkarmanıza olanak tanır. Önceki örnekte denklem 7'yi elde ettiğimizde X= 14 ise 14'ü bilinen 7 çarpanına bölmemiz gerekiyordu. Ama soldaki 7 çarpanından bilinmeyeni kurtarsaydık kök hemen bulunurdu. Bunu yapmak için her iki tarafı da 7'ye bölmek yeterliydi.

Bu yöntemi de sıklıkla kullanacağız.

Eksi bir ile çarpma

Denklemin her iki tarafı da eksi bir ile çarpılırsa buna eşdeğer bir denklem elde edilir.

Bu kural, bir denklemin her iki tarafını aynı sayıyla çarpmanın (veya bölmenin) verilen denklemin kökünü değiştirmediği gerçeğinden kaynaklanır. Bu, her iki kısmı da -1 ile çarpılırsa kökün değişmeyeceği anlamına gelir.

Bu kural, denklemde yer alan tüm bileşenlerin işaretlerini değiştirmenize olanak sağlar. Bu ne için? Yine çözülmesi daha kolay bir eşdeğer denklem elde etmek için.

Denklemi düşünün. Bu denklemin kökü nedir?

Denklemin her iki tarafına 5 sayısını ekleyin

Benzer terimlere bakalım:

Şimdi şunu hatırlayalım. Denklemin sol tarafı nedir? Bu eksi bir ile bir değişkenin çarpımıdır X

Yani değişkenin önündeki eksi işareti X değişkenin kendisine atıfta bulunmaz X, ancak göremediğimiz bire, çünkü katsayı 1 genellikle yazılmaz. Bu, denklemin gerçekte şöyle göründüğü anlamına gelir:

Çarpmanın bileşenleriyle uğraşıyoruz. Bulmak X, −5 çarpımını bilinen −1 faktörüne bölmeniz gerekir.

veya denklemin her iki tarafını da -1'e bölün; bu daha da basittir

Yani denklemin kökü 5'tir. Kontrol etmek için bunu orijinal denklemde yerine koyalım. Orijinal denklemde eksi değişkenin önünde olduğunu unutmayın X görünmez bir birimi ifade eder

Sonuç doğru bir sayısal denklemdir. Bu, denklemin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Şimdi denklemin her iki tarafını da eksi bir ile çarpmaya çalışalım:

Parantez açıldıktan sonra sol tarafta ifade oluşur, sağ taraf 10'a eşit olur

Bu denklemin kökü de denklem gibi 5'tir.

Bu, denklemlerin eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Örnek 2. Denklemi çözün

Bu denklemde tüm bileşenler negatiftir. Negatif bileşenlere göre pozitif bileşenlerle çalışmak daha uygundur, bu nedenle denklemde yer alan tüm bileşenlerin işaretlerini değiştirelim. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını da -1 ile çarpın.

Herhangi bir sayının -1 ile çarpıldığında işaretini tersine değiştireceği açıktır. Bu nedenle -1 ile çarpma ve parantezleri açma işlemi ayrıntılı olarak anlatılmamakta, ancak denklemin zıt işaretli bileşenleri hemen yazılmaktadır.

Böylece bir denklemin -1 ile çarpılması ayrıntılı olarak şu şekilde yazılabilir:

veya tüm bileşenlerin işaretlerini değiştirebilirsiniz:

Sonuç aynı olacak ama fark şu olacak ki kendimize zaman kazandıracağız.

Yani denklemin her iki tarafını da -1 ile çarparak denklemi elde ederiz. Bu denklemi çözelim. Her iki taraftan 4 çıkarın ve her iki tarafı da 3'e bölün

Kök bulunduğunda değişken genellikle sol tarafa, değeri ise sağ tarafa yazılır, biz de öyle yaptık.

Örnek 3. Denklemi çözün

Denklemin her iki tarafını da -1 ile çarpalım. Daha sonra tüm bileşenler işaretlerini zıt işaretlerle değiştirecek:

Ortaya çıkan denklemin her iki tarafından 2 çıkarın X ve benzer terimler verin:

Denklemin her iki tarafına birer tane ekleyelim ve benzer terimleri verelim:

Sıfıra eşitleme

Yakın zamanda, bir denklemdeki bir terimi işaretini değiştirerek bir bölümden diğerine taşıdığımızda, verilene eşdeğer bir denklem elde edeceğimizi öğrendik.

Sadece bir terim değil, tüm terimler bir bölümden diğerine geçerseniz ne olur? Doğru, tüm terimlerin alındığı kısımda sıfır kalacak. Başka bir deyişle geriye hiçbir şey kalmayacak.

Örnek olarak denklemi düşünün. Bu denklemi her zamanki gibi çözelim; bilinmeyenleri içeren terimleri bir bölümde gruplandıracağız ve diğer bölümde bilinmeyen içermeyen sayısal terimleri bırakacağız. Daha sonra bilinen kimlik dönüşümlerini gerçekleştirerek değişkenin değerini buluyoruz X

Şimdi aynı denklemi tüm bileşenlerini sıfıra eşitleyerek çözmeye çalışalım. Bunu yapmak için tüm terimleri sağ taraftan sola taşıyarak işaretleri değiştiriyoruz:

Benzer terimleri sol tarafta da sunalım:

Her iki tarafa da 77 ekleyin ve her iki tarafı da 7'ye bölün

Bilinmeyenleri bulma kurallarına bir alternatif

Açıkçası, denklemlerin özdeş dönüşümlerini bildiğiniz için bilinmeyenleri bulma kurallarını ezberlemenize gerek yok.

Örneğin, bir denklemde bilinmeyeni bulmak için 10 çarpımını bilinen faktör 2'ye böldük.

Ama denklemin her iki tarafını da 2'ye bölerseniz kök hemen bulunur. Denklemin sol tarafında payda faktör 2, paydada faktör 2 2 azaltılacak. Sağ tarafta ise 5 olacak.

Bilinmeyen terimi ifade ederek formun denklemlerini çözdük:

Ancak bugün incelediğimiz dönüşümlerin aynısını kullanabilirsiniz. Denklemde 4. terim işareti değiştirilerek sağa kaydırılabilir:

Denklemin sol tarafında iki ikiler birbirini götürecek. Sağ taraf 2'ye eşit olacaktır. Dolayısıyla .

Veya denklemin her iki tarafından da 4 çıkarırsanız aşağıdaki sonucu elde edersiniz:

Form denklemleri durumunda, ürünü bilinen bir faktöre bölmek daha uygundur. Her iki çözümü de karşılaştıralım:

İlk çözüm çok daha kısa ve daha düzgün. Bölmeyi kafanızda yaparsanız ikinci çözüm önemli ölçüde kısaltılabilir.

Ancak her iki yöntemi de bilmeniz ve ancak o zaman tercih ettiğiniz yöntemi kullanmanız gerekir.

Birkaç kök olduğunda

Bir denklemin birden fazla kökü olabilir. Örneğin denklem X(x+ 9) = 0'ın iki kökü vardır: 0 ve −9.

Denklemde. X(x+ 9) = 0 böyle bir değer bulmak gerekiyordu X burada sol taraf sıfıra eşit olacaktır. Bu denklemin sol tarafı ifadeleri içerir X Ve (x+9) bunlar faktörlerdir. Çarpım yasalarından, faktörlerden en az birinin (birinci faktör veya ikinci) sıfıra eşit olması durumunda bir çarpımın sıfıra eşit olduğunu biliyoruz.

Yani Denk. X(x+ 9) = 0 eşitliği sağlanırsa X sıfıra eşit olacak veya (x+9) sıfıra eşit olacaktır.

X= 0 veya X + 9 = 0

Bu ifadelerin her ikisini de sıfıra ayarlayarak denklemin köklerini bulabiliriz. X(x+ 9) = 0. Örnekte görüldüğü gibi ilk kök hemen bulundu. İkinci kökü bulmak için temel denklemi çözmeniz gerekir X+ 9 = 0. Bu denklemin kökünün -9 olduğunu tahmin etmek kolaydır. Kontrol, kökün doğru olduğunu gösterir:

−9 + 9 = 0

Örnek 2. Denklemi çözün

Bu denklemin iki kökü vardır: 1 ve 2. Sol Taraf denklem ifadelerin ürünüdür ( X− 1) ve ( X− 2) . Ve faktörlerden en az biri sıfıra eşitse (veya faktör () ise çarpım sıfıra eşittir. X− 1) veya faktör ( X − 2) ).

Şöyle bir şey bulalım X hangi ifadelerin altında ( X− 1) veya ( X− 2) sıfır olur:

Bulunan değerleri birer birer orijinal denklemde yerine koyuyoruz ve bu değerler için sol tarafın sıfıra eşit olduğundan emin oluyoruz:

Sonsuz sayıda kök olduğunda

Bir denklemin sonsuz sayıda kökü olabilir. Yani böyle bir denklemde herhangi bir sayıyı değiştirerek doğru sayısal eşitliği elde ederiz.

örnek 1. Denklemi çözün

Bu denklemin kökü herhangi bir sayıdır. Denklemin sol tarafındaki parantezleri açıp benzer terimleri toplarsanız 14 = 14 eşitliğini elde edersiniz. Bu eşitlik her durumda elde edilecektir. X

Örnek 2. Denklemi çözün

Bu denklemin kökü herhangi bir sayıdır. Denklemin sol tarafındaki parantezleri açarsanız eşitliği elde edersiniz 10X + 12 = 10X + 12. Bu eşitlik her durumda elde edilecektir. X

Kökler olmadığında

Aynı zamanda denklemin hiçbir çözümü olmadığı, yani kökleri olmadığı da olur. Örneğin denklemin kökleri yoktur, çünkü herhangi bir değer için X eşitliğin sol tarafı sağ tarafına eşit olmayacaktır. Örneğin . O zaman denklem aşağıdaki formu alacaktır

Örnek 2. Denklemi çözün

Eşitliğin sol tarafındaki parantezleri genişletelim:

Benzer terimlere bakalım:

Sol tarafın sağ tarafa eşit olmadığını görüyoruz. Ve bu her değer için geçerli olacaktır. sen. Örneğin, izin ver sen = 3 .

Harf denklemleri

Bir denklem yalnızca değişkenli sayıları değil aynı zamanda harfleri de içerebilir.

Örneğin hızı bulma formülü gerçek bir denklemdir:

Bu denklem, düzgün ivmeli hareket sırasında bir cismin hızını tanımlar.

Yararlı bir beceri, bir harf denkleminde yer alan herhangi bir bileşeni ifade etme yeteneğidir. Örneğin, bir denklemden uzaklığı belirlemek için değişkeni ifade etmeniz gerekir. S .

Denklemin her iki tarafını da şu şekilde çarpın: T

Sağ taraftaki değişkenler T hadi keselim T

Ortaya çıkan denklemde sol ve sağ tarafları değiştiririz:

Daha önce incelediğimiz mesafeyi bulmak için bir formülümüz var.

Denklemden zamanı belirlemeye çalışalım. Bunu yapmak için değişkeni ifade etmeniz gerekir T .

Denklemin her iki tarafını da şu şekilde çarpın: T

Sağ taraftaki değişkenler T hadi keselim T ve elimizde kalanları yeniden yazalım:

Ortaya çıkan denklemde v×t = s her iki parçayı da ikiye bölün v

Soldaki değişkenler v hadi keselim v ve elimizde kalanları yeniden yazalım:

Daha önce incelediğimiz zamanı belirleme formülümüz var.

Tren hızının 50 km/saat olduğunu varsayalım.

v= 50 km/saat

Ve mesafe 100 km

S= 100 kilometre

Daha sonra mektup aşağıdaki formu alacaktır

Bu denklemden zaman bulunabilir. Bunu yapmak için değişkeni ifade edebilmeniz gerekir. T. Bilinmeyen bir bölen bulma kuralını, böleni bölüme bölerek ve böylece değişkenin değerini belirleyerek kullanabilirsiniz. T

veya aynı dönüşümleri kullanabilirsiniz. İlk önce denklemin her iki tarafını da şu şekilde çarpın: T

Daha sonra her iki tarafı da 50'ye bölelim

Örnek 2 X

Denklemin her iki tarafından çıkarma A

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim: B

a + bx = c, o zaman sahip olacağız hazır çözüm. İçine gerekli değerleri koymanız yeterli olacaktır. Harflerin yerine geçecek değerler a, b, c genellikle denir parametreler. Ve formun denklemleri a + bx = c isminde parametrelerle denklem. Parametrelere bağlı olarak kök değişecektir.

2 + 4 denklemini çözelim X= 10. Bir harf denklemine benziyor a + bx = c. Aynı dönüşümleri yapmak yerine hazır bir çözüm kullanabiliriz. Her iki çözümü de karşılaştıralım:

İkinci çözümün çok daha basit ve kısa olduğunu görüyoruz.

Hazır bir çözüm için küçük bir açıklama yapmak gerekiyor. Parametre B sıfıra eşit olmamalıdır (b ≠ 0), çünkü sıfıra bölmeye izin veriliyor.

Örnek 3. Gerçek bir denklem verilmiştir. Bu denklemden ifade edin X

Denklemin her iki tarafındaki parantezleri açalım

Terimlerin aktarımını kullanalım. Değişken içeren parametreler X, denklemin sol tarafında ve bu değişkenden bağımsız parametreleri sağda gruplandırıyoruz.

Sol tarafta parantez içindeki faktörü çıkarıyoruz X

Her iki tarafı da ifadeye bölelim a−b

Sol tarafta pay ve payda şu şekilde azaltılabilir: a−b. Değişken nihayet bu şekilde ifade edilir X

Şimdi, formun bir denklemiyle karşılaşırsak a(x − c) = b(x + d), o zaman hazır bir çözümümüz olacak. İçine gerekli değerleri koymanız yeterli olacaktır.

Diyelim ki bize bir denklem verildi 4(x− 3) = 2(X+ 4) . Bu bir denklem gibi a(x − c) = b(x + d). Bunu iki şekilde çözelim: aynı dönüşümleri kullanarak ve hazır bir çözüm kullanarak:

Kolaylık sağlamak için bunu denklemden çıkaralım 4(x− 3) = 2(X+ 4) parametre değerleri A, B, C, D . Bu, aşağıdakileri değiştirirken hata yapmamamızı sağlayacaktır:

Önceki örnekte olduğu gibi buradaki payda sıfıra eşit olmamalıdır ( a - b ≠ 0). Eğer formun bir denklemiyle karşılaşırsak a(x − c) = b(x + d) parametrelerin bulunduğu A Ve B aynı olacaksa, çözmeden bu denklemin kökleri olmadığını söyleyebiliriz, çünkü fark aynı sayılar sıfıra eşittir.

Örneğin, denklem 2(x − 3) = 2(x + 4) formun bir denklemidir a(x − c) = b(x + d). Denklemde. 2(x − 3) = 2(x + 4) seçenekler A Ve B aynısı. Çözmeye başlarsak sol tarafın sağ tarafa eşit olmayacağı sonucuna varırız:

Örnek 4. Gerçek bir denklem verilmiştir. Bu denklemden ifade edin X

Denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Her iki tarafı da çarpın A

Sol tarafta X parantezlerin dışına çıkaralım

Her iki tarafı da (1 −) ifadesine bölün A)

Bir bilinmeyenli doğrusal denklemler

Bu derste tartışılan denklemlere denir birinci dereceden bir bilinmeyenli doğrusal denklemler.

Denklem birinci derecede verilmişse, bilinmeyene bölünmeyi içermiyorsa ve bilinmeyenden kökler içermiyorsa doğrusal denilebilir. Henüz güçleri ve kökleri incelemedik, bu yüzden hayatımızı karmaşıklaştırmamak için "doğrusal" kelimesini "basit" olarak anlayacağız.

Bu derste çözülen denklemlerin çoğu, sonuçta, çarpımı bilinen bir faktöre bölmeniz gereken basit bir denklem haline geldi. Örneğin, bu denklem 2'dir( X+ 3) = 16 . Hadi çözelim.

Denklemin sol tarafındaki parantezleri açalım, 2 elde edelim X+ 6 = 16. 6. terimi sağa kaydırıp işaretini değiştirelim. O zaman 2 alıyoruz X= 16 − 6. Sağ tarafı hesaplarsak 2 elde ederiz X= 10. Bulmak X, çarpım 10'u bilinen faktör 2'ye bölün. Dolayısıyla X = 5.

Denklem 2( X+ 3) = 16 doğrusaldır. Denklem 2'ye geliyor X= 10, çarpımı bilinen bir faktöre bölmenin gerekli olduğu kökü bulmak için. Bu en basit denklem denir birinci dereceden bir bilinmeyenli doğrusal denklemin kanonik biçimde. "Kanonik" kelimesi "basit" veya "normal" kelimeleri ile eş anlamlıdır.

Kanonik formda bir bilinmeyenli birinci dereceden doğrusal denkleme form denklemi denir balta = b.

Ortaya çıkan denklemimiz 2 X= 10, kanonik biçimde bir bilinmeyenli birinci dereceden doğrusal bir denklemdir. Bu denklem birinci derece, bir bilinmeyene sahiptir, bilinmeyene bölünmeyi içermez ve bilinmeyenden kökler içermez ve kanonik formda yani değerin kolayca belirlenebileceği en basit formda sunulur. X. Parametreler yerine A Ve B denklemimiz 2 ve 10 sayılarını içeriyor. Ancak böyle bir denklem başka sayıları da içerebilir: pozitif, negatif veya sıfıra eşit.

Doğrusal bir denklemde ise A= 0 ve B= 0 ise denklemin sonsuz sayıda kökü vardır. Gerçekten eğer A sıfıra eşit ve B sıfıra eşitse doğrusal denklem balta= B 0 formunu alacak X= 0. Herhangi bir değer için X sol taraf sağ tarafa eşit olacaktır.

Doğrusal bir denklemde ise A= 0 ve B≠ 0 ise denklemin kökleri yoktur. Gerçekten eğer A sıfıra eşit ve B sıfıra eşit olmayan bir sayıya eşittir, örneğin 5 sayısı, sonra denklem balta = b 0 formunu alacak X= 5. Sol taraf sıfır, sağ taraf ise beş olacaktır. Ve sıfır beşe eşit değil.

Doğrusal bir denklemde ise A≠ 0 ve B herhangi bir sayıya eşitse denklemin bir kökü vardır. Parametrenin bölünmesiyle belirlenir B parametre başına A

Gerçekten eğer A sıfır olmayan bir sayıya eşit, örneğin 3 sayısı ve B bir sayıya eşitse, diyelim ki 6 sayısı, o zaman denklem şu şekli alacaktır:
Buradan.

Başka bir kayıt şekli var Doğrusal Denklem bir bilinmeyenle birinci derece. Şuna benziyor: ax−b= 0. Bu aynı denklemdir balta = b

Dersi beğendin mi?
Bize katılın yeni Grup VKontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başlayın