Ev · Aletler · Üslü denklemler ve eşitsizlik örnekleri. Üstel denklemler ve eşitsizlikler

Üslü denklemler ve eşitsizlik örnekleri. Üstel denklemler ve eşitsizlikler

Bu derste çeşitli üstel eşitsizliklere bakacağız ve en basit çözüm tekniğini temel alarak bunları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. üstel eşitsizlikler

1. Üstel fonksiyonun tanımı ve özellikleri

Üstel fonksiyonun tanımını ve temel özelliklerini hatırlayalım. Tüm üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü bu özelliklere dayanmaktadır.

Üstel fonksiyon formun bir fonksiyonudur, burada taban derecedir ve Burada x bağımsız değişken, argümandır; y bağımlı değişkendir, fonksiyon.

Pirinç. 1. Üstel fonksiyonun grafiği

Grafik, tabanı sırasıyla birden büyük ve birden küçük ancak sıfırdan büyük olan üstel fonksiyonu gösteren artan ve azalan üsleri gösterir.

Her iki eğri de (0;1) noktasından geçer

Üstel Fonksiyonun Özellikleri:

İhtisas: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon monotondur, artar, azalır.

Monotonik bir fonksiyon, değerlerinin her birini tek bir argüman değeri verildiğinde alır.

Ne zaman, argüman eksiden artı sonsuza yükseldiğinde, fonksiyon sıfır dahil artı sonsuza kadar artar, yani argümanın belirli değerleri için monoton olarak artan bir fonksiyona sahibiz (). Aksine, argüman eksiden artı sonsuza arttığında, fonksiyon sonsuzdan sıfıra (dahil) azalır, yani argümanın belirli değerleri için monoton olarak azalan bir fonksiyona sahibiz ().

2. En basit üstel eşitsizlikler, çözüm yöntemi, örnek

Yukarıdakilere dayanarak, basit üstel eşitsizlikleri çözmek için bir yöntem sunuyoruz:

Eşitsizlikleri çözme tekniği:

Derece tabanlarını eşitleyin;

Kaydederek veya değiştirerek metrikleri karşılaştırın zıt işaret eşitsizlikler.

Karmaşık üstel eşitsizliklerin çözümü genellikle onları en basit üstel eşitsizliklere indirgemekten oluşur.

Derecenin tabanı birden büyüktür, bu da eşitsizlik işaretinin korunduğu anlamına gelir:

Haydi dönüşelim Sağ Taraf derecenin özelliklerine göre:

Derecenin tabanı birden küçüktür, eşitsizlik işareti ters çevrilmelidir:

İkinci dereceden eşitsizliği çözmek için karşılık gelen denklemi çözüyoruz ikinci dereceden denklem:

Vieta teoremini kullanarak kökleri buluyoruz:

Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilmiştir.

Böylece eşitsizliğe bir çözümümüz var:

Sağ tarafın sıfır üssü olan bir kuvvet olarak temsil edilebileceğini tahmin etmek kolaydır:

Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti değişmez, şunu elde ederiz:

Bu tür eşitsizlikleri çözme tekniğini hatırlayalım.

Kesirli-rasyonel fonksiyonu düşünün:

Tanımın alanını buluyoruz:

Fonksiyonun köklerini bulma:

Fonksiyonun tek bir kökü vardır,

Sabit işaretli aralıkları seçiyoruz ve her aralıkta fonksiyonun işaretlerini belirliyoruz:

Pirinç. 2. İşaretin değişmezliği aralıkları

Böylece cevabı aldık.

Cevap:

3. Standart üstel eşitsizliklerin çözümü

Eşitsizlikleri aynı göstergelere ancak farklı temellere göre ele alalım.

Üstel fonksiyonun özelliklerinden biri, argümanın herhangi bir değeri için kesinlikle alınmasıdır. pozitif değerler yani üstel bir fonksiyona bölünebilir. Verilen eşitsizliği sağ tarafına bölelim:

Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti korunur.

Çözümü örnekleyelim:

Şekil 6.3 fonksiyonların grafiklerini göstermektedir ve . Açıkçası, argüman sıfırdan büyük olduğunda fonksiyonun grafiği daha yüksek olur, bu fonksiyon daha büyüktür. Argüman değerleri negatif olduğunda fonksiyon küçülür, küçülür. Eğer argüman eşitse fonksiyonlar da eşittir, yani bu nokta aynı zamanda verilen eşitsizliğin de çözümüdür.

Pirinç. 3. Örnek 4 örneği

Verilen eşitsizliği derecenin özelliklerine göre dönüştürelim:

İşte bazı benzer terimler:

Her iki parçayı da ikiye ayıralım:

Şimdi örnek 4'e benzer şekilde çözmeye devam ediyoruz, her iki parçayı da şuna bölüyoruz:

Derecenin tabanı birden büyüktür, eşitsizlik işareti kalır:

4. Üstel eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Örnek 6 - Eşitsizliği grafiksel olarak çözün:

Sol ve sağ taraftaki fonksiyonlara bakalım ve her biri için bir grafik oluşturalım.

Fonksiyon üsteldir ve tüm tanım alanı boyunca, yani argümanın tüm gerçek değerleri için artar.

Fonksiyon doğrusaldır ve tüm tanım alanı boyunca, yani argümanın tüm gerçek değerleri için azalır.

Bu fonksiyonlar kesişiyorsa, yani sistemin bir çözümü varsa, o zaman böyle bir çözüm benzersizdir ve kolayca tahmin edilebilir. Bunu yapmak için tamsayılar üzerinde yineleme yapıyoruz ()

Bu sistemin kökeninin şu olduğunu görmek kolaydır:

Böylece fonksiyonların grafikleri argümanı bire eşit olan bir noktada kesişir.

Artık bir cevap almamız gerekiyor. Verilen eşitsizliğin anlamı üssün bundan büyük veya eşit olması gerektiğidir doğrusal fonksiyon yani daha yüksek olmak veya onunla örtüşmek. Cevap açıktır: (Şekil 6.4)

Pirinç. 4. Örnek 6 örneği

Çeşitli standart üstel eşitsizliklerin çözümüne baktık. Daha sonra daha karmaşık üstel eşitsizlikleri ele almaya geçiyoruz.

Kaynakça

Mordkovich A. G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. - M.: Bustard. Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. - M.: Aydınlanma.

Matematik. MD. Matematik-tekrar. com. Diffur. kemsu. ru.

Ev ödevi

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10-11. sınıflar (A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. Eşitsizliği çözün:

3. Eşitsizliği çözün.

Belgorod Devlet Üniversitesi

DEPARTMAN cebir, sayılar teorisi ve geometri

Çalışma teması: Üstel kuvvet denklemleri ve eşitsizlikler.

Mezuniyet çalışması Fizik ve Matematik Fakültesi öğrencisi

Bilim danışmanı:

______________________________

İnceleyen: _______________________________

________________________

Belgorod. 2006


giriiş 3
Ders BEN. Araştırma konusuyla ilgili literatürün analizi.
Ders II. Üstel denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılan fonksiyonlar ve özellikleri.
I.1. Güç fonksiyonu ve özellikleri.
I.2. Üstel fonksiyon ve özellikleri.
Ders III. Üstel güç denklemlerinin çözümü, algoritma ve örnekler.
Ders IV. Üstel eşitsizliklerin çözümü, çözüm planı ve örnekler.
Ders V. Okul çocukları ile “Üstel denklemleri ve eşitsizlikleri çözme” konusunda ders yürütme deneyimi.
V. 1. Eğitim materyali.
V. 2. Bağımsız çözüm için problemler.
Çözüm. Sonuçlar ve teklifler.
Kaynakça.
Uygulamalar

Giriiş.

“...görmenin ve anlamanın sevinci...”

A.Einstein.

Bu çalışmada, matematik öğretmeni olarak çalışma deneyimimi aktarmaya, en azından bir dereceye kadar matematik öğretmeye yönelik tavrımı aktarmaya çalıştım - her ikisinin de şaşırtıcı bir şekilde iç içe geçtiği bir insan çabası. matematik bilimi ve pedagoji, didaktik, psikoloji ve hatta felsefe.

Çocuklarla ve mezunlarla, kutuplarda duran çocuklarla çalışma fırsatım oldu. entelektüel gelişim: Bir psikiyatriste kayıtlı olan ve matematikle gerçekten ilgilenenler

Birçok metodolojik problemi çözme fırsatım oldu. Çözmeyi başardıklarım hakkında konuşmaya çalışacağım. Ancak daha da başarısız olanlarda ve çözülmüş gibi görünenlerde bile yeni sorular ortaya çıkıyor.

Ancak deneyimin kendisinden daha da önemlisi öğretmenin düşünceleri ve şüpheleri: neden tam olarak böyle, bu deneyim?

Ve yaz artık farklı ve eğitimin gelişimi daha ilginç hale geldi. “Jüpiterlerin Altında” artık efsanevi bir arayış değil optimal sistem“herkese ve her şeye” ama çocuğun kendisi dışında öğretiyor. Ama sonra - zorunlu olarak - öğretmen.

İÇİNDE okul kursu cebir ve analizin başlangıcı, 10 - 11. Sınıflar, ile Birleşik Devlet Sınavını geçmek kurs başına liseüniversitelere giriş sınavlarında tabanında bilinmeyen ve üslü sayılar içeren denklemler ve eşitsizlikler vardır - bunlar üstel denklemler ve eşitsizliklerdir.

Okulda çok az ilgi görüyorlar, ders kitaplarında bu konuyla ilgili neredeyse hiç ödev yok. Ancak bunları çözme metodolojisine hakim olmak bana öyle geliyor ki çok faydalı: Öğrencilerin zihinsel ve yaratıcı yeteneklerini artırıyor ve önümüzde tamamen yeni ufuklar açılıyor. Öğrenciler problem çözerken ilk becerileri kazanırlar Araştırma çalışması matematik kültürleri zenginleştirilir, mantıksal düşünme. Okul çocukları, daha sonraki yaşamlarında onlara faydalı olacak kararlılık, hedef belirleme ve bağımsızlık gibi kişilik niteliklerini geliştirirler. Ayrıca eğitim materyallerinin tekrarlanması, genişletilmesi ve derinlemesine özümsenmesi de söz konusudur.

Tezim için bu konu üzerinde çalışmaya ödevimi yazarak başladım. Bu konuyla ilgili matematik literatürünü derinlemesine inceleyip analiz ettiğim kursta, üstel denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için en uygun yöntemi belirledim.

Üstel denklemleri çözerken (taban 0'dan büyük alınır) ve aynı eşitsizlikleri çözerken (taban 1'den büyük veya 0'dan büyük, ancak 1'den küçük alınır) genel kabul gören yaklaşıma ek olarak, , bazların negatif olduğu, yani 0 ve 1'e eşit olduğu durumlar da dikkate alınır.

Öğrencilerin yazılı sınav kağıtlarının analizi, sorunun kapsamının eksikliğini göstermektedir. olumsuz değer Okul ders kitaplarında üstel fonksiyonun tartışılması onlara bir takım zorluklar yaşatmakta ve hatalara yol açmaktadır. Ayrıca, elde edilen sonuçları sistematikleştirme aşamasında da sorunlar yaşarlar; burada, bir denkleme - bir sonuç veya eşitsizlik - geçiş nedeniyle, yabancı köklerin ortaya çıkabileceği bir sonuç ortaya çıkabilir. Hataları ortadan kaldırmak için, orijinal denklemi veya eşitsizliği kullanan bir test ve üstel denklemleri çözmek için bir algoritma veya üstel eşitsizlikleri çözmek için bir plan kullanırız.

Öğrencilerin final ve giriş sınavlarını başarıyla geçebilmeleri için üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümüne daha fazla önem verilmesi gerektiğine inanıyorum. eğitim oturumları veya ayrıca seçmeli derslerde ve kulüplerde.

Böylece ders , Benim tezşu şekilde tanımlanmaktadır: “Üstel kuvvet denklemleri ve eşitsizlikler.”

Hedefler bu işinşunlardır:

1. Bu konuyla ilgili literatürü analiz edin.

2. Ver tam analizÜstel güç denklemlerini ve eşitsizlikleri çözme.

3. Bu konuyla ilgili çeşitli türlerden yeterli sayıda örnek verin.

4. Üstel denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için önerilen yöntemlerin nasıl algılanacağını sınıf, seçmeli ve kulüp derslerinde kontrol edin. Bu konuyu incelemek için uygun önerilerde bulunun.

Ders Araştırmamız üstel denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için bir metodoloji geliştirmektir.

Çalışmanın amacı ve konusu aşağıdaki sorunların çözülmesini gerektiriyordu:

1. Konuyla ilgili literatürü inceleyin: "Üstel güç denklemleri ve eşitsizlikler."

2. Üstel denklemleri ve eşitsizlikleri çözme tekniklerinde uzmanlaşın.

3. Eğitim materyali seçin ve "Üstel denklemleri ve eşitsizlikleri çözme" konusuyla ilgili farklı seviyelerde bir alıştırma sistemi geliştirin.

Tez araştırması sırasında kullanımına ayrılmış 20'den fazla eser çeşitli metodlarÜstel güç denklemlerini ve eşitsizlikleri çözme. Buradan anlıyoruz.

Tez planı:

Giriiş.

Bölüm I. Araştırma konusuna ilişkin literatürün analizi.

Bölüm II. Üstel denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılan fonksiyonlar ve özellikleri.

II.1. Güç fonksiyonu ve özellikleri.

II.2. Üstel fonksiyon ve özellikleri.

Bölüm III. Üstel güç denklemlerinin çözümü, algoritma ve örnekler.

Bölüm IV. Üstel eşitsizliklerin çözümü, çözüm planı ve örnekler.

Bölüm V. Bu konuyla ilgili okul çocukları ile ders yürütme deneyimi.

1.Eğitim materyali.

2.Bağımsız çözüme yönelik görevler.

Çözüm. Sonuçlar ve teklifler.

Kullanılmış literatürün listesi.

Bölüm I literatürü analiz ediyor

Üstel denklemler ve eşitsizlikler, bilinmeyenin üssün içinde yer aldığı denklemlerdir.

Üstel denklemleri çözmek genellikle a x = a b denklemini çözmekle sonuçlanır; burada a > 0, a ≠ 1, x bir bilinmeyendir. Aşağıdaki teorem doğru olduğundan bu denklemin tek bir kökü x = b vardır:

Teorem. a > 0, a ≠ 1 ve a x 1 = a x 2 ise, x 1 = x 2 olur.

Ele alınan ifadeyi kanıtlayalım.

x 1 = x 2 eşitliğinin geçerli olmadığını varsayalım, yani. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 ise üstel fonksiyon y = a x artar ve dolayısıyla a x 1 eşitsizliği karşılanmalıdır< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >bir x 2. Her iki durumda da a x 1 = a x 2 koşuluyla bir çelişki elde ettik.

Birkaç problemi ele alalım.

4 ∙ 2 x = 1 denklemini çözün.

Çözüm.

Denklemi 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 formunda yazalım, buradan x + 2 = 0 elde ederiz, yani. x = -2.

Cevap. x = -2.

Denklem 2 3x ∙ 3 x = 576'yı çözün.

Çözüm.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 olduğundan denklem 8 x ∙ 3 x = 24 2 veya 24 x = 24 2 olarak yazılabilir.

Buradan x = 2 elde ederiz.

Cevap. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 denklemini çözün.

Çözüm.

Sol taraftaki parantezlerden 3 x - 2 ortak faktörünü aldığımızda, 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 elde ederiz,

dolayısıyla 3 x - 2 = 1, yani. x – 2 = 0, x = 2.

Cevap. x = 2.

3 x = 7 x denklemini çözün.

Çözüm.

7 x ≠ 0 olduğundan denklem 3 x /7 x = 1 olarak yazılabilir, dolayısıyla (3/7) x = 1, x = 0 olur.

Cevap. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 denklemini çözün.

Çözüm.

3 x = a yerine bu denklem ikinci dereceden a 2 – 4a – 45 = 0 denklemine indirgenir.

Bu denklemi çözerek köklerini buluruz: a 1 = 9 ve 2 = -5, dolayısıyla 3 x = 9, 3 x = -5.

Üstel fonksiyon negatif değerler alamadığı için 3 x = 9 denkleminin kökü 2'dir ve 3 x = -5 denkleminin kökleri yoktur.

Cevap. x = 2.

Üstel eşitsizliklerin çözümü genellikle a x > a b veya a x eşitsizliklerinin çözümüne indirgenir< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Bazı sorunlara bakalım.

Eşitsizliği çöz 3 x< 81.

Çözüm.

Eşitsizliği 3x şeklinde yazalım.< 3 4 . Так как 3 >1 ise y = 3 x fonksiyonu artmaktadır.

Bu nedenle x için< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Böylece, x'te< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Cevap. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

4 x = t diyelim, sonra ikinci dereceden t2 + t – 2 > 0 eşitsizliğini elde ederiz.

Bu eşitsizlik t için geçerlidir< -2 и при t > 1.

t = 4 x olduğundan iki eşitsizlik elde ederiz: 4 x< -2, 4 х > 1.

Tüm x € R için 4 x > 0 olduğundan birinci eşitsizliğin çözümü yoktur.

İkinci eşitsizliği 4 x > 4 0 biçiminde yazıyoruz, dolayısıyla x > 0 olur.

Cevap. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 denklemini grafiksel olarak çözün.

Çözüm.

1) y = (1/3) x ve y = x – 2/3 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturalım.

2) Şeklimize dayanarak, dikkate alınan fonksiyonların grafiklerinin apsis x ≈ 1 noktasında kesiştiği sonucuna varabiliriz. Kontrol şunu kanıtlar:

x = 1 bu denklemin köküdür:

(1/3) 1 = 1/3 ve 1 – 2/3 = 1/3.

Başka bir deyişle denklemin köklerinden birini bulduk.

3) Başka kökler bulalım veya olmadığını kanıtlayalım. (1/3) x fonksiyonu azalıyor, y = x – 2/3 fonksiyonu artıyor. Bu nedenle, x > 1 için, ilk fonksiyonun değerleri 1/3'ten küçük, ikincisi ise 1/3'ten fazladır; x'te< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ve x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Cevap. x = 1.

Bu problemin çözümünden, özellikle (1/3) x > x – 2/3 eşitsizliğinin x için sağlandığı sonucuna varıldığına dikkat edin.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

ve x = b en basit üstel denklemdir. Onun içinde A sıfırdan büyük ve A bire eşit değildir.

Üstel denklemleri çözme

Üstel fonksiyonun özelliklerinden, değer aralığının pozitif gerçek sayılarla sınırlı olduğunu biliyoruz. O halde b = 0 ise denklemin çözümü yoktur. Aynı durum b'nin olduğu denklemde de ortaya çıkar.

Şimdi b>0 olduğunu varsayalım. Üstel fonksiyonda taban A birden büyükse, bu durumda fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Taban için üstel fonksiyonda ise A Tamamlandı sonraki koşul 0

Buna dayanarak ve kök teoremini uygulayarak, a x = b denkleminin b>0 ve pozitif için tek bir kökü olduğunu buluruz. A bire eşit değil. Bunu bulmak için b'yi b = a c olarak temsil etmeniz gerekir.
O zaman açıktır ki İle a x = a c denkleminin bir çözümü olacaktır.

Şu örneği inceleyin: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25 denklemini çözün.

25'i 5 2 olarak düşünelim, şunu elde ederiz:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Veya eşdeğeri nedir:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi aşağıdakilerden herhangi biriyle çözeriz: bilinen yöntemler. x = 3 ve x = -1 olmak üzere iki kök elde ederiz.

Cevap: 3;-1.

4 x - 5*2 x + 4 = 0 denklemini çözelim. t=2 x yerine koyalım ve aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde edelim:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Bu denklemi bilinen yöntemlerden herhangi birini kullanarak çözüyoruz. Kökleri elde ederiz t1 = 1 t2 = 4

Şimdi 2 x = 1 ve 2 x = 4 denklemlerini çözüyoruz.

Cevap: 0;2.

Üstel eşitsizlikleri çözme

En basit üstel eşitsizliklerin çözümü de artan ve azalan fonksiyonların özelliklerine dayanmaktadır. Üstel bir fonksiyonda a tabanı birden büyükse, bu durumda fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Taban için üstel fonksiyonda ise A aşağıdaki koşul karşılanıyor 0, bu durumda bu fonksiyon tüm reel sayılar kümesinde azalan olacaktır.

Bir örnek düşünün: eşitsizliği çözün (0,5) (7 - 3*x)< 4.

4 = (0,5)2 olduğuna dikkat edin. O zaman eşitsizlik (0,5)(7 - 3*x) formunu alacaktır.< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Şunu elde ederiz: 7 - 3*x>-2.

Dolayısıyla: x<3.

Cevap: x<3.

Eşitsizliğin tabanı birden büyük olsaydı tabandan kurtulurken eşitsizliğin işaretini değiştirmeye gerek kalmazdı.



Bir hata mı buldunuz?
Onu seçin ve tıklayın:
CTRL+ENTER