Üstel eşitsizlikler grafik yöntemi. Üstel eşitsizlikleri çözme: temel yöntemler

Üstel denklemler ve eşitsizlikler, bilinmeyenin üste dahil edildiği denklemler ve eşitsizliklerdir.

Üstel denklemlerin çözümü genellikle a x \u003d a b denkleminin çözülmesine gelir; burada a > 0, a ≠ 1, x bir bilinmeyendir. Aşağıdaki teorem doğru olduğundan bu denklemin tek bir kökü x \u003d b vardır:

Teorem. a > 0, a ≠ 1 ve a x 1 = a x 2 ise, x 1 = x 2 olur.

Ele alınan iddiayı gerekçelendirelim.

Varsayalım ki x 1 = x 2 eşitliği sağlanmıyor; x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, o zaman üstel fonksiyon y \u003d a x artar ve dolayısıyla a x 1 eşitsizliği< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >bir x 2. Her iki durumda da a x 1 = a x 2 koşuluyla bir çelişki elde ettik.

Birkaç görevi ele alalım.

4 ∙ 2 x = 1 denklemini çözün.

Çözüm.

Denklemi şu şekilde yazıyoruz: 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.

Cevap. x = -2.

Denklem 2 3x ∙ 3 x = 576'yı çözün.

Çözüm.

2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2 olduğundan, denklem 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 veya 24 x \u003d 24 2 biçiminde yazılabilir.

Buradan x = 2 elde ederiz.

Cevap. x = 2.

3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25 denklemini çözün.

Çözüm.

Sol tarafta 3 x - 2 ortak faktörünü parantez içine alarak 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25 elde ederiz,

dolayısıyla 3 x - 2 = 1, yani. x - 2 = 0, x = 2.

Cevap. x = 2.

3 x = 7 x denklemini çözün.

Çözüm.

7 x ≠ 0 olduğundan denklem 3 x / 7 x = 1 şeklinde yazılabilir, dolayısıyla (3/7) x = 1, x = 0 olur.

Cevap. x = 0.

9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0 denklemini çözün.

Çözüm.

3 x \u003d a'nın değiştirilmesiyle, bu denklem ikinci dereceden bir a 2 - 4a - 45 \u003d 0 denklemine indirgenir.

Bu denklemi çözerek köklerini buluyoruz: a 1 \u003d 9 ve 2 \u003d -5, buradan 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.

3 x = 9 denkleminin 2 kökü vardır ve 3 x = -5 denkleminin kökleri yoktur, çünkü üstel fonksiyon negatif değerler.

Cevap. x = 2.

Üstel eşitsizliklerin çözümü genellikle a x > a b veya a x eşitsizliklerinin çözülmesine indirgenir< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Bazı görevleri ele alalım.

3 x eşitsizliğini çözün< 81.

Çözüm.

Eşitsizliği 3 x şeklinde yazıyoruz< 3 4 . Так как 3 >1, o zaman y \u003d 3 x fonksiyonu artıyor.

Bu nedenle x için< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Böylece x için< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Cevap. X< 4.

16 x +4 x - 2 > 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

4 x = t'yi belirtirsek ikinci dereceden t2 + t - 2 > 0 eşitsizliğini elde ederiz.

Bu eşitsizlik t için geçerlidir< -2 и при t > 1.

t = 4 x olduğundan iki eşitsizlik elde ederiz: 4 x< -2, 4 х > 1.

Tüm x ∈ R için 4 x > 0 olduğundan birinci eşitsizliğin çözümü yoktur.

İkinci eşitsizliği 4 x > 4 0 biçiminde yazıyoruz, dolayısıyla x > 0 olur.

Cevap. x > 0.

(1/3) x = x - 2/3 denklemini grafiksel olarak çözün.

Çözüm.

1) y \u003d (1/3) x ve y \u003d x - 2/3 fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.

2) Şeklimize dayanarak, dikkate alınan fonksiyonların grafiklerinin apsis x ≈ 1 ile bir noktada kesiştiği sonucuna varabiliriz. Doğrulama şunu kanıtlar:

x \u003d 1 - bu denklemin kökü:

(1/3) 1 = 1/3 ve 1 - 2/3 = 1/3.

Başka bir deyişle denklemin köklerinden birini bulduk.

3) Başka kökler bulun veya bunların olmadığını kanıtlayın. (1/3) x fonksiyonu azalıyor ve y \u003d x - 2/3 fonksiyonu artıyor. Dolayısıyla x > 1 için birinci fonksiyonun değerleri 1/3'ten küçük, ikincisi ise 1/3'ten büyüktür; x'te< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ve x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Cevap. x = 1.

Bu problemin çözümünden, özellikle (1/3) x > x – 2/3 eşitsizliğinin x için sağlandığı sonucuna varıldığına dikkat edin.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanması durumunda kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bu derste çeşitli üstel eşitsizlikleri ele alacağız ve en basit üstel eşitsizlikleri çözme yöntemine dayanarak bunları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

1. Üstel fonksiyonun tanımı ve özellikleri

Üstel bir fonksiyonun tanımını ve temel özelliklerini hatırlayın. Tüm üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünün dayandığı özelliklerdir.

Üstel fonksiyon formun bir fonksiyonudur, burada taban derecedir ve Burada x bağımsız bir değişken, bir argümandır; y - bağımlı değişken, işlev.

Pirinç. 1. Üstel fonksiyonun grafiği

Grafik, sırasıyla birden büyük ve birden küçük, ancak sıfırdan büyük bir tabandaki üstel fonksiyonu gösteren artan ve azalan bir üssü göstermektedir.

Her iki eğri de (0;1) noktasından geçer

Üstel fonksiyonun özellikleri:

İhtisas: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon monotondur, arttıkça artar, azaldıkça azalır.

Monotonik bir fonksiyon, değerlerinin her birini argümanın tek bir değeriyle alır.

Ne zaman, argüman eksiden artı sonsuza yükseldiğinde, fonksiyon sıfırdan (dahil değil) artı sonsuza kadar artar, yani argümanın belirli değerleri için monoton olarak artan bir fonksiyona sahibiz (). Aksine, argüman eksiden artı sonsuza arttığında, fonksiyon sonsuzdan sıfıra (dahil) azalır, yani argümanın belirli değerleri için monoton olarak azalan bir fonksiyonumuz olur ().

2. En basit üstel eşitsizlikler, çözüm tekniği, örnek

Yukarıdakilere dayanarak, en basit üstel eşitsizlikleri çözmek için bir yöntem sunuyoruz:

Eşitsizlikleri çözme yöntemi:

Derecelerin tabanlarını eşitleyin;

Göstergeleri kaydederek veya değiştirerek karşılaştırın zıt işaret eşitsizlikler.

Karmaşık üstel eşitsizliklerin çözümü, kural olarak, bunların en basit üstel eşitsizliklere indirgenmesinden oluşur.

Derecenin tabanı birden büyüktür, bu da eşitsizlik işaretinin korunduğu anlamına gelir:

Haydi dönüşelim Sağ Taraf derecenin özelliklerine göre:

Derecenin tabanı birden küçüktür, eşitsizlik işareti ters çevrilmelidir:

İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için karşılık gelen ikinci dereceden denklemi çözeriz:

Vieta teoremine göre kökleri buluyoruz:

Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilmiştir.

Böylece eşitsizliğe bir çözümümüz var:

Sağ tarafın sıfır üssü olan bir kuvvet olarak temsil edilebileceğini tahmin etmek kolaydır:

Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti değişmez, şunu elde ederiz:

Bu tür eşitsizlikleri çözme prosedürünü hatırlayın.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon düşünün:

Tanımın alanını bulma:

Fonksiyonun köklerini buluyoruz:

Fonksiyonun tek bir kökü vardır,

İşaret sabitliği aralıklarını seçiyoruz ve her aralıkta fonksiyonun işaretlerini belirliyoruz:

Pirinç. 2. İşaret tutarlılığının aralıkları

Böylece cevabı aldık.

Cevap:

3. Tipik üstel eşitsizliklerin çözümü

Üsleri aynı fakat tabanları farklı olan eşitsizlikleri düşünün.

Üstel bir fonksiyonun özelliklerinden biri, argümanın herhangi bir değeri için kesinlikle alınmasıdır. pozitif değerler Bu, üstel bir fonksiyona bölünebileceği anlamına gelir. Verilen eşitsizliği sağ tarafına bölelim:

Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti korunur.

Çözümü örnekleyelim:

Şekil 6.3 ve fonksiyonlarının grafiklerini göstermektedir. Açıkçası, argüman sıfırdan büyük olduğunda fonksiyonun grafiği daha yüksekte yer alır, bu fonksiyon daha büyüktür. Argümanın değerleri negatif olduğunda fonksiyon aşağıya geçer, azdır. Eğer argümanın değeri eşitse, verilen nokta aynı zamanda verilen eşitsizliğin de çözümüdür.

Pirinç. 3. Örnek 4 örneği

Verilen eşitsizliği derecenin özelliklerine göre dönüştürüyoruz:

İşte benzer üyeler:

Her iki parçayı da ikiye ayıralım:

Şimdi örnek 4'e benzer şekilde çözmeye devam ediyoruz, her iki parçayı da şu şekilde bölüyoruz:

Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti korunur:

4. Üstel eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Örnek 6 - eşitsizliği grafiksel olarak çözün:

Sol ve sağ taraftaki fonksiyonları göz önünde bulundurun ve her birinin grafiğini çizin.

Fonksiyon bir üs olup, tüm tanım alanı boyunca, yani argümanın tüm gerçek değerleri için artar.

Fonksiyon doğrusaldır ve tüm tanım alanı boyunca, yani argümanın tüm gerçek değerleri için azalır.

Bu fonksiyonlar kesişiyorsa, yani sistemin bir çözümü varsa, o zaman böyle bir çözüm benzersizdir ve kolayca tahmin edilebilir. Bunu yapmak için tamsayılar () üzerinde yineleyin

Bu sistemin kökeninin şu olduğunu görmek kolaydır:

Böylece fonksiyon grafikleri argümanı bire eşit olan bir noktada kesişir.

Artık bir cevap almamız gerekiyor. Verilen eşitsizliğin anlamı üssün bundan büyük veya eşit olması gerektiğidir doğrusal fonksiyon yani ondan daha yüksek olmalı veya onunla çakışmalıdır. Cevap açıktır: (Şekil 6.4)

Pirinç. 4. Örnek 6 örneği

Bu nedenle çeşitli tipik üstel eşitsizliklerin çözümünü düşündük. Daha sonra, daha karmaşık üstel eşitsizliklerin dikkate alınmasına geçiyoruz.

Kaynakça

Mordkovich A. G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. - M.: Bustard. Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. - M.: Aydınlanma.

Matematik. md. Matematik-tekrar. com. Diffur. kemsu. ru.

Ev ödevi

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10-11. sınıflar (A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. Eşitsizliği çözün:

3. Eşitsizliği çözün.

Çoğu matematik probleminin çözümü bir şekilde sayısal, cebirsel veya fonksiyonel ifadelerin dönüşümüyle bağlantılıdır. Bu özellikle çözüm için geçerlidir. Matematikteki USE varyantlarında bu tür görev özellikle C3 görevini içerir. C3 görevlerinin nasıl çözüleceğini öğrenmek yalnızca amaç açısından önemli değildir başarılı teslimat Birleşik Devlet Sınavı, aynı zamanda bu becerinin yüksek öğrenimde bir matematik dersi çalışırken yararlı olması nedeniyle de geçerlidir.

C3 görevlerini gerçekleştirmeye karar vermelisiniz Farklı türde Denklemler ve eşitsizlikler. Bunlar arasında rasyonel, irrasyonel, üstel, logaritmik, trigonometrik, modüller (mutlak değerler) içeren ve birleştirilmiş olanlar bulunmaktadır. Bu makale, üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin ana türlerini ve ayrıca çeşitli metodlar onların kararları. C3 problemlerini çözme yöntemlerine ayrılmış makalelerde "" başlığı altında diğer denklem ve eşitsizlik türlerinin çözümü hakkında bilgi edinin. KULLANIM seçenekleri matematik.

Spesifik analizlere geçmeden önce üstel denklemler ve eşitsizlikler Bir matematik öğretmeni olarak ihtiyaç duyacağımız teorik materyallerden bazılarını tazelemenizi öneririm.

Üstel fonksiyon

Üstel fonksiyon nedir?

İşlevi görüntüle sen = bir x, Nerede A> 0 ve A≠ 1, denir üstel fonksiyon.

Ana üstel fonksiyon özellikleri sen = bir x:

Üstel bir fonksiyonun grafiği

Üstel fonksiyonun grafiği katılımcı:

Üstel fonksiyonların grafikleri (üslü sayılar)

Üstel denklemlerin çözümü

gösterge niteliğinde Bilinmeyen değişkenin yalnızca herhangi bir kuvvetin üstellerinde bulunduğu denklemlere denir.

Çözümler için üstel denklemler aşağıdaki basit teoremi bilmeniz ve kullanabilmeniz gerekir:

Teorem 1.üstel denklem A F(X) = A G(X) (Nerede A > 0, A≠ 1) denkleme eşdeğerdir F(X) = G(X).

Ayrıca temel formülleri ve dereceli eylemleri hatırlamakta fayda var:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

örnek 1 Denklemi çözün:

Çözüm: yukarıdaki formülleri kullanın ve değiştirin:

Denklem şu şekilde olur:

Alınan diskriminant ikinci dereceden denklem pozitif:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Bu, bu denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir. Onları buluyoruz:

Değiştirmeye geri dönersek şunu elde ederiz:

İkinci denklemin kökleri yoktur, çünkü üstel fonksiyon tüm tanım alanı boyunca kesinlikle pozitiftir. İkincisini çözelim:

Teorem 1'de söylenenleri dikkate alarak eşdeğer denkleme geçiyoruz: X= 3. Bu görevin cevabı olacak.

Cevap: X = 3.

Örnek 2 Denklemi çözün:

Çözüm: Denklemin kabul edilebilir değerler alanında herhangi bir kısıtlaması yoktur, çünkü radikal ifade herhangi bir değer için anlamlıdır X(üstel fonksiyon sen = 9 4 -X pozitif ve sıfıra eşit değil).

Denklemi çarpma ve kuvvetler bölümü kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümlerle çözüyoruz:

Son geçiş Teorem 1'e uygun olarak gerçekleştirildi.

Cevap:X= 6.

Örnek 3 Denklemi çözün:

Çözüm: Orijinal denklemin her iki tarafı da 0,2'ye bölünebilir X. Bu ifade herhangi bir değer için sıfırdan büyük olduğundan bu geçiş eşdeğer olacaktır. X(üstel fonksiyon kendi tanım kümesinde kesinlikle pozitiftir). O halde denklem şu şekli alır:

Cevap: X = 0.

Örnek 4 Denklemi çözün:

Çözüm: Makalenin başında verilen kuvvetlerin bölünmesi ve çarpımı kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümler yoluyla denklemi temel bir denklemle basitleştiriyoruz:

Denklemin her iki tarafının da 4'e bölünmesi Xönceki örnekte olduğu gibi eşdeğer bir dönüşümdür çünkü bu ifade hiçbir değer için sıfıra eşit değildir X.

Cevap: X = 0.

Örnek 5 Denklemi çözün:

Çözüm: işlev sen = 3X Denklemin sol tarafında duran , artıyor. İşlev sen = —X Denklemin sağ tarafında yer alan -2/3 azalıyor. Bu, eğer bu fonksiyonların grafikleri kesişiyorsa en fazla bir noktada kesiştiği anlamına gelir. Bu durumda grafiklerin bir noktada kesiştiğini tahmin etmek kolaydır. X= -1. Başka kök olmayacak.

Cevap: X = -1.

Örnek 6 Denklemi çözün:

Çözüm:üstel fonksiyonun herhangi bir değer için kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu her yerde akılda tutarak denklemi eşdeğer dönüşümlerle basitleştiririz X ve makalenin başında verilen çarpım ve kısmi kuvvetlerin hesaplanmasına ilişkin kuralların kullanılması:

Cevap: X = 2.

Üstel eşitsizlikleri çözme

gösterge niteliğinde bilinmeyen değişkenin yalnızca bazı kuvvetlerin üslerinde yer aldığı eşitsizlikler denir.

Çözümler için üstel eşitsizlikler Aşağıdaki teoremin bilinmesi gereklidir:

Teorem 2. Eğer A> 1 ise eşitsizlik A F(X) > A G(X) aynı anlama gelen bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) > G(X). 0 ise< A < 1, то üstel eşitsizlik A F(X) > A G(X) zıt anlamın bir eşitsizliğine eşdeğerdir: F(X) < G(X).

Örnek 7 Eşitsizliği çözün:

Çözüm: Orijinal eşitsizliği şu şekilde temsil edin:

Bu eşitsizliğin her iki kısmını da 3 2'ye bölün X, ve (fonksiyonun pozitifliği nedeniyle sen= 3 2X) eşitsizlik işareti değişmeyecek:

Bir ikame kullanalım:

O halde eşitsizlik şu şekli alır:

Dolayısıyla eşitsizliğin çözümü aralıktır:

Ters ikameye geçerek şunu elde ederiz:

Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle sol eşitsizlik otomatik olarak yerine getirilir. Faydalanmak bilinen özellik logaritma, eşdeğer eşitsizliğe geçiyoruz:

Derecenin tabanı birden büyük bir sayı olduğundan, eşdeğer (Teorem 2'ye göre) aşağıdaki eşitsizliğe geçiş olacaktır:

Sonunda anladık cevap:

Örnek 8 Eşitsizliği çözün:

Çözüm:Çarpma ve kuvvetler ayrılığının özelliklerini kullanarak eşitsizliği şu şekilde yeniden yazıyoruz:

Yeni bir değişken tanıtalım:

Bu ikameyle eşitsizlik şu şekli alır:

Kesrin payını ve paydasını 7 ile çarparsak aşağıdaki eşdeğer eşitsizliği elde ederiz:

Dolayısıyla eşitsizlik, değişkenin aşağıdaki değerleriyle karşılanır T:

Daha sonra yerine koyma işlemine geri döndüğümüzde şunu elde ederiz:

Buradaki derecenin tabanı birden büyük olduğundan, eşitsizliğe geçmek eşdeğerdir (Teorem 2'ye göre):

Sonunda elde ettik cevap:

Örnek 9 Eşitsizliği çözün:

Çözüm:

Eşitsizliğin her iki tarafını da şu ifadeyle bölüyoruz:

Her zaman sıfırdan büyüktür (çünkü üstel fonksiyon pozitiftir), dolayısıyla eşitsizlik işaretinin değiştirilmesine gerek yoktur. Şunu elde ederiz:

t aralığında olan:

Ters ikameye geçtiğimizde, orijinal eşitsizliğin iki duruma bölündüğünü görüyoruz:

Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle birinci eşitsizliğin çözümü yoktur. İkincisini çözelim:

Örnek 10 Eşitsizliği çözün:

Çözüm:

Parabol dalları sen = 2X+2-X 2 aşağıya doğru yönlendirilir, dolayısıyla tepe noktasında ulaştığı değerle yukarıdan sınırlanır:

Parabol dalları sen = X 2 -2X Göstergede yer alan +2 yukarıya doğru yönlendirilir yani tepede ulaştığı değer kadar aşağıdan sınırlanır:

Aynı zamanda fonksiyonun alttan sınırlı olduğu ortaya çıkar. sen = 3 X 2 -2X Denklemin sağ tarafında +2. Ona ulaşır en küçük değerÜssündeki parabol ile aynı noktadadır ve bu değer 3 1 = 3'tür. Yani orijinal eşitsizlik ancak soldaki fonksiyon ile sağdaki fonksiyonun bir noktada 3 değerini alması durumunda doğru olabilir ( bu işlevlerin aralıklarını geçen yalnızca bu sayıdır). Bu koşul tek bir noktada sağlanır X = 1.

Cevap: X= 1.

Nasıl çözüleceğini öğrenmek için üstel denklemler ve eşitsizlikler, onların çözümü konusunda sürekli eğitim almanız gerekir. Bu zor konuda çeşitli öğretim yardımcıları, ilköğretim matematik problem kitapları, rekabetçi problem koleksiyonları, okuldaki matematik dersleri ve profesyonel bir öğretmenle bireysel dersler. Sınava hazırlanmanızda başarılar ve mükemmel sonuçlar diliyorum.

Sergey Valerievich

Not; Değerli konuklar! Lütfen yorumlara denklemlerinizi çözme isteklerinizi yazmayın. Ne yazık ki buna hiç vaktim yok. Bu tür mesajlar silinecektir. Lütfen makaleyi okuyun. Belki de içinde görevinizi kendi başınıza çözmenize izin vermeyen soruların yanıtlarını bulacaksınız.

Birçok kişi üstel eşitsizliklerin çok karmaşık ve anlaşılmaz bir şey olduğunu düşünüyor. Ve bunları çözmeyi öğrenmek, yalnızca Seçilmişlerin anlayabileceği neredeyse büyük bir sanattır...

Tamamen saçmalık! Üstel eşitsizlikler kolaydır. Ve bunları çözmek her zaman kolaydır. Yani neredeyse her zaman. :)

Bugün bu konuyu geniş kapsamlı analiz edeceğiz. Bu ders, okul matematiğinin bu bölümünü yeni anlamaya başlayanlar için çok faydalı olacaktır. Basit görevlerle başlayalım ve daha karmaşık konulara geçelim. Bugün teneke falan olmayacak ama şimdi okuyacaklarınız her türlü kontrol ve eşitsizliklerin çoğunu çözmeye yetecek. bağımsız iş. Ve bu konuda sizin de sınavınız var.

Her zaman olduğu gibi bir tanımla başlayalım. Üstel eşitsizlik, üstel bir fonksiyon içeren herhangi bir eşitsizliktir. Başka bir deyişle, her zaman formdaki bir eşitsizliğe indirgenebilir.

\[((a)^(x)) \gt b\]

$b$'ın rolünün sıradan bir sayı veya belki daha zor bir şey olabileceği yer. Örnekler? Evet lütfen:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ dörtlü ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\bit(hizala)\]

Anlamının açık olduğunu düşünüyorum: $((a)^(x))$ üstel bir fonksiyonu var, bir şeyle karşılaştırılıyor ve sonra $x$'ı bulması isteniyor. Özellikle klinik durumlarda $x$ değişkeni yerine $f\left(x \right)$ fonksiyonunu koyabilirler ve böylece eşitsizliği biraz daha karmaşık hale getirebilirler. :)

Elbette bazı durumlarda eşitsizlik daha şiddetli görünebilir. Örneğin:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Veya bu bile:

Genel olarak, bu tür eşitsizliklerin karmaşıklığı çok farklı olabilir, ancak sonuçta yine de basit bir $((a)^(x)) \gt b$ yapısına varırlar. Ve böyle bir tasarımla bir şekilde ilgileneceğiz (özellikle klinik durumlarda, akla hiçbir şey gelmediğinde logaritmalar bize yardımcı olacaktır). Bu nedenle şimdi bu kadar basit yapıların nasıl çözüleceğini öğreneceğiz.

En basit üstel eşitsizliklerin çözümü

Çok basit bir şeye bakalım. Örneğin, işte burada:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Açıkçası, sağdaki sayı ikinin kuvveti olarak yeniden yazılabilir: $4=((2)^(2))$. Böylece orijinal eşitsizlik çok uygun bir biçimde yeniden yazılır:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Ve şimdi eller, $x \gt 2$ cevabını almak için derecelerin tabanlarında duran ikililerin "üstünü çizmek" için can atıyor. Ancak herhangi bir şeyin üzerini çizmeden önce ikinin kuvvetlerini hatırlayalım:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Gördüğünüz gibi üsdeki sayı ne kadar büyük olursa çıktı numarası da o kadar büyük olur. "Teşekkürler Kaptan!" Öğrencilerden biri haykıracak. Farklı mı oluyor? Ne yazık ki oluyor. Örneğin:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ sağ))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Burada da her şey mantıklı: Derece ne kadar büyük olursa, 0,5 sayısı kendisiyle o kadar çok çarpılır (yani ikiye bölünür). Böylece ortaya çıkan sayı dizisi azalır ve birinci ve ikinci diziler arasındaki fark yalnızca tabanda olur:

• Derecenin tabanı $a \gt 1$ ise, $n$ üssü büyüdükçe, $((a)^(n))$ sayısı da büyüyecektir;
• Tersine, eğer $0 \lt a \lt 1$ ise, $n$ üssü büyüdükçe, $((a)^(n))$ sayısı azalacaktır.

Bu gerçekleri özetleyerek, üstel eşitsizliklerin tüm çözümünün dayandığı en önemli ifadeyi elde ediyoruz:

$a \gt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \gt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir. $0 \lt a \lt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \lt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir.

Başka bir deyişle, eğer taban birden büyükse, onu kaldırabilirsiniz; eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Ve eğer taban birden küçükse, o zaman da kaldırılabilir, ancak eşitsizliğin işaretinin de değiştirilmesi gerekecektir.

$a=1$ ve $a\le 0$ seçeneklerini dikkate almadığımızı unutmayın. Çünkü bu durumlarda belirsizlik söz konusudur. $((1)^(x)) \gt 3$ biçimindeki bir eşitsizliğin nasıl çözüleceğini varsayalım. Herhangi bir kuvvete bir yine bir verecek; asla üç veya daha fazlasını alamayacağız. Onlar. hiçbir çözüm yok.

Negatif bazlarla durum daha da ilginç. Örneğin aşağıdaki eşitsizliği düşünün:

\[((\sol(-2 \sağ))^(x)) \gt 4\]

İlk bakışta her şey basit:

Sağ? Ama hayır! Çözümün yanlış olduğundan emin olmak için $x$ yerine birkaç çift ve birkaç tek sayıyı değiştirmek yeterlidir. Bir göz at:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Gördüğünüz gibi işaretler değişiyor. Ancak yine de kesirli dereceler ve diğer kalaylar var. Örneğin, $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (eksi ikinin yedinin köküne yükseltilmesi) saymayı nasıl sıralarsınız? Mümkün değil!

Bu nedenle, kesinlik sağlamak için tüm üstel eşitsizliklerde (ve bu arada denklemlerde de) $1\ne a \gt 0$ olduğunu varsayıyoruz. Ve sonra her şey çok basit bir şekilde çözüldü:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(hizala) \sağ.\]

Genel olarak, ana kuralı bir kez daha hatırlayın: Üstel denklemdeki taban birden büyükse, onu kaldırabilirsiniz; ve eğer taban birden küçükse o da kaldırılabilir ama bu eşitsizlik işaretini değiştirecektir.

Çözüm örnekleri

Birkaç basit üstel eşitsizliği düşünün:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\bit(hizala)\]

Birincil görev her durumda aynıdır: eşitsizlikleri en basit biçimine indirgemek $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Şimdi her eşitsizlikle yapacağımız şey budur ve aynı zamanda kuvvetlerin özelliklerini ve üstel fonksiyonu tekrarlayacağız. O zaman hadi gidelim!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Burada ne yapılabilir? Sol tarafta zaten açıklayıcı bir ifademiz var - hiçbir şeyin değiştirilmesine gerek yok. Ama sağda bir çeşit saçmalık var: bir kesir ve hatta paydada bir kök!

Ancak kesirler ve kuvvetlerle çalışmanın kurallarını unutmayın:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n))))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\bit(hizala)\]

Bu ne anlama geliyor? Öncelikle kesri bir kuvvete dönüştürerek kesirden kolaylıkla kurtulabiliriz. negatif gösterge. İkincisi, payda kök olduğundan, onu bir dereceye çevirmek güzel olurdu - bu sefer kesirli bir üsle.

Bu eylemleri sırasıyla eşitsizliğin sağ tarafına uygulayalım ve ne olacağını görelim:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \sağ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \sağ))))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken bu derecelerin üslerinin toplandığını unutmayın. Ve genel olarak, üstel denklemler ve eşitsizliklerle çalışırken, kuvvetlerle çalışmanın en azından en basit kurallarını bilmek kesinlikle gereklidir:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y))))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\bit(hizala)\]

Aslında son kuralı uyguladık. Bu nedenle orijinal eşitsizliğimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3))))\]

Şimdi tabandaki ikiliden kurtuluyoruz. 2 > 1 olduğundan eşitsizlik işareti aynı kalır:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right].\\\end(align)\]

Bütün çözüm bu! Asıl zorluk hiç de üstel fonksiyonda değil, orijinal ifadenin yetkin dönüşümündedir: onu mümkün olduğunca dikkatli ve hızlı bir şekilde en basit biçimine getirmeniz gerekir.

İkinci eşitsizliği düşünün:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Şöyle böyle. Burada ondalık kesirleri bekliyoruz. Birçok kez söylediğim gibi, kuvvetleri olan tüm ifadelerde ondalık kesirlerden kurtulmalısınız; çoğu zaman hızlı ve kolay bir çözüm görmenin tek yolu budur. İşte bunlardan kurtulacağız:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ sağ))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)) \\\bit(hizala)\]

Önümüzde yine en basit eşitsizlik var ve hatta 1/10 tabanında bile, yani. birden az. Peki, üsleri kaldırıyoruz, aynı anda işareti "daha az"dan "daha büyük"e değiştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:

\[\begin(hizala) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\bit(hizala)\]

Son cevabı bulduk: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Lütfen cevabın tam olarak küme olduğunu ve hiçbir durumda $x \lt -1$ formunun yapısı olmadığını unutmayın. Çünkü resmi olarak böyle bir yapı kesinlikle bir küme değil, $x$ değişkenine göre bir eşitsizliktir. Evet, çok basit ama cevap bu değil!

Önemli Not. Bu eşitsizlik başka bir şekilde de çözülebilir; her iki parçanın tabanı birden büyük olan bir kuvvete indirgenmesiyle. Bir göz at:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Böyle bir dönüşümden sonra yine üstel bir eşitsizlik elde ederiz, ancak tabanı 10 > 1'dir. Bu da on'un üzerini kolayca çizebileceğiniz anlamına gelir - eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\bit(hizala)\]

Gördüğünüz gibi cevap tamamen aynı. Aynı zamanda kendimizi tabelayı değiştirme ihtiyacından da kurtardık ve genel olarak oradaki bazı kuralları hatırladık. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Ancak bunun sizi korkutmasına izin vermeyin. Göstergelerde ne olursa olsun eşitsizliği çözme teknolojisi aynı kalıyor. Bu nedenle öncelikle 16 = 2 4 olduğunu not ediyoruz. Bu gerçeği dikkate alarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Yaşasın! Her zamanki kare eşitsizliğini elde ettik! Taban bir ikili olduğu için işaret hiçbir yerde değişmedi - birden büyük bir sayı.

Sayı doğrusunda fonksiyon sıfırları

$f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ fonksiyonunun işaretlerini düzenliyoruz - açıkça, grafiği dalları yukarı doğru olan bir parabol olacak, dolayısıyla "artılar" olacak ” yanlarda. Fonksiyonun sıfırdan küçük olduğu bölgeyle ilgileniyoruz, yani. $x\in \left(2;5 \right)$ asıl sorunun cevabıdır.

Son olarak başka bir eşitsizliği düşünün:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Yine tabanında ondalık kesir bulunan üstel bir fonksiyon görüyoruz. Bu kesri ortak kesire dönüştürelim:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) ))))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Bu durumda, daha önce yapılan açıklamadan yararlandık - sonraki kararımızı basitleştirmek için tabanı 5\u003e 1 sayısına indirdik. Aynısını sağ taraf için de yapalım:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ sağ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Her iki dönüşümü de hesaba katarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \sağ))))\ge ((5)^(-2))\]

Her iki tarafın tabanları aynı ve birden büyüktür. Sağda ve solda başka terim yok, bu yüzden sadece beşlerin üzerini çiziyoruz ve çok basit bir ifade elde ediyoruz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

İşte bu noktada dikkatli olmanız gerekiyor. Birçok öğrenci basitçe çıkarmayı sever Kare kök eşitsizliğin her iki kısmının da değerini alın ve $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ gibi bir şey yazın. Tam karenin kökü modül olduğundan bunu asla yapmamalısınız, ve hiçbir durumda orijinal değişken:

\[\sqrt(((x)^(2))))=\left| x\sağ|\]

Ancak modüllerle çalışmak en önemli şey değil keyifli meslek, Gerçek? Yani çalışmayacağız. Bunun yerine, tüm terimleri sola kaydırırız ve olağan eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözeriz:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(hizala)$

Yine elde ettiğimiz noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretleyip işaretlere bakıyoruz:

Kesin olmayan bir eşitsizliği çözdüğümüz için grafikteki tüm noktalar gölgelidir. Bu nedenle cevap şu olacaktır: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bir aralık değil, bir segmenttir.

Genel olarak üstel eşitsizliklerde karmaşık bir şey olmadığını belirtmek isterim. Bugün gerçekleştirdiğimiz tüm dönüşümlerin anlamı basit bir algoritmaya indirgeniyor:

• Tüm dereceleri indirgeyeceğimiz temeli bulun;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçiminde bir eşitsizlik elde etmek için dönüşümleri dikkatlice gerçekleştirin. Elbette $x$ ve $n$ değişkenleri yerine çok daha karmaşık fonksiyonlar olabilir ama bu anlamı değiştirmez;
• Derecelerin tabanlarını çizin. Bu durumda $a \lt 1$ tabanı varsa eşitsizlik işareti değişebilir.

Esasen bu evrensel algoritma tüm bu eşitsizliklerin çözümleri. Ve bu konuda size söylenecek diğer her şey, dönüşümü basitleştirmek ve hızlandırmak için sadece belirli püf noktaları ve püf noktalarıdır. İşte şimdi konuşacağımız püf noktalarından biri. :)

rasyonelleştirme yöntemi

Başka bir eşitsizlik kümesini düşünün:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \sağ))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Peki onları bu kadar özel kılan ne? Ayrıca hafiftirler. Yine de dur! Pi'nin bir kuvveti var mı? Ne tür bir saçmalık?

Ve $2\sqrt(3)-3$ sayısının bir üssü nasıl yükseltilir? Veya $3-2\sqrt(2)$? Sorunları derleyenlerin işe başlamadan önce çok fazla "Alıç" içtiği açıktır. :)

Aslında bu görevlerde yanlış bir şey yok. Size hatırlatmama izin verin: üstel bir fonksiyon $((a)^(x))$ biçiminde bir ifadedir; burada $a$ tabanı herhangi bir değerdir. pozitif sayı, birim hariç. π sayısı pozitiftir; bunu zaten biliyoruz. $2\sqrt(3)-3$ ve $3-2\sqrt(2)$ sayıları da pozitiftir; bunları sıfırla karşılaştırırsak bunu görmek kolaydır.

Tüm bu “korkunç” eşitsizliklerin yukarıda tartışılan basit eşitsizliklerden farklı olmadığı ortaya çıktı. Ve bunu aynı şekilde mi yapıyorlar? Evet, kesinlikle doğru. Ancak onların örneğini kullanarak, bağımsız çalışma ve sınavlarda çok zaman kazandıran bir numarayı düşünmek istiyorum. Rasyonalizasyon hakkında konuşalım. Yani dikkat:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçimindeki herhangi bir üstel eşitsizlik, $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) eşitsizliğine eşdeğerdir sağ) \gt 0 $.

Bütün yöntem bu :) Bir sonraki oyunun bir tür olacağını düşündün mü? Hiçbir şey böyle değil! Ancak kelimenin tam anlamıyla tek satırda yazılan bu basit gerçek, işimizi büyük ölçüde kolaylaştıracaktır. Bir göz at:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text() )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Artık üstel fonksiyon yok! Ve burcun değişip değişmediğini hatırlamanıza gerek yok. Ama orada yeni sorun: kahrolası \[\left(\text() )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] çarpanıyla ne yapmalı? Nasıl bir şey olduğunu bilmiyoruz Kesin değer sayılar π. Ancak kaptan bariz bir şeyi ima ediyor gibi görünüyor:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\yaklaşık 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Genel olarak, π'nin kesin değeri bizi pek fazla rahatsız etmez - bizim için yalnızca her durumda $\text( )\!\!\pi\!\!\text()-1 \gt 2 olduğunu anlamamız önemlidir. $, t.e. pozitif bir sabittir ve eşitsizliğin her iki tarafını da buna bölebiliriz:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text() )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Gördüğünüz gibi belli bir noktada eksi bire bölmek zorunda kaldık ve eşitsizlik işareti değişti. Sonunda, Vieta teoremine göre kare üç terimliyi genişlettim - köklerin $((x)_(1))=5$ ve $((x)_(2))=-'ye eşit olduğu açıktır. 1$. Sonra her şeye karar verilir klasik yöntem aralıklar:

Orijinal eşitsizlik katı olduğundan tüm noktalar noktalanmıştır. Negatif değerli alanla ilgilendiğimiz için cevap $x\in \left(-1;5 \right)$ olur. Çözüm bu. :)

Bir sonraki göreve geçelim:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Burada her şey basit çünkü sağda bir ünite var. Ve bir birimin sıfırın kuvvetine yükseltilmiş herhangi bir sayı olduğunu hatırlıyoruz. Bu sayı irrasyonel bir ifade olsa bile sol altta yer alan:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \sağ))^(0)); \\\bit(hizala)\]

Öyleyse rasyonelleştirelim:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Geriye sadece işaretlerle uğraşmak kalıyor. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ çarpanı $x$ değişkenini içermez - bu yalnızca bir sabittir ve işaretini bulmamız gerekir. Bunu yapmak için aşağıdakilere dikkat edin:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \sağ)=0 \\\end(matris)\]

İkinci faktörün sadece bir sabit değil aynı zamanda negatif bir sabit olduğu ortaya çıktı! Ve buna bölündüğünde, orijinal eşitsizliğin işareti tersine değişecektir:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Artık her şey çok açık hale geliyor. Sağdaki kare üç terimlinin kökleri $((x)_(1))=0$ ve $((x)_(2))=2$'dır. Bunları sayı doğrusunda işaretliyoruz ve $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ fonksiyonunun işaretlerine bakıyoruz:

Artı işaretiyle işaretlenmiş aralıklarla ilgileniyoruz. Sadece cevabı yazmak kalıyor:

Bir sonraki örneğe geçelim:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ sağ))^(16-x))\]

Burada her şey oldukça açık: üsler aynı sayının kuvvetleri. Bu nedenle her şeyi kısaca yazacağım:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2))))=((3)^(-2)) \\ \Aşağı ok \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x\right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Gördüğünüz gibi dönüşüm sürecinde şunu çarpmak zorunda kaldık: negatif bir sayı yani eşitsizlik işareti değişti. En sonunda, kare üç terimliyi çarpanlarına ayırmak için tekrar Vieta teoremini uyguladım. Sonuç olarak cevap şu şekilde olacaktır: $x\in \left(-8;4 \right)$ - dileyenler sayı doğrusu çizerek, noktaları işaretleyerek ve işaretleri sayarak bunu doğrulayabilirler. Bu arada “kümemizden” son eşitsizliğe geçelim:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Gördüğünüz gibi tabanda yine irrasyonel bir sayı, sağda ise yine bir birim var. Bu nedenle üstel eşitsizliğimizi şu şekilde yeniden yazıyoruz:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ sağ))^(0))\]

Mantıksallaştıralım:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ancak $1-\sqrt(2) \lt 0$ olduğu oldukça açıktır, çünkü $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. Bu nedenle ikinci faktör yine negatif bir sabittir ve eşitsizliğin her iki kısmı da ona bölünebilir:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\son(matris)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Başka bir üsse geç

Üstel eşitsizliklerin çözümünde ayrı bir sorun, “doğru” temelin aranmasıdır. Ne yazık ki, göreve ilk bakışta, neyin temel alınması gerektiği ve bu temelin derecesi olarak ne yapılması gerektiği her zaman açık olmaktan uzaktır.

Ancak endişelenmeyin: Burada sihir ve "gizli" teknolojiler yok. Matematikte algoritmik hale getirilemeyen her beceri pratik yoluyla kolaylıkla geliştirilebilir. Ancak bunun için farklı karmaşıklık seviyelerindeki sorunları çözmeniz gerekecek. Örneğin bunlar:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ bitiş(hizalama)\]

Zor? Korkutucu? Evet, asfalttaki tavuktan daha kolay! Hadi deneyelim. İlk eşitsizlik:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Sanırım burada her şey açık:

Her şeyi "iki" tabanına indirgeyerek orijinal eşitsizliği yeniden yazıyoruz:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \sağ)\cdot \left(2-1 \sağ) \lt 0\]

Evet evet doğru anladınız: Az önce yukarıda anlattığım rasyonalizasyon yöntemini uyguladım. Şimdi dikkatli çalışmamız gerekiyor: Kesirli-rasyonel bir eşitsizliğimiz var (bu, paydasında değişken olan bir eşitsizliktir), bu nedenle bir şeyi sıfıra eşitlemeden önce, her şeyi ortak bir paydaya indirgemeniz ve sabit faktörden kurtulmanız gerekir. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Şimdi standart aralık yöntemini kullanıyoruz. Pay sıfırları: $x=\pm 4$. Payda yalnızca $x=0$ olduğunda sıfıra gider. Toplamda, sayı doğrusunda işaretlenmesi gereken üç nokta vardır (eşitsizlik işareti katı olduğu için tüm noktalar işaretlenmiştir). Şunu elde ederiz:

Tahmin edebileceğiniz gibi tarama, soldaki ifadenin negatif değerler aldığı aralıkları işaretliyor. Bu nedenle, nihai cevaba aynı anda iki aralık girecektir:

Başlangıçtaki eşitsizlik katı olduğundan aralıkların uçları cevaba dahil edilmemiştir. Bu cevabın daha fazla doğrulanmasına gerek yoktur. Bu bağlamda üstel eşitsizlikler logaritmik olanlardan çok daha basittir: DPV yok, kısıtlama yok, vb.

Bir sonraki göreve geçelim:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Burada da herhangi bir sorun yok, çünkü $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ olduğunu zaten biliyoruz, dolayısıyla tüm eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\sol(-2\sağ)\sağ. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Lütfen dikkat: Üçüncü satırda önemsiz şeylerle zaman kaybetmemeye ve her şeyi hemen (−2)'ye bölmeye karar verdim. Minul ilk gruba girdi (şimdi her yerde artılar var) ve ikili sabit bir çarpanla azaltıldı. Bağımsız ve gerçek hesaplamalar yaparken yapmanız gereken şey tam olarak budur. kontrol işi- Her eylemi ve dönüşümü doğrudan boyamaya gerek yok.

Daha sonra tanıdık aralık yöntemi devreye giriyor. Payın sıfırları: ama hiçbiri yok. Çünkü diskriminant negatif olacaktır. Buna karşılık, payda yalnızca $x=0$ olduğunda sıfıra ayarlanır; tıpkı geçen seferki gibi. Kesirin $x=0$'ın sağında pozitif değerler, solunda ise negatif değerler alacağı açıktır. Yalnızca negatif değerlerle ilgilendiğimiz için son cevap $x\in \left(-\infty ;0 \right)$ olur.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Üstel eşitsizliklerde ondalık kesirlerle ne yapılmalı? Doğru: onları sıradan olanlara dönüştürerek onlardan kurtulun. Burada tercüme ediyoruz:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \sağ))^(x))). \\\bit(hizala)\]

Peki üstel fonksiyonların tabanlarından ne elde ettik? Ve karşılıklı iki sayımız var:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ sağ))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-x))\]

Böylece orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\bit(hizala)\]

Tabii ki, aynı tabanla güçleri çarparken, ikinci satırda olduğu gibi göstergeleri toplanıyor. Ayrıca sağdaki birimi de 4/25 tabanındaki kuvvet olarak temsil ettik. Geriye sadece rasyonelleştirmek kalıyor:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$ olduğuna dikkat edin, yani. ikinci faktör negatif bir sabittir ve ona bölündüğünde eşitsizlik işareti değişecektir:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Son olarak mevcut "küme"deki son eşitsizlik:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Prensip olarak buradaki çözüm fikri de açıktır: eşitsizliği oluşturan tüm üstel fonksiyonların "3" tabanına indirgenmesi gerekir. Ancak bunun için kökler ve derecelerle biraz uğraşmanız gerekir:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\bit(hizala)\]

Bu gerçekler göz önüne alındığında, orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)) \\\bit(hizala)\]

Hesaplamaların 2. ve 3. satırına dikkat edin: Eşitsizlikle ilgili bir şey yapmadan önce, onu dersin en başından beri konuştuğumuz forma getirdiğinizden emin olun: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Sol veya sağ sol çarpanlarınız, ekstra sabitleriniz vb. olduğu sürece, gerekçelerin rasyonelleştirilmesi ve "üstünün çizilmesi" gerçekleştirilemez! Bu basit gerçeğin yanlış anlaşılması nedeniyle sayısız görev yanlış yapıldı. Üstel ve logaritmik eşitsizlikleri analiz etmeye yeni başladığımız dönemde ben de öğrencilerimde bu sorunu sürekli gözlemliyorum.

Ama görevimize geri dönelim. Bu sefer rasyonelleştirmeden yapmayı deneyelim. Hatırlayalım: derecenin tabanı birden büyüktür, bu nedenle üçlülerin üzeri kolayca çizilebilir - eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Bu kadar. Son cevap: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Kararlı bir ifadeyi vurgulama ve bir değişkeni değiştirme

Sonuç olarak, hazırlıksız öğrenciler için zaten oldukça zor olan dört üstel eşitsizliği daha çözmeyi öneriyorum. Onlarla başa çıkmak için derecelerle çalışmanın kurallarını hatırlamanız gerekir. Özellikle ortak faktörleri parantezlerin dışında tutmak.

Ancak en önemli şey, tam olarak neyin parantez içine alınabileceğini anlamayı öğrenmektir. Böyle bir ifadeye kararlı denir - yeni bir değişkenle gösterilebilir ve böylece üstel fonksiyondan kurtulabilirsiniz. Öyleyse görevlere bakalım:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

İlk satırdan başlayalım. Bu eşitsizliği ayrı ayrı yazalım:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ olduğuna dikkat edin, böylece sağ taraf yeniden yazalım:

Eşitsizlikte $((5)^(x+1))$ dışında başka üstel fonksiyon bulunmadığını unutmayın. Ve genel olarak, $x$ değişkeni başka hiçbir yerde bulunmaz, bu yüzden yeni bir değişken tanıtalım: $((5)^(x+1))=t$. Aşağıdaki yapıyı elde ederiz:

\[\begin(hizala) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(hizala)\]

Orijinal değişkene ($t=((5)^(x+1))$) geri dönüyoruz ve aynı zamanda 1=5 0 değerini de hatırlıyoruz. Sahibiz:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\bit(hizala)\]

Bütün çözüm bu! Cevap: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. İkinci eşitsizliğe geçelim:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Burada her şey aynı. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ olduğunu unutmayın. Daha sonra Sol Taraf yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \sağ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\bit(hizala)\]

Gerçek kontrol ve bağımsız çalışma hakkında yaklaşık olarak bu şekilde bir karar vermeniz gerekir.

Peki, daha zor bir şey deneyelim. Örneğin, burada bir eşitsizlik var:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Buradaki sorun nedir? Öncelikle soldaki üstel fonksiyonların tabanları farklıdır: 5 ve 25. Ancak 25 \u003d 5 2 olduğundan ilk terim dönüştürülebilir:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Gördüğünüz gibi, ilk başta her şeyi aynı tabana getirdik ve sonra ilk terimin kolayca ikinciye indirgendiğini fark ettik - sadece üssü genişletmek yeterli. Artık yeni bir değişkeni güvenle tanıtabiliriz: $((5)^(2x+2))=t$ ve tüm eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(hizala)\]

Yine sorun yok! Son cevap: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Bugünkü dersimizin son eşitsizliğine geçiyoruz:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Dikkat edilmesi gereken ilk şey elbette ondalık birinci derecenin tabanında. Ondan kurtulmak ve aynı zamanda tüm üstel fonksiyonları aynı tabana - "2" sayısına getirmek gerekir:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Harika, ilk adımı attık; her şey aynı temele ulaştı. Şimdi kararlı ifadeyi vurgulamamız gerekiyor. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ olduğunu unutmayın. Yeni bir $((2)^(4x+6))=t$ değişkeni eklersek, orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\bit(hizala)\]

Doğal olarak şu soru ortaya çıkabilir: 256 = 2 8 olduğunu nasıl bulduk? Ne yazık ki, burada sadece ikinin kuvvetlerini (ve aynı zamanda üç ve beşin kuvvetlerini) bilmeniz gerekiyor. Peki, ya da sonucu elde edene kadar 256'yı 2'ye bölün (256 çift sayı olduğu için bölebilirsiniz). Bunun gibi bir şeye benzeyecek:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Aynı şey üç için de geçerlidir (9, 27, 81 ve 243 sayıları onun güçleridir) ve yedi için de geçerlidir (49 ve 343 sayıları da hatırlamak güzel olurdu). Beşinin de bilmeniz gereken “güzel” dereceleri var:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\bit(hizala)\]

Elbette tüm bu sayılar, istenirse, basitçe birbirleriyle art arda çarpılarak zihne geri yüklenebilir. Bununla birlikte, birkaç üstel eşitsizliği çözmeniz gerektiğinde ve sonraki her biri bir öncekinden daha zorsa, o zaman düşünmek isteyeceğiniz son şey, oradaki bazı sayıların kuvvetleridir. Ve bu anlamda bu problemler aralık yöntemiyle çözülen "klasik" eşitsizliklerden daha karmaşıktır.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Üstel denklemler ve üstel eşitsizlikler"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

11. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"

Üstel denklemlerin tanımı

Tanım. Şu formdaki denklemlere: $a^(f(x))=a^(g(x))$, burada $a>0$, $a≠1$ üstel denklemler olarak adlandırılır.

"Üstel fonksiyon" konusunda incelediğimiz teoremleri hatırlayarak yeni bir teorem sunabiliriz:
Teorem. $a^(f(x))=a^(g(x))$ üstel denklemi, burada $a>0$, $a≠1$ $f(x)=g(x) denklemine eşdeğerdir $.

Üstel denklem örnekleri

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
O zaman denklemimiz yeniden yazılabilir: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2$x+0,2=0,2$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.

C) Orijinal denklem şu denklemin eşdeğeridir: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ve $x_2=-3$.
Yanıt: $x_1=6$ ve $x_2=-3$.

Örnek.
Denklemi çözün: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Çözüm:
Sıralı olarak bir dizi eylem gerçekleştireceğiz ve denklemimizin her iki kısmını da aynı temellere getireceğiz.
Sol tarafta bir dizi işlem gerçekleştirelim:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Sağ tarafa geçelim:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Orijinal denklem aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.

Örnek.
Denklemi çözün: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Çözüm:
Denklemimizi yeniden yazalım: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Değişkenlerde değişiklik yapalım, $a=3^x$ olsun.
Yeni olarak değişken denklemşu biçimi alır: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ve $a_2=3$.
Değişkenleri tersten değiştirelim: $3^x=-12$ ve $3^x=3$.
Geçen derste üstel ifadelerin yalnızca pozitif değerler alabileceğini öğrendik, grafiği hatırlayın. Bu, ilk denklemin hiçbir çözümü olmadığı, ikinci denklemin tek çözümü olduğu anlamına gelir: $x=1$.
Cevap: $x=1$.

Üstel denklemleri çözmenin yollarını hatırlatalım:
1. Grafik yöntemi. Denklemin her iki kısmını da fonksiyon olarak temsil edip grafiklerini oluşturuyoruz, grafiklerin kesişim noktalarını buluyoruz. (Bu yöntemi geçen derste kullanmıştık).
2. Göstergelerin eşitliği ilkesi. Prensip, aynı tabanlara sahip iki ifadenin ancak ve ancak bu tabanların derecelerinin (üslerinin) eşit olması durumunda eşit olması gerçeğine dayanmaktadır. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Değişkenlerin değiştirilmesi yöntemi. Denklemin değişkenleri değiştirirken biçimini basitleştirmesi ve çözülmesinin çok daha kolay olması durumunda bu yöntem kullanılmalıdır.

Örnek.
Denklem sistemini çözün: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(case)$.
Çözüm.
Sistemin her iki denklemini ayrı ayrı düşünün:
27$^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
İkinci denklemi düşünün:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım, $y=2^(x+y)$ olsun.
O zaman denklem şu şekli alacaktır:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ve $y_2=-3$.
İlk değişkenlere geçelim, ilk denklemden $x+y=2$ elde ederiz. İkinci denklemin çözümü yoktur. O halde başlangıçtaki denklem sistemimiz şu sisteme eşdeğerdir: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(case)$.
İkinci denklemi birinci denklemden çıkardığımızda şunu elde ederiz: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(case)$.
$\begin (durumlar) y=-1, \\ x=3. \end(case)$.
Cevap: $(3;-1)$.

üstel eşitsizlikler

Teorem. Eğer $a>1$ ise, bu durumda $a^(f(x))>a^(g(x))$ üstel eşitsizliği $f(x)>g(x)$ eşitsizliğine eşdeğerdir.
0$ ise a^(g(x))$, $f(x)'e eşdeğerdir

Örnek.
Eşitsizlikleri çözün:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Çözüm.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Denklemimizde derecesi daha küçük olan taban 1'den büyükse, bir eşitsizliği eşdeğer bir eşitsizlikle değiştirirken işareti değiştirmek gerekir.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Aralıklı çözüm yöntemini kullanalım:
Cevap: $(-∞;-5]U)