Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzeri bir teşvike katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, dava ve/veya kamuya açık talepler veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizin ifşa edilmesi. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf haleflere aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizin şirket düzeyinde korunması

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik uygulamalarımızı çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bu matematik programı ile ikili sistemi çözebilirsiniz doğrusal denklemler iki değişkenli, ikame yöntemi ve toplama yöntemi.

Program yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda yol gösteriyor detaylı çözümçözüm adımlarının açıklamaları iki şekilde: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

Bu program lise öğrencilerine hazırlık aşamasında faydalı olabilir. kontrol işi ve sınavlar, sınav öncesi bilgilerini test ederken, ebeveynler matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmelidir. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematik mi cebir mi? Bu durumda detaylı çözüm sunan programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu şekilde kendi eğitiminizi yürütebilir ve/veya eğitimlerinizi gerçekleştirebilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, çözülen görevler alanındaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Denklem girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) vb.

Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir. Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır.
Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2

Denklemlerde yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda ondalık ve sıradan kesirler biçimindeki kesirli sayıları da kullanabilirsiniz.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Tam sayı ve kesirli kısım ondalık kesirler nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Tamsayı kısmı kesirden bir ve işaretiyle ayrılır: &

Örnekler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Bu görevi çözmek için gereken bazı komut dosyalarının yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunun çözülmesini isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye sonra çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konu hakkında yazabilirsiniz .
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Biraz teori.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. İkame yöntemi

Bir doğrusal denklem sistemini ikame yöntemiyle çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$

İlk denklemden y'den x'e kadar ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$

Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

y=7-3x denkleminde x yerine 1 sayısını yazarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Çift (1;4) - sistemin çözümü

Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.

Doğrusal denklem sistemlerini toplayarak çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu düşünün - toplama yöntemi. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yöntemiyle çözerken, belirli bir sistemden, denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği, ona eşdeğer başka bir sisteme geçiyoruz.

Bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemiyle çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayıları olacak şekilde faktörleri seçerek sistem terimi terimlerini terimle çarpın zıt sayılar;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ kısımlarına terim terim ekleyin;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.

Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ kısımlarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 bir denklem elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38 \) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38 \) değişkenini içeren bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Böylece denklem sisteminin çözümünü şunu ekleyerek bulduk: \(x=11; y=-9 \) veya \((11; -9) \)

Sistemin denklemlerindeki y'nin katsayılarının zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak, çözümünü eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik (orijinal simetrinin denklemlerinin her birinin her iki parçasını toplayarak), ki burada biri Denklemlerin sadece bir değişkeni vardır.

Talimat

Ekleme yöntemi.
Kesinlikle birbirinin altına iki tane yazmanız gerekir:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Rastgele seçilen (sistemden) bir denklemde, halihazırda bulunan "oyun" yerine 11 sayısını ekleyin ve ikinci bilinmeyeni hesaplayın:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu denklem sisteminin cevabı: x=116, y=11.

Grafik yolu.
Denklem sisteminde çizgilerin matematiksel olarak yazıldığı noktanın koordinatlarının pratik olarak bulunmasından oluşur. Her iki doğrunun grafiğini ayrı ayrı aynı koordinat sisteminde çizmelisiniz. Genel görünüm: - y \u003d kx + b. Düz bir çizgi oluşturmak için iki noktanın koordinatlarını bulmak yeterlidir ve x keyfi olarak seçilir.
Sistem verilsin: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
İlkine göre düz bir çizgi inşa edilmiştir, kolaylık sağlamak için yazılması gerekir: y \u003d 2x-4. X için (daha kolay) değerler bulun, bunu denklemde yerine koyun, çözün, y'yi bulun. Düz bir çizginin oluşturulduğu iki nokta elde edilir. (resme bakınız)
x 0 1

y -4 -2
İkinci denkleme göre düz bir çizgi inşa edilir: y \u003d -3x + 1.
Ayrıca bir çizgi oluşturun. (resme bakınız)

1-5
Grafikteki iki oluşturulmuş çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (eğer çizgiler kesişmiyorsa, denklem sisteminde böyle bir şey yoktur).

İlgili videolar

Yararlı tavsiye

Aynı denklem sistemi üç denklemle çözülürse Farklı yollar, cevap aynı olacaktır (eğer çözüm doğruysa).

Kaynaklar:

• Cebir 8. Sınıf
• iki bilinmeyenli denklemi çevrimiçi çözme
• İkili doğrusal denklem sistemlerini çözme örnekleri

Sistem denklemler bir koleksiyon matematiksel gösterim, her biri bir dizi değişken içerir. Bunları çözmenin birkaç yolu vardır.

İhtiyacın olacak

• -Cetvel ve kalem;
• -hesap makinesi.

Talimat

Şu formdaki doğrusal denklemlerden oluşan sistemin çözüm sırasını düşünün: a1x + b1y = c1 ve a2x + b2y = c2. Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir ve b,c serbest üyelerdir. Bu yöntemi uygularken her sistem, her denkleme karşılık gelen noktaların koordinatlarıdır. Öncelikle her durumda bir değişkeni diğerine göre ifade edin. Daha sonra x değişkenini istediğiniz sayıda değere ayarlayın. İki tanesi yeterli. Denklemi yerine koy ve y'yi bul. Bir koordinat sistemi oluşturun, alınan noktaları üzerine işaretleyin ve aralarından düz bir çizgi çizin. Sistemin diğer kısımları için de benzer hesaplamaların yapılması gerekmektedir.

Oluşturulan doğruların kesişmesi ve tek bir ortak noktaya sahip olması durumunda sistemin benzersiz bir çözümü vardır. Birbirine paralel olması tutarsızdır. Ve doğrular birbiriyle birleştiğinde sonsuz sayıda çözümü olur.

Bu yöntemin çok açık olduğu düşünülmektedir. En büyük dezavantajı hesaplanan bilinmeyenlerin yaklaşık değerlere sahip olmasıdır. Daha doğru bir sonuç, sözde cebirsel yöntemlerle verilir.

Bir denklem sisteminin herhangi bir çözümü kontrol edilmeye değerdir. Bunu yapmak için değişkenler yerine elde edilen değerleri değiştirin. Çözümünü çeşitli şekillerde de bulabilirsiniz. Sistemin çözümü doğruysa herkesin aynı çıkması gerekir.

Genellikle terimlerden birinin bilinmediği denklemler vardır. Bir denklemi çözmek için bu sayıları hatırlamanız ve bunlarla belirli bir dizi eylem yapmanız gerekir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - Kalem veya kurşun kalem.

Talimat

Önünüzde 8 tavşanınız olduğunu ve yalnızca 5 havucunuzun olduğunu hayal edin. Her tavşanın bir havuç alması için daha fazla havuç almanız gerektiğini düşünün.

Bu problemi bir denklem şeklinde ifade edelim: 5 + x = 8. x'in yerine 3 sayısını koyalım, aslında 5 + 3 = 8.

X'in yerine bir sayı koyduğunuzda, 8'den 5 çıkarmakla aynı işlemi yapıyordunuz. Bilinmeyen terim, bilinen terimi toplamdan çıkarın.

Diyelim ki 20 tavşanınız ve sadece 5 havucunuz var. Hadi oluşturalım. Denklem, içinde yer alan harflerin yalnızca belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Değerini bulmak istediğiniz harfler çağrılır. Bir bilinmeyenli bir denklem yazın, buna x adını verin. Tavşanlarla ilgili problemimizi çözerken şu denklem elde edilir: 5 + x = 20.

20 ile 5 arasındaki farkı bulalım. Çıkarma yaparken, çıkarıldığı sayı azalır. Çıkarılan sayıya denir son sonuç fark denir. Yani x = 20 - 5; x = 15. Tavşanlar için 15 adet havuç almanız gerekmektedir.

Bir kontrol yapın: 5 + 15 = 20. Denklem doğrudur. Tabii iş bu kadar basit olunca kontrole gerek kalmıyor. Ancak üç basamaklı, dört basamaklı vb. denklemler söz konusu olduğunda, çalışmanızın sonucundan kesinlikle emin olmak için kontrol etmeniz zorunludur.

İlgili videolar

Yararlı tavsiye

Bilinmeyen eksiyi bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.

Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı çıkandan çıkarmak gerekir.

İpucu 4: Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem nasıl çözülür?

Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemin, yeterli sayıda denklem olmasına rağmen çözümleri olmayabilir. Değiştirme yöntemini veya Cramer yöntemini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz. Cramer yöntemi, sistemi çözmenin yanı sıra, bilinmeyenlerin değerlerini bulmadan önce sistemin çözülebilir olup olmadığının değerlendirilmesine olanak tanır.

Talimat

İkame yöntemi, sırasıyla bir bilinmeyenden diğer iki bilinmeyene ve elde edilen sonucun sistemin denklemlerinde yerine konulmasından oluşur. Üç denklemden oluşan bir sistem verilsin Genel görünüm:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

İlk denklemdeki x'i ifade edin: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun, ardından ikinci denklemde y'yi ifade edin ve üçüncüde yerine koyun. Sistem denklemlerinin katsayıları aracılığıyla z için doğrusal bir ifade elde edeceksiniz. Şimdi "geri" gidin: z'yi ikinci denklemde yerine koyun ve y'yi bulun, ardından z ve y'yi ilk denklemde yerine koyun ve x'i bulun. z bulunana kadar olan süreç genel olarak şekilde gösterilmektedir. Dahası, genel formdaki kayıt çok hantal olacaktır, pratikte yerine koyarak üç bilinmeyeni de kolayca bulabilirsiniz.

Cramer'in yöntemi, sistemin matrisini derlemek ve bu matrisin determinantının yanı sıra üç yardımcı matrisin daha hesaplanmasından oluşur. Sistemin matrisi denklemlerin bilinmeyen terimlerindeki katsayılardan oluşur. Denklemlerin sağ tarafındaki sayıların bulunduğu sütun, sağ taraftaki sütun. Sistemde kullanılmaz ancak sistem çözümünde kullanılır.

İlgili videolar

Not

Sistemdeki tüm denklemler diğer denklemlerden bağımsız olarak ek bilgi sağlamalıdır. Aksi takdirde sistem eksik belirlenecek ve kesin bir çözüm bulmak mümkün olmayacaktır.

Yararlı tavsiye

Denklem sistemini çözdükten sonra bulunan değerleri yerine koyun orijinal sistem ve tüm denklemleri karşıladıklarını kontrol edin.

Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.

İhtiyacın olacak

• - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Talimat

Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeyi ve bunları yerine yerleştirmeyi deneyin. denklemüç ile Bilinmeyen. Bununla amacınız bunu normale dönüştürmek denklem bilinmeyenle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.

Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda azaltılması için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa kullanın, büyük olasılıkla sonraki karar zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken çarpmanız gerektiğini unutmayın. Sol Taraf ve aynı zamanda doğru olanı. Benzer şekilde, denklemleri çıkarırken şunu unutmayın: sağ kısım da çıkarılması gerekir.

Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, şunu kullanın: genel anlamdaÜçlü herhangi bir denklemin çözümleri Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x'te katsayılardan oluşan bir matris (A), bilinmeyenlerden oluşan bir matris (X) ve serbest olanlardan oluşan bir matris (B) yapın. Dikkat edin, katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarparak bir matris, serbest üyelerin bir matrisi, yani A * X \u003d B elde edeceksiniz.

A matrisinin (-1) üssünü bulduktan sonra sıfıra eşit olmaması gerektiğini unutmayın. Bundan sonra, elde edilen matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini elde edeceksiniz.

Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistemin matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kaynaklar:

• üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri

Bir denklem sistemini çözmeye başlayın, bu denklemlerin ne olduğunu bulun. Doğrusal denklemleri çözme yöntemleri iyi incelenmiştir. Doğrusal olmayan denklemler çoğunlukla çözülmez. Her biri pratik olarak bireysel olan yalnızca bir özel durum vardır. Bu nedenle çözüm yöntemlerinin incelenmesi doğrusal denklemlerle başlamalıdır. Bu tür denklemler tamamen algoritmik olarak bile çözülebilir.

Talimat

İki bilinmeyenli X ve Y içeren iki doğrusal denklem sistemini eleme yoluyla nasıl çözeceğinizi öğrenerek öğrenme sürecine başlayın. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Denklemlerin katsayıları konumlarını gösteren indekslerle gösterilir. Yani a21 katsayısı ilk etapta ikinci denklemde yazıldığını vurguluyor. Genel olarak kabul edilen gösterimde sistem, sağda veya solda küme paranteziyle ortaklaşa gösterilen, birbirinin altında bulunan denklemlerle yazılır (daha fazla ayrıntı için bkz. Şekil 1a).

Denklemlerin numaralandırılması keyfidir. Değişkenlerden birinin önünde 1 çarpanı veya en azından bir tamsayı bulunan en basit olanı seçin. Eğer bu denklem (1) ise, o zaman diyelim ki bilinmeyen Y'yi X cinsinden ifade edin (Y'nin ortadan kaldırılması durumu). Bunu yapmak için, (1)'i a12*Y=b1-a11*X (veya X hariç tutuluyorsa a11*X=b1-a12*Y)) biçimine dönüştürün ve ardından Y=(b1-a11*X)/a12 . İkincisini denklem (2)'de yerine koyarsak, a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2 yazın. Bu denklemi X için çözün.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) veya X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Y ve X arasında bulunan ilişkiyi kullanarak, son olarak ikinci bilinmeyen Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21) değerini elde edin.

Sistem belirli sayısal katsayılarla verilmiş olsaydı, hesaplamalar daha az hantal olurdu. Öte yandan genel çözüm, bulunan bilinmeyenler için bunların tamamen aynı olduğu gerçeğini dikkate almayı mümkün kılar. Evet ve paylar, yapılarının bazı kalıplarını görebilir. Denklem sisteminin boyutu ikiden büyük olsaydı, yok etme yöntemi çok hantal hesaplamalara yol açacaktı. Bunlardan kaçınmak için tamamen algoritmik çözümler geliştirilmiştir. Bunlardan en basiti Cramer algoritmasıdır (Cramer formülleri). Çünkü bilmelisin genel sistem n denklemden denklemler.

n bilinmeyenli n doğrusal cebirsel denklem sistemi şu şekle sahiptir (bkz. Şekil 1a). İçinde aij sistemin katsayılarıdır,
хj – bilinmeyenler, bi – serbest üyeler (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Böyle bir sistem kompakt bir şekilde AX=B matris formunda yazılabilir. Burada A sistemin katsayı matrisidir, X bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B serbest terimlerin sütun matrisidir (bkz. Şekil 1b). Cramer'in yöntemine göre her bilinmeyen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Katsayılar matrisinin determinantına ∆ ana determinant, ∆i'ye yardımcı denir. Her bilinmeyen için, ana determinantın i'inci sütununun serbest üyelerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle bir yardımcı determinant bulunur. İkinci ve üçüncü dereceden sistemler için Cramer yöntemi Şekil 1'de ayrıntılı olarak sunulmaktadır. 2.

Sistem, her biri iki veya daha fazla bilinmeyene sahip iki veya daha fazla eşitliğin birleşimidir. Çerçevede kullanılan doğrusal denklem sistemlerini çözmenin iki ana yolu vardır. Okul müfredatı. Bunlardan birine yöntem denir, diğerine ise toplama yöntemi.

İki denklemli bir sistemin standart formu

Sistemin toplama yöntemiyle çözümü

Örneğin iki denklemden oluşan bir sistem verilsin. Bunlardan birincisi 2x+4y=8 biçiminde, ikincisi ise 6x+2y=6 biçimindedir. Görevi tamamlama seçeneklerinden biri, ikinci denklemi -2 faktörüyle çarpmaktır, bu da onu -12x-4y=-12 formuna götürecektir. Doğru seçim katsayı, sistemin tamamını belirlediği için toplama yöntemiyle çözme sürecindeki temel görevlerden biridir. daha fazla hareket Bilinmeyenleri bulma prosedürleri.

Şimdi sistemin iki denklemini eklemek gerekiyor. Açıkçası, değer olarak eşit fakat işaret katsayıları zıt olan değişkenlerin karşılıklı yok edilmesi onu -10x=-4 formuna götürecektir. Bundan sonra, x=0,4 sonucunun açıkça ortaya çıktığı bu basit denklemi çözmek gerekir.

Çözüm sürecindeki son adım, değişkenlerden birinin bulunan değerinin sistemdeki mevcut başlangıç ​​eşitliklerinden herhangi biriyle değiştirilmesidir. Örneğin, ilk denklemde x=0,4 yerine 2*0,4+4y=8 ifadesini elde edebilirsiniz; buradan y=1,8 elde edilir. Dolayısıyla x=0,4 ve y=1,8 örnekte gösterilen sistemin kökleridir.

Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için bulunan değerleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak kontrol etmekte fayda vardır. Örneğin bu durumda 0,4 * 6 + 1,8 * 2 = 6 şeklinde bir eşitlik elde edilir ki bu doğrudur.

İlgili videolar

İki bilinmeyenli doğrusal denklem kavramına zaten aşinayız. Denklemler bir problemde tek tek veya birden fazla denklemde aynı anda mevcut olabilir. Bu gibi durumlarda denklemler bir denklem sistemi halinde birleştirilir.

Doğrusal denklem sistemi nedir

Denklem sistemi tüm ortak çözümlerinin bulunması gereken iki veya daha fazla denklemdir. Genellikle bir denklem sistemi yazmak için bunlar bir sütuna yazılır ve ortak bir küme parantezi çizilir. Lineer denklem sistemi aşağıda yazılmıştır.

(4x + 3y = 6
( 2x + y = 4

Bu kayıt, iki değişkenli, iki denklemden oluşan bir sistemin verildiği anlamına gelir. Eğer sistemde üç denklem olsaydı, o zaman üç denklemli bir sistem olurdu. Ve böylece herhangi bir sayıda denklem için.

Sistemde bulunan tüm denklemler doğrusal ise, o zaman bir doğrusal denklem sisteminin verildiğini söylerler. Yukarıdaki örnekte, iki doğrusal denklemden oluşan bir sistem sunulmuştur. Yukarıda belirtildiği gibi sistemin genel çözümleri olabilir. Aşağıda "genel çözüm" terimini tartışacağız.

Çözüm nedir?

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemin çözümü, bir (x, y) sayı çiftidir; öyle ki, bu sayılar sistemin denklemlerinde yerine konulursa, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür.

Örneğin iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemimiz var. İlk denklemin çözümü, bu denklemi sağlayan tüm sayı çiftleri olacaktır.

İkinci denklemin çözümü bu denklemi sağlayan sayı çiftleri olacaktır. Hem birinci hem de ikinci denklemi sağlayan bir sayı çifti varsa, bu sayı çifti, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin çözümü olacaktır.

Grafik çözümü

Grafiksel olarak, bir doğrusal denklemin çözümü, düzlemdeki bir doğrunun tüm noktalarıdır.

Bir doğrusal denklem sistemi için birkaç doğrumuz olacaktır (denklem sayısına göre). Ve denklem sisteminin çözümü TÜM çizgilerin kesiştiği nokta olacaktır. Eğer böyle bir nokta yoksa sistemin çözümü de olmayacaktır. Tüm doğruların kesiştiği nokta bu doğruların her birine ait olduğundan çözüme genel denir.

Bu arada sistemin denklemlerini çizip bulmak ortak nokta Bu bir denklem sistemini çözmenin bir yoludur. Bu yönteme grafik denir.

Doğrusal Denklemleri Çözmenin Diğer Yolları

İki değişkenli doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka yolları da vardır. İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için temel yöntemler.

Denklem sistemleri ekonomi endüstrisinde çeşitli süreçlerin matematiksel modellenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretim yönetimi ve planlaması, lojistik rotaları (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.

Denklem sistemleri sadece matematik alanında değil aynı zamanda fizik, kimya ve biyoloji alanlarında da popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerinin çözümünde kullanılmaktadır.

Doğrusal denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklem için kullanılan bir terimdir. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya bu dizinin var olmadığını kanıtlayan böyle bir sayı dizisi.

Doğrusal Denklem

ax+by=c formundaki denklemlere doğrusal denir. X, y isimleri, değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Denklemin grafiğini çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgiye benzeyecektir.

Doğrusal denklem sistemi türleri

En basitleri, X ve Y iki değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin örnekleridir.

F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.

Bir denklem sistemini çözme - sistemin gerçek bir eşitlik haline geldiği değerleri (x, y) bulmak veya uygun x ve y değerlerinin olmadığını tespit etmek anlamına gelir.

Nokta koordinatları olarak yazılan bir değer çiftine (x, y), doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.

Sistemlerin tek bir ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.

Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. Eşittir işaretinden sonra gelen sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem homojen değildir.

Değişken sayısı ikiden çok daha fazla olabiliyorsa, üç veya daha fazla değişkenli bir doğrusal denklem sistemi örneğinden bahsetmemiz gerekir.

Sistemlerle karşı karşıya kalan okul çocukları, denklem sayısının mutlaka bilinmeyenlerin sayısıyla örtüşmesi gerektiğini varsayarlar, ancak bu böyle değildir. Sistemdeki denklemlerin sayısı değişkenlere bağlı değildir, keyfi olarak çok sayıda olabilir.

Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler

Bu tür sistemleri çözmenin genel bir analitik yolu yoktur, tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. İÇİNDE okul kursu matematik, permütasyon, cebirsel toplama, yerine koyma gibi yöntemlerin yanı sıra grafiksel ve matris yöntemi Gauss yöntemiyle çözüm.

Çözme yöntemlerinin öğretilmesindeki asıl görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Önemli olan, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi uygulamanın ilkelerini anlamaktır.

Programın 7. sınıfının doğrusal denklem sistemleri örneklerini çözme ortaokul oldukça basit ve detaylı bir şekilde anlatılmış. Matematikle ilgili herhangi bir ders kitabında bu bölüme yeterince önem verilmektedir. Doğrusal denklem sistemi örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözümü, yüksek öğretim kurumlarının ilk derslerinde daha ayrıntılı olarak incelenmektedir.

Sistemlerin ikame yöntemiyle çözümü

İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikincisi aracılığıyla ifade etmeyi amaçlamaktadır. İfade kalan denklemde yerine konulur, ardından tek değişkenli forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyenlerin sayısına bağlı olarak eylem tekrarlanır.

Değiştirme yöntemiyle 7. sınıfın doğrusal denklem sistemine bir örnek verelim:

Örnekte görüldüğü gibi x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Sonuçta sistemin 2. denkleminde X yerine yazılan ifade, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Çözüm bu örnek zorluk yaratmaz ve Y değerini almanızı sağlar. Son adım bu alınan değerlerin bir testidir.

Bir doğrusal denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkenin ikinci bilinmeyen cinsinden ifadesi daha sonraki hesaplamalar için çok zahmetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda ikame çözümü de pratik değildir.

Doğrusal homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:

Cebirsel toplama kullanarak çözüm

Toplama yöntemiyle sistemlere çözüm aranırken, terim terim toplama ve denklemlerin çeşitli sayılarla çarpılması gerçekleştirilir. Matematiksel işlemlerin nihai amacı tek değişkenli bir denklemdir.

Bu yöntemin uygulamaları pratik ve gözlem gerektirir. Değişken sayısı 3 veya daha fazla olan bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemiyle çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.

Çözüm eylemi algoritması:

1. Denklemin her iki tarafını bir sayıyla çarpın. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
2. Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
3. Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.

Yeni bir değişken getirerek çözüm yöntemi

Sistemin en fazla iki denklem için çözüm bulması gerekiyorsa yeni bir değişken eklenebilir, bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.

Yöntem, yeni bir değişken ekleyerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem girilen bilinmeyene göre çözülür ve elde edilen değer orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.

Örnekte, yeni bir t değişkeninin eklenmesiyle sistemin 1. denkleminin standart bir kare trinomiyele indirgenmesinin mümkün olduğu görülmektedir. Bir polinomu diskriminantını bularak çözebilirsiniz.

Diskriminantın değerini iyi bilinen formülü kullanarak bulmak gerekir: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen diskriminanttır, b, a, c polinomun çarpanlarıdır. Verilen örnekte a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, diskriminant sıfırdan küçükse tek çözüm vardır: x= -b / 2*a.

Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemiyle bulunur.

Sistemleri çözmek için görsel bir yöntem

3 denklemli sistemlere uygundur. Yöntem, sistemde yer alan her denklemin grafiğinin koordinat ekseninde çizilmesinden oluşur. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları ve ortak çözüm sistemler.

Grafik yönteminin bir takım nüansları vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğini düşünün.

Örnekten görülebileceği gibi her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. X değerlerine göre y değerleri bulundu: 3 ve 0. Grafikte koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar işaretlendi ve bir çizgiyle birbirine bağlandı.

İkinci denklem için adımların tekrarlanması gerekir. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.

Aşağıdaki örneğin bulunması gerekiyor grafik çözümü doğrusal denklem sistemleri: 0,5x-y+2=0 ve 0,5x-y-1=0.

Örnekte görüldüğü gibi grafiklerin paralel olması ve tüm uzunlukları boyunca kesişmemesi nedeniyle sistemin çözümü yoktur.

Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir ancak oluşturulduklarında çözümlerinin farklı olduğu aşikar hale gelir. Unutulmamalıdır ki sistemin bir çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir, her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.

Matris ve çeşitleri

Matrisler şunun için kullanılır: kısaltma Doğrusal denklem sistemleri. Tabloya matris denir. özel çeşit sayılarla dolu. n*m'de n satır ve m sütun bulunur.

Sütun ve satır sayıları eşit olduğunda bir matris karedir. Matris vektörü, sonsuz sayıda satıra sahip tek sütunlu bir matristir. Köşegenlerden biri boyunca birimler ve diğer sıfır elemanlar içeren bir matrise birim denir.

Ters bir matris, orijinal olanın bir birime dönüştüğü çarpıldığında böyle bir matristir, böyle bir matris yalnızca orijinal kare olan için mevcuttur.

Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları

Denklem sistemlerinde denklemlerin katsayıları ve serbest üyeleri matrisin sayısı olarak yazılır, bir denklem matrisin bir satırıdır.

Satırın en az bir elemanı sıfıra eşit değilse, matris satırı sıfır olmayan olarak adlandırılır. Bu nedenle denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.

Matrisin sütunları değişkenlere tam olarak karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabildiği anlamına gelir; örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikincisinde.

Bir matris çarpılırken matrisin tüm elemanları art arda bir sayıyla çarpılır.

Ters matrisi bulma seçenekleri

Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 - ters matris, ve |K| - matris determinantı. |K| sıfıra eşit olmaması durumunda sistemin bir çözümü vardır.

Determinant ikiye iki matris için kolayca hesaplanır, yalnızca elemanları birbirleriyle çapraz olarak çarpmak gerekir. "Üçe üç" seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formülü vardır. 3 + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya elemanların sütun ve satır numaralarının üründe tekrarlanmaması için her satırdan ve her sütundan bir eleman almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.

Doğrusal denklem sistemi örneklerinin matris yöntemiyle çözümü

Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, sistemleri çözerken hantal gösterimleri azaltmayı mümkün kılar. büyük miktar değişkenler ve denklemler.

Örnekte, bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir vektördür x n değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.

Sistemlerin Gauss yöntemiyle çözümü

İÇİNDE yüksek Matematik Gauss yöntemi Cramer yöntemi ile birlikte çalışılır ve sistemlere çözüm bulma sürecine Gauss-Cramer çözüm yöntemi adı verilir. Bu yöntemler, çok sayıda doğrusal denklem içeren sistemlerin değişkenlerini bulmak için kullanılır.

Gauss yöntemi, yerine koyma ve cebirsel toplama çözümlerine çok benzer ancak daha sistematiktir. Okul dersinde 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss çözümü kullanılır. Yöntemin amacı sistemi ters yamuk formuna getirmektir. Cebirsel dönüşümler ve ikameler yoluyla, sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem sırasıyla 2 bilinmeyenli ve 3 ve 4 - 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.

Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde sıralı olarak yer değiştirmesine indirgenir.

7. sınıf okul ders kitaplarında Gauss çözümünün bir örneği şu şekilde anlatılmaktadır:

Örnekten görülebileceği gibi (3) adımında 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7 olmak üzere iki denklem elde edildi. Denklemlerden herhangi birinin çözümü, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.

Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtmektedir.

Gauss yöntemini öğrencilerin anlaması zordur lise, ama en çok biri ilginç yollar matematik ve fizik derslerinde derinlemesine bir çalışma programına kayıtlı çocukların yaratıcılıklarını geliştirmek.

Hesaplamaları kaydetme kolaylığı için aşağıdakileri yapmak gelenekseldir:

Denklem katsayıları ve serbest terimler, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. Denklemin sol tarafını sağ tarafından ayırır. Romen rakamları sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.

Önce çalışacakları matrisi, ardından satırlardan biriyle gerçekleştirilen tüm eylemleri yazarlar. Ortaya çıkan matris "ok" işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemler yapılmaya devam edilir.

Sonuç olarak köşegenlerden birinin 1 olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin tek bir forma indirgendiği bir matris elde edilmelidir. Denklemin her iki tarafındaki rakamlarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.

Bu gösterim daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmasına izin vermez.

Herhangi bir çözüm yönteminin ücretsiz uygulanması, özen ve belli miktarda deneyim gerektirecektir. Tüm yöntemler uygulanmaz. Belirli bir insan faaliyeti alanında çözüm bulmanın bazı yolları daha çok tercih edilirken, diğerleri öğrenme amacıyla mevcuttur.