Bazı tartışmalar beni çok eğlendiriyor...

Merhaba ne yapıyorsun?
-Evet, bir dergiden problem çözüyorum.
-Vay! Senden bunu beklemiyordum.
-Neyi beklemiyordun?
-Bulmacalara boyun eğeceksin. Zeki görünüyorsun ama her türlü saçmalığa inanıyorsun.
-Üzgünüm anlamadım. Saçmalık dediğin şey nedir?
-Evet, senin bütün bu matematiğin. Tamamen saçmalık olduğu çok açık.
-Bunu nasıl söylersin? Matematik bilimlerin kraliçesidir...
- Hadi bu pathos'tan kaçınalım, değil mi? Matematik kesinlikle bir bilim değildir; sürekli bir yığın aptal yasa ve kuraldır.
-Ne?!
-Oh, gözlerini bu kadar büyütme, haklı olduğumu kendin biliyorsun. Hayır, çarpım tablosunun harika bir şey olduğunu iddia etmiyorum, kültürün ve insanlık tarihinin oluşumunda önemli bir rol oynadı. Ama artık bunların hepsi artık geçerli değil! Peki neden her şeyi karmaşık hale getiresiniz ki? Doğada integral ya da logaritma yoktur, bunların hepsi matematikçilerin icatlarıdır.
-Bir dakika bekle. Matematikçiler hiçbir şey icat etmediler, kanıtlanmış araçları kullanarak sayıların etkileşiminin yeni yasalarını keşfettiler...
-Evet elbette! Peki buna inanıyor musun? Sürekli ne kadar saçma konuştuklarını görmüyor musun? Bana bir örnek verebilirmisin?
- Evet, lütfen nazik ol.
-Evet lütfen! Pisagor teoremi.
-Peki, ne var bunda?
-Öyle değil! " Pisagor pantolonu her tarafta eşit" anlıyorsunuz. Pisagor zamanında Yunanlıların pantolon giymediğini biliyor musunuz? Pisagor, hakkında hiçbir fikrinin olmadığı bir konuda nasıl konuşabilirdi?
-Bir dakika bekle. Bunun pantolonla ne alakası var?
-Peki, bunlar Pisagorcu gibi mi görünüyor? Ya da değil? Pisagor'un pantolonu olmadığını kabul ediyor musun?
- Aslında elbette değildi...
-Aha, bu, teoremin adında bariz bir tutarsızlık olduğu anlamına geliyor! O halde orada söylenenleri nasıl ciddiye alabilirsiniz?
- Bir dakika. Pisagor pantolon hakkında hiçbir şey söylemedi...
-Kabul ediyorsun değil mi?
-Evet... Peki devam edebilir miyim? Pisagor pantolon hakkında hiçbir şey söylemedi ve başkalarının aptallığını ona atfetmeye gerek yok...
-Evet, sen de tüm bunların saçmalık olduğunu kabul ediyorsun!
-Ben öyle bir şey söylemedim!
-Söyledimya. Kendinle çelişiyorsun.
-Bu yüzden. Durmak. Pisagor teoremi ne diyor?
-Bütün pantolonlar eşittir.
-Lanet olsun, bu teoremi okudun mu?!
-Biliyorum.
-Nerede?
-Okudum.
-Ne okudun?!
-Lobaçevski.
*Duraklat*
-Kusura bakmayın ama Lobaçevski'nin Pisagor'la ne alakası var?
-Peki, Lobaçevski de bir matematikçi ve Pisagor'dan bile daha otoriter görünüyor, öyle değil mi?
*iç çekmek*
-Peki Lobaçevski Pisagor teoremi hakkında ne dedi?
-Pantolonların eşit olması. Ama bu saçmalık! Böyle bir pantolonu nasıl giyebilirsin? Üstelik Pisagor hiç pantolon giymezdi!
-Lobaçevski öyle mi söyledi?!
*ikinci duraklama, güvenle*
-Evet!
-Bana nerede yazdığını göster.
-Hayır, orada o kadar doğrudan yazmıyor ki...
-Bu kitabın adı ne?
- Evet bu bir kitap değil, bu bir gazetedeki makale. Lobaçevski'nin aslında Alman istihbaratının bir ajanı olduğu gerçeği... eh, konumuz bu değil. Zaten muhtemelen öyle söylemiştir. Kendisi aynı zamanda bir matematikçidir, yani kendisi ve Pisagor aynı zamandadır.
-Pisagor pantolon hakkında hiçbir şey söylemedi.
-İyi evet! Biz de bundan bahsediyoruz. Bunların hepsi saçmalık.
-Sırayla gidelim. Pisagor teoreminin ne söylediğini kişisel olarak nereden biliyorsunuz?
-Ah, hadi ama! Bunu herkes biliyor. Kime sorsan hemen cevap verirler.
-Pisagor pantolonu pantolon değildir...
-Oh elbette! Bu bir alegori! Bunu daha önce kaç kez duyduğumu biliyor musun?
-Pisagor teoremi, bacakların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir. VE HEPSİ BU!
-Pantolon nerede?
-Evet Pisagor'un pantolonu yoktu!!!
-Görüyorsun ya, sana bunu söylüyorum. Bütün matematiğin saçmalık.
-Ama bu saçmalık değil! Kendinize bir bakın. İşte bir üçgen. İşte hipotenüs. İşte bacaklar...
-Neden birdenbire bunlar bacaklar oldu ve bu da hipotenüs oldu? Belki de tam tersidir?
-HAYIR. Bacaklar dik açı oluşturan iki taraftır.
- İşte sana başka bir dik açı.
-O heteroseksüel değil.
-Nasıl biri, çarpık mı?
- Hayır, keskin.
-Bu da baharatlı.
-Keskin değil, düz.
-Biliyor musun, beni kandırma! Sonucu istediğiniz gibi ayarlamak için, her şeyi size uygun şekilde adlandırırsınız.
-Bir dik üçgenin iki kısa kenarı bacaklardır. Uzun kenar hipotenüstür.
-Peki o taraf kim daha kısa? Peki hipotenüs artık yuvarlanmıyor mu? Kendinizi dışarıdan dinleyin, ne tür saçmalıklardan bahsediyorsunuz. 21. yüzyıl, demokrasinin en parlak dönemi ama siz bir tür Orta Çağ'dasınız. Görüyorsunuz, kenarları eşit değil...
-Dikdörtgen üçgen eşit taraflar bulunmuyor...
-Emin misin? Senin için çizeyim. İşte bak. Dikdörtgen mi? Dikdörtgen. Ve tüm taraflar eşittir!
-Bir kare çizdin.
-Ne olmuş?
-Kare üçgen değildir.
-Oh elbette! Bize uymadığı anda hemen “üçgen değil”! Kandırma beni. Kendiniz sayın: bir köşe, iki köşe, üç köşe.
-Dört.
-Ne olmuş?
-Bu bir kare.
-Üçgen değil de kare mi? O daha kötü, değil mi? Sırf ben çizdiğim için mi? Üç köşe var mı? Var, hatta bir tane de yedek var. Eh, burada yanlış bir şey yok, biliyorsun...
-Tamam bırakalım bu konuyu.
- Evet, şimdiden pes mi ediyorsun? İtiraz edilecek bir şey var mı? Matematiğin saçmalık olduğunu kabul ediyor musun?
-Hayır, kabul etmiyorum.
-İşte yine başlıyoruz - harika! Az önce sana her şeyi ayrıntılı olarak kanıtladım! Eğer geometrinizin temeli Pisagor'un öğretisiyse ve özür dilerim, bu tamamen saçmalıksa... o zaman daha fazla ne hakkında konuşabilirsiniz ki?
-Pisagor'un öğretileri saçmalık değil...
- Tabii ki! Pisagor okulunu duymadım! Bilmek isterseniz, onlar alemlere düşkündüler!
-Bunun ne alakası var...
-Ve Pisagor aslında bir ibneydi! Kendisi Platon'un arkadaşı olduğunu söyledi.
-Pisagor mu?
- Bilmiyor muydun? Evet hepsi ibneydi. Ve kafasına üç kez vuruldu. Biri fıçıda uyuyordu, diğeri ise çıplak olarak şehirde koşuyordu...
-Diogenes fıçıda uyudu ama o bir filozoftu, matematikçi değil...
-Oh elbette! Birisi fıçıya tırmanırsa, o kişi artık matematikçi değildir! Neden ekstra utanca ihtiyacımız var? Biliyoruz, biliyoruz, geçtik. Ama bana neden üç bin yıl önce yaşamış ve ortalıkta pantolonsuz dolaşan her türden ibnenin benim için otorite olması gerektiğini açıklayacak mısın? Neden onların bakış açısını kabul edeyim ki?
-Tamam bırak...
- Dinleme! Sonunda ben de seni dinledim. Bunlar sizin hesaplamalarınız, hesaplamalarınız... Hepiniz saymayı biliyorsunuz! Ve size esas olarak bir şey sorarsam, o zaman: "Bu bir bölüm, bu bir değişken ve bunlar da iki bilinmeyen." Ve bana genel olarak, ayrıntılar olmadan söylüyorsun! Ve hiçbir bilinmeyen, bilinmeyen, varoluşsal olmadan... Bu beni hasta ediyor, anlıyor musun?
-Anlamak.
-Peki, bana iki kere ikinin neden her zaman dört olduğunu açıkla? Bunu kim buldu? Ve neden bunu olduğu gibi kabul etmek zorundayım ve şüphe etmeye hakkım yok?
- Evet, istediğin kadar şüphe et...
-Hayır, sen bana açıkla! Sadece sizin bu küçük şeyleriniz olmadan, ama normal olarak, insani bir şekilde, bu açık.
-İki kere iki dört eder çünkü iki kere iki dört eder.
-Yağ yağı. Bana yeni ne söyledin?
-İki kere iki, ikinin ikiyle çarpılmasıdır. İkiyle ikiyi alıp bir araya getirin...
-Toplamak mı, çarpmak mı?
-Bu aynı...
-İkisi de açık! Yedi ile sekizi toplayıp çarparsam sonuç aynı mı çıkıyor?
-HAYIR.
-Ve neden?
-Çünkü yedi artı sekiz eşittir...
-Peki dokuzu ikiyle çarparsam dört elde eder miyim?
-HAYIR.
-Ve neden? İkiyi çarptım ve işe yaradı, ama birdenbire dokuzla bir serseri mi oldu?
-Evet. Dokuzun iki katı on sekizdir.
-Peki ya iki kere yedi?
-On dört.
- Peki iki kere beş mi?
-On.
-Yani, yalnızca belirli bir durumda dört tane mi çıkıyor?
-Kesinlikle.
-Şimdi kendin düşün. Çarpmanın bazı katı kanunları ve kuralları olduğunu söylüyorsunuz. Her birinde ise burada ne tür yasalardan bahsedebiliriz? özel durum Farklı bir sonuç mu alıyorsunuz?
-Bu tamamen doğru değil. Bazen sonuçlar aynı olabilir. Örneğin altının iki katı on iki eder. Ve dört kere üç...
-Daha da kötüsü! İki, altı, üç dört; ortak hiçbir yanı yok! Sonucun hiçbir şekilde başlangıçtaki verilere bağlı olmadığını kendiniz görebilirsiniz. Aynı karar iki radikal şekilde veriliyor farklı durumlar! Ve bu, sürekli olarak aldığımız ve hiçbir şeyle değişmediğimiz aynı ikisinin, tüm sayılarla her zaman farklı bir cevap vermesine rağmen. İnsan merak ediyor, mantık nerede?
-Ama bu çok mantıklı!
-Senin için belki. Siz matematikçiler her zaman her türlü çılgın saçmalığa inanırsınız. Ama bu hesaplamalarınız beni ikna etmiyor. Peki nedenini biliyor musun?
-Neden?
-Çünkü ben Biliyorum, matematiğinize aslında neden ihtiyaç duyulduğunu. Bütün bunlar neye bağlı? "Katya'nın cebinde bir elma var ve Misha'nın beş tane var. Aynı sayıda elmaya sahip olmaları için Misha, Katya'ya kaç elma vermeli?" Peki sana ne söyleyeceğimi biliyor musun? Mişa kimseye hiçbir şey borçlu değilim vermek! Katya'nın bir elması var ve bu yeterli. O yeterli değil mi? Bırakın çok çalışsın ve dürüstçe kendisi için, hatta elma için, hatta armut için, hatta şampanyadaki ananas için bile para kazansın. Ve eğer biri çalışmak değil, sadece sorunları çözmek istiyorsa, bırakın tek elmasıyla otursun ve gösteriş yapmasın!

Jarg. okul Şaka yapıyorum. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve kenarları üzerine inşa edilen karelerin alanları arasındaki ilişkiyi kuran Pisagor teoremi. BTS, 835… Büyük sözlük Rusça sözler

Pisagor pantolonu- Bir dikdörtgenin kenarlarına inşa edilen ve farklı yönlere ayrılan karelerin pantolon kesimine benzemesi nedeniyle ortaya çıkan Pisagor teoreminin komik adı. Geometriyi seviyordum... ve üniversiteye giriş sınavında bile... Konuşma Sözlüğü Rus edebiyat dili

Pisagor pantolonu- Resimlerde pantolon kesimine benzeyen bir dik üçgenin hipotenüs üzerine kurulu karelerin alanları ile kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Pisagor teoremine mizahi bir isim... Birçok ifadenin sözlüğü

Keşiş: Yetenekli bir adam hakkında Çar. Bu şüphesiz bir bilgedir. Eski zamanlarda muhtemelen Pisagor pantolonunu icat ederdi... Saltykov. Alacalı harfler. Pisagor pantolonu (geom.): Bir dikdörtgende hipotenüsün karesi bacakların karelerine eşittir (öğretme ... ... Michelson'un Geniş Açıklayıcı ve Deyimsel Sözlüğü

Pisagor pantolonunun her tarafı eşittir- Düğme sayısı biliniyor. Penis neden sıkı? (kaba bir şekilde) pantolon ve erkek cinsel organı hakkında. Pisagor pantolonunun her tarafı eşittir. Bunu kanıtlamak için 1) Pisagor teoremi hakkında; 2) geniş pantolonlar hakkında... Canlı konuşma. Konuşma dili ifadeleri sözlüğü

Pisagor pantolonu (icat) keşiş. yetenekli bir kişi hakkında. Evlenmek. Bu şüphesiz bir bilgedir. Eski zamanlarda muhtemelen Pisagor pantolonunu icat ederdi... Saltykov. Rengarenk harfler. Pisagor pantolonu (geom.): Bir dikdörtgenin içinde hipotenüsün bir karesi vardır... ... Michelson'un Büyük Açıklayıcı ve Deyimsel Sözlüğü (orijinal yazım)

Pisagor pantolonu her yöne eşittir- Pisagor teoreminin esprili bir kanıtı; ayrıca bir arkadaşının bol pantolonuyla ilgili şaka olarak... Halk deyimleri sözlüğü

Ayar, kaba...

PİSAGOR PANTOLONUN TÜM TARAFLARI EŞİTTİR (DÜĞME SAYISI BİLİNİR. NEDEN DAR? / BUNU KANITLAMAK İÇİN ÇIKARARAK GÖSTERMEK ZORUNDASINIZ)- zarf, kaba... Sözlük modern günlük konuşma dili birimleri ve atasözleri

İsim, çoğul, kullanılmış karşılaştırmak sıklıkla Morfoloji: pl. Ne? pantolon, (hayır) ne? pantolon, ne? pantolon, (bak) ne? pantolon, ne? pantolon, peki ya? pantolon hakkında 1. Pantolon, iki kısa veya uzun paçası olan ve üzerini örten bir giysi parçasıdır. alt kısım… … Dmitriev'in Açıklayıcı Sözlüğü

Kitabın

• Dünya nasıl keşfedildi, Sakharnov Svyatoslav Vladimirovich. Fenikeliler nasıl seyahat ediyordu? Vikingler hangi gemilere yelken açtı? Amerika'yı kim keşfetti ve dünyanın etrafını dolaşan ilk kişi kimdi? Dünyanın ilk Antarktika atlasını kim derledi ve kim icat etti?
• Tekerleklerdeki mucizeler, Markusha Anatoly. Dünyanın her yerinde milyonlarca tekerlek dönüyor; arabalar dönüyor, saatlerde zamanı ölçüyor, trenlerin altına hafifçe vuruyor, makinelerde ve çeşitli mekanizmalarda sayısız iş gerçekleştiriyor. Onlar…

Ünlü Pisagor teoremi - "Bir dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların karelerinin toplamına eşittir"- herkes bunu okuldan biliyor.

Peki hatırlıyor musun "Pisagor Pantolonu", Hangi "her yönden eşit"- Yunan bilim adamının teoremini açıklayan şematik bir çizim.

Burada A Ve B- bacaklar ve İle- hipotenüs:

Şimdi size bu teoremin muhtemelen bilmediğiniz orijinal bir ispatından bahsedeceğim...

Ama önce bir tanesine bakalım lemma- kendi başına değil, diğer ifadeleri (teoremleri) kanıtlamak için yararlı olan kanıtlanmış bir ifade.

Hadi alalım dik üçgen zirvelerle X, e Ve Z, Nerede Z- bir dik açı ve dikliği aşağıya bırakın dik açı Z hipotenüse. Burada W- yüksekliğin hipotenüsle kesiştiği nokta.

Bu çizgi (dik) ZWüçgeni kendisinin benzer kopyalarına böler.

Açıları sırasıyla eşit olan ve bir üçgenin kenarları diğer üçgenin benzer kenarlarıyla orantılı olan üçgenlere benzer denildiğini hatırlatayım.

Örneğimizde ortaya çıkan üçgenler XWZ Ve YWZ birbirine benzer ve aynı zamanda orijinal üçgene benzer XYZ.

Bunu kanıtlamak zor değil.

XWZ üçgeniyle başlayalım, ∠XWZ = 90 ve dolayısıyla ∠XZW = 180–90-∠X olduğuna dikkat edin. Ancak 180–90-∠X -  tam olarak ∠Y'dir, dolayısıyla XWZ üçgeni XYZ üçgenine benzer (tüm açılar eşit) olmalıdır. Aynı egzersiz YWZ üçgeni için de yapılabilir.

Lemma kanıtlandı! Bir dik üçgende, hipotenüse düşen yükseklik (dik), üçgeni orijinal üçgene benzeyen iki benzer parçaya böler.

Ama gelelim “Pisagor pantolonumuza”…

Hipotenüse dik açıyı bırakın C. Sonuç olarak dik üçgenimizin içinde iki dik üçgenimiz var. Bu üçgenleri etiketleyelim (yukarıdaki resimde) yeşil) edebiyat A Ve B ve orijinal üçgen bir harftir İLE.

Tabii ki üçgenin alanı İLEüçgenlerin alanlarının toplamına eşit A Ve B.

Onlar. A+ B= İLE

Şimdi üstteki figürü (“Pisagor Pantolonu”) üç ev figürüne bölelim:

Lemmadan bildiğimiz gibi üçgenler A, B Ve C birbirine benzediği için ortaya çıkan ev figürleri de benzerdir ve birbirlerinin ölçekli versiyonlarıdır.

Bu, alan oranının A Ve a², - bu alan oranıyla aynıdır B Ve b², Ve C Ve c².

Böylece elimizde A/a² = B/b² = C/c² .

Bir ev figüründeki üçgen ve karenin alanlarının oranını harfle gösterelim. k.

Onlar. k- bu, üçgenin alanını (evin çatısı) altındaki karenin alanına bağlayan belirli bir katsayıdır:
k = A / a² = B / b² = C / c²

Buradan üçgenlerin alanlarının altlarındaki karelerin alanlarına göre şu şekilde ifade edilebileceği anlaşılmaktadır:
A = ka², B = kb², Ve C = kc²

Ama şunu hatırlıyoruz A+B = C, yani ka² + kb² = kc²

Veya a² + b² = c²

Ve işte bu Pisagor teoreminin kanıtı!

1 / 8

Konuyla ilgili sunum: Pisagor pantolonu her yöne eşittir

1 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

2 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Görünüşe göre Öklid geometrisinin önemli bir teoreminin iç içeriği karşısında şok olmuş biri tarafından icat edilen bu yakıcı açıklama (bütünüyle bir devamı vardır: kanıtlamak için onu kaldırmanız ve göstermeniz gerekir), mümkün olduğunca doğru bir şekilde ortaya koymaktadır. Tamamen basit düşünce zincirinin hızlı bir şekilde teoremin ispatına ve hatta daha önemli sonuçlara yol açtığı başlangıç ​​noktası. Antik Yunan matematikçi Samoslu Pisagor'a (MÖ 6. yüzyıl) atfedilen bu teorem hemen hemen her okul çocuğu tarafından bilinir ve şu şekilde ses çıkarır: Bir dik üçgenin hipotenüsünün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.

3 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Belki birçok kişi bu konuda hemfikirdir geometrik şekil“Pisagor pantolonunun her tarafı eşittir” koduna kare denir. Peki, şifreli alaycılığın devamından kastedilenin hatırına, yüzümüzde bir gülümsemeyle, zararsız bir şaka ekleyelim. Yani "bunu kanıtlamak için filme çekmeniz ve göstermeniz gerekiyor." Açıktır ki "bu" - zamir teoremin kendisi anlamına geliyordu, "kaldır" - bu, elinize geçmek, adı geçen şekli almak, "göstermek" anlamına geliyor - "dokunma" kelimesi, şeklin bazı kısımlarını bir araya getirmek anlamına geliyordu temas etmek. Genel olarak “Pisagor pantolonu”, Öklid'in Pisagor teoremini çok karmaşık bir şekilde ispatlaması sırasında yaptığı çizimde elde edilen, görünüş olarak pantolona benzeyen bir grafik tasarıma verilen isimdi. Daha basit bir delil bulununca, belki bir kafiyeli, ispata yaklaşımın başlangıcını unutmamak için bu tekerleme ipucunu besteledi ve popüler söylenti bunu zaten boş bir söz olarak tüm dünyaya yaydı.

4 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Yani, bir kare alıp içine merkezleri çakışacak şekilde daha küçük bir kare yerleştirirseniz ve küçük kareyi köşeleri büyük karenin kenarlarına değene kadar döndürürseniz, büyük şeklin üzerinde 4 özdeş dik üçgenin vurgulandığını göreceksiniz. küçük karenin kenarlarında.Buradan ünlü bir teoremi kanıtlayacak düz bir çizgi zaten uzanıyor. Küçük karenin kenarı c ile gösterilsin. Büyük karenin bir kenarı a+b ise alanı (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 olur. Aynı alan, küçük karenin alanının toplamı olarak tanımlanabilir ve 4 özdeş dik üçgenin alanları, yani 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. Aynı alanın iki hesaplaması arasına eşit bir işaret koyalım: a 2 +2ab+b 2 =2ab+ c 2. 2ab terimlerini indirgedikten sonra şu sonuca varırız: Bir dik üçgenin hipotenüsünün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir, yani a 2 + b 2 =c 2.

5 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Herkes bu teoremin faydasını hemen anlamayacaktır. Pratik açıdan bakıldığında değeri, koordinat düzlemindeki noktalar arasındaki mesafenin belirlenmesi gibi birçok geometrik hesaplamaya temel oluşturmasında yatmaktadır. Teoremden bazı değerli formüller türetilmiştir; teoremin genellemeleri, düzlemdeki hesaplamalar ile uzaydaki hesaplamalar arasındaki boşluğu dolduran yeni teoremlere yol açmıştır. Teoremin sonuçları sayı teorisine nüfuz ederek bir sayı dizisinin yapısının bireysel ayrıntılarını ortaya çıkarır. Ve çok daha fazlası, listelenemeyecek kadar çok.

6 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Boş bir merak açısından bakıldığında, son derece açık bir şekilde formüle edilen ancak bazen çözülmesi zor olan teoremlerle eğlenceli problemlerin sunulduğu görülür. Örnek olarak bunların en basitini, sözde "soru"yu vermek yeterlidir. Pisagor sayıları Günlük terimlerle şu şekilde verilir: Tabanının uzunluğu, genişliği ve köşegeni aynı anda yalnızca tam sayı niceliklerle, örneğin adımlarla ölçülebilen bir oda inşa etmek mümkün müdür? Bu konudaki en ufak bir değişiklik bile işi son derece zorlaştırabilir. Ve buna göre, tamamen bilimsel coşkuyla, bir sonraki matematik bulmacasını çözmede kendilerini sınamak isteyenler olacak. Soruda bir değişiklik daha - ve başka bir bulmaca. Çoğu zaman, bu tür problemlere cevap ararken matematik gelişir, eski kavramlar hakkında yeni görüşler edinir, yeni sistematik yaklaşımlar kazanır vb. Bu da Pisagor teoreminin, diğer değerli öğretiler gibi, daha az yararlı olmadığı anlamına gelir. bu bakış açısı.

7 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Pisagor zamanının matematiği, rasyonel olanların (doğal sayılar veya doğal pay ve paydası olan kesirler) dışındaki sayıları tanımıyordu. Her şey tam miktarlar veya tam miktarların parçaları olarak ölçülüyordu. Bu nedenle doğal sayılarda geometrik hesaplamalar yapma ve denklemleri giderek daha fazla çözme isteği bu kadar anlaşılır. Onlara bağımlılık, geometrik bir yorumda bir kısmı başlangıçta sonsuz sayıda işarete sahip düz bir çizgi olarak görünen sayıların gizeminin inanılmaz dünyasına giden yolu açar. Bazen bir serideki bazı sayılar arasındaki bağımlılık, aralarındaki "doğrusal mesafe", orantı hemen göze çarpıyor, bazen de en karmaşık zihinsel yapılar, belirli sayıların dağılımının hangi kalıplara tabi olduğunu belirlememize izin vermiyor. Yeni dünyada, bu “tek boyutlu geometride” eski problemlerin geçerliliğini koruduğu, sadece formülasyonlarının değiştiği ortaya çıktı. Örneğin Pisagor sayılarıyla ilgili görevin bir çeşidi: "Evden, baba her biri x santimetrelik x adım atar ve ardından y santimetrelik başka bir adım daha yürür. Oğul da onun arkasında her biri z santimetrelik z adım yürür. Ne yapmalı? Adımlarının büyüklüğü z'inci adımda çocuk babasının izini takip edecek kadar büyük olmalı mı?"

8 numaralı slayt

Slayt açıklaması:

Adil olmak gerekirse, Pisagor düşünce geliştirme yönteminin acemi bir matematikçi için biraz zor olduğu unutulmamalıdır. Bu özel bir tür matematiksel düşünme tarzıdır, buna alışmanız gerekir. İlginç bir nokta. Babil devletinin matematikçileri (Pisagor'un doğumundan çok önce, ondan neredeyse bir buçuk bin yıl önce ortaya çıktı), görünüşe göre sayıları aramanın bazı yöntemlerini de biliyorlardı ve bunlar daha sonra Pisagor sayıları olarak anılacaktı. Babil bilgelerinin belirledikleri sayıların üçüzlerini yazdıkları çivi yazılı tabletler bulundu. Bazı üçüzler çok büyük sayılardan oluşuyordu ve bu nedenle çağdaşlarımız Babillilerin bunları hesaplamak için iyi ve hatta muhtemelen basit yöntemlere sahip olduğunu varsaymaya başladılar. Ne yazık ki yöntemlerin kendisi veya varlığı hakkında hiçbir şey bilinmiyor.

Yaratıcılık potansiyeli genellikle beşeri bilimlere atfedilir ve doğa bilimi analize, pratik bir yaklaşıma ve formüllerin ve sayıların kuru diline bırakılır. Matematik beşeri bilimler konusu olarak sınıflandırılamaz. Ancak yaratıcılık olmadan "tüm bilimlerin kraliçesi" olma konusunda çok ileri gidemezsiniz - insanlar bunu uzun zamandır biliyor. Örneğin Pisagor zamanından beri.

Ne yazık ki okul ders kitapları genellikle matematikte sadece teoremleri, aksiyomları ve formülleri sıkıştırmanın önemli olmadığını açıklamıyor. Temel ilkelerini anlamak ve hissetmek önemlidir. Ve aynı zamanda zihninizi klişelerden ve temel gerçeklerden kurtarmaya çalışın - ancak bu tür koşullarda tüm büyük keşifler doğar.

Bu tür keşifler bugün Pisagor teoremi olarak bildiğimiz şeyi içerir. Onun yardımıyla matematiğin heyecan verici olmasının yanı sıra heyecan verici olması gerektiğini de göstermeye çalışacağız. Ve bu maceranın sadece kalın gözlüklü inekler için değil, zihni ve ruhu güçlü olan herkes için uygun olduğunu.

Sorunun geçmişinden

Doğruyu söylemek gerekirse, teoreme “Pisagor teoremi” denilse de, Pisagor bunu kendisi keşfetmedi. Dik üçgen ve onun özel özellikleri ondan çok önce araştırılmıştı. Bu konuda iki kutuplu bakış açısı var. Bir versiyona göre Pisagor, teoremin tam bir kanıtını bulan ilk kişiydi. Bir başkasına göre ise delil Pisagor'un yazarlığına ait değildir.

Bugün artık kimin haklı kimin haksız olduğunu kontrol edemiyorsunuz. Bilinen şey, eğer varsa bile Pisagor'un ispatının günümüze ulaşmadığıdır. Ancak Öklid'in Elementler adlı kitabında yer alan ünlü kanıtın Pisagor'a ait olabileceği yönünde öneriler mevcut olup, Öklid bunu yalnızca kaydetmiştir.

Bugün ayrıca dik üçgenle ilgili problemlerin Firavun I. Amenemhat döneminden kalma Mısır kaynaklarında, Kral Hammurabi dönemine ait Babil kil tabletlerinde, eski Hint eseri “Sulva Sutra” ve eski Çin eserinde yer aldığı bilinmektedir. Zhou-bi suan jin”.

Gördüğünüz gibi Pisagor teoremi eski çağlardan beri matematikçilerin aklını meşgul etmiştir. Bu, bugün var olan yaklaşık 367 farklı kanıtla doğrulanmaktadır. Bu konuda başka hiçbir teorem onunla yarışamaz. Kanıtların ünlü yazarları arasında Leonardo da Vinci ve yirminci ABD Başkanı James Garfield'ı hatırlayabiliriz. Bütün bunlar bu teoremin matematik açısından son derece önemli olduğunu göstermektedir: Geometri teoremlerinin çoğu ondan türetilmiştir veya bir şekilde onunla bağlantılıdır.

Pisagor teoreminin kanıtları

Okul ders kitapları çoğunlukla cebirsel ispatlar verir. Ancak teoremin özü geometridedir, o yüzden önce ünlü teoremin bu bilime dayanan ispatlarını ele alalım.

Kanıt 1

Dik üçgene ilişkin Pisagor teoreminin en basit kanıtı için şunu ayarlamanız gerekir: ideal koşullar: Üçgenin sadece dikdörtgen değil aynı zamanda ikizkenar olmasına izin verin. Başlangıçta eski matematikçilerin düşündüğü şeyin tam olarak bu tür bir üçgen olduğuna inanmak için nedenler var.

İfade “Bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan kare, dik kenarları üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir” aşağıdaki çizimle gösterilebilir:

ABC ikizkenar dik üçgenine bakın: AC hipotenüsü üzerinde, orijinal ABC'ye eşit dört üçgenden oluşan bir kare oluşturabilirsiniz. AB ve BC kenarlarında ise her biri iki benzer üçgen içeren bir kare inşa edilmiştir.

Bu arada, bu çizim Pisagor teoremine adanmış çok sayıda şaka ve karikatürün temelini oluşturdu. En ünlüsü muhtemelen "Pisagor pantolonları her yöne eşittir":

Kanıt 2

Bu yöntem cebir ve geometriyi birleştirir ve matematikçi Bhaskari'nin eski Hint ispatının bir çeşidi olarak düşünülebilir.

Kenarları olan bir dik üçgen oluşturun a, b ve c(Şekil 1). Daha sonra kenarları iki bacağın uzunluklarının toplamına eşit olan iki kare oluşturun. (a+b). Karelerin her birinde Şekil 2 ve 3'teki gibi yapılar yapın.

İlk karede, Şekil 1'dekine benzer dört üçgen oluşturun. Sonuç iki karedir: biri a kenarlı, ikincisi kenarlı B.

İkinci karede, bir kenarı hipotenüse eşit olan bir kare oluşturan dört benzer üçgen var. C.

Şekil 2'de oluşturduğumuz karelerin alanlarının toplamı, Şekil 3'te c kenarı ile oluşturduğumuz karenin alanına eşittir. Bu, Şekil 2'deki karelerin alanı hesaplanarak kolayca kontrol edilebilir. Formüle göre 2. Ve Şekil 3'teki yazılı karenin alanı, karenin içine yazılan dört eşit dik üçgenin alanlarını bir kenarı olan büyük bir karenin alanından çıkararak elde edilir. (a+b).

Bütün bunları yazarken elimizde: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Parantezleri açın, gerekli tüm cebirsel hesaplamaları yapın ve sonucu elde edin. a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Bu durumda, Şekil 3'te yazılan alan. kare aynı zamanda geleneksel formül kullanılarak da hesaplanabilir S=c2. Onlar. a 2 +b 2 =c 2– Pisagor teoremini kanıtladınız.

Kanıt 3

Antik Hint kanıtının kendisi 12. yüzyılda “Bilginin Tacı” (“Siddhanta Shiromani”) adlı incelemede anlatılmıştır ve yazar, ana argüman olarak öğrencilerin ve takipçilerin matematiksel yeteneklerine ve gözlem becerilerine yönelik bir çağrıyı kullanır: “ Bakmak!"

Ancak bu kanıtı daha ayrıntılı olarak analiz edeceğiz:

Karenin içine çizimde gösterildiği gibi dört dik üçgen oluşturun. Hipotenüs olarak da bilinen büyük karenin kenarını gösterelim, İle. Üçgenin bacaklarına diyelim A Ve B. Çizime göre iç karenin kenarı (a-b).

Karenin alanı formülünü kullanın S=c2 dış karenin alanını hesaplamak için. Ve aynı zamanda iç karenin alanını ve dört dik üçgenin alanlarını toplayarak aynı değeri hesaplayın: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Aynı sonucu verdiklerinden emin olmak için bir karenin alanını hesaplamak için her iki seçeneği de kullanabilirsiniz. Bu da sana bunu yazma hakkını veriyor c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Çözümün sonucunda Pisagor teoreminin formülünü alacaksınız. c 2 =a 2 +b 2. Teorem kanıtlandı.

Kanıt 4

Bu ilginç antik Çin kanıtına, tüm yapılardan kaynaklanan sandalyeye benzer figür nedeniyle "Gelin Sandalyesi" adı verildi:

İkinci kanıtta Şekil 3'te gördüğümüz çizimi kullanıyor. Ve kenarı c olan iç kare, yukarıda verilen eski Hint kanıtındakiyle aynı şekilde inşa edilmiştir.

Şekil 1'deki çizimden iki yeşil dikdörtgen üçgeni zihinsel olarak keserseniz, bunları c kenarı olan karenin karşıt kenarlarına hareket ettirirseniz ve hipotenüsleri leylak rengi üçgenlerin hipotenüslerine bağlarsanız, “gelin sandalyesi” adı verilen bir figür elde edersiniz. (İncir. 2). Netlik sağlamak için aynısını kağıt kareler ve üçgenlerle de yapabilirsiniz. “Gelin sandalyesinin” iki kareden oluşmasına dikkat edeceksiniz: kenarları küçük olanlar B ve bir tarafı büyük A.

Bu yapılar eski Çinli matematikçilerin ve onları takip eden bizim şu sonuca varmamızı sağladı: c 2 =a 2 +b 2.

Kanıt 5

Bu, Pisagor teoremine geometri kullanarak çözüm bulmanın başka bir yoludur. Buna Garfield Yöntemi denir.

Dik bir üçgen oluşturun ABC. bunu kanıtlamamız lazım BC 2 = AC 2 + AB 2.

Bunu yapmak için bacağa devam edin AC ve bir segment oluşturun CD bacağa eşit olan AB. Dikeyi indirin Reklamçizgi segmenti ED. Segmentler ED Ve AC eşittir. Noktaları birleştir e Ve İÇİNDE, Ve e Ve İLE ve aşağıdaki resimdeki gibi bir çizim elde edin:

Kuleyi kanıtlamak için yine daha önce denediğimiz yönteme başvuruyoruz: Ortaya çıkan şeklin alanını iki şekilde buluyoruz ve ifadeleri birbirine eşitliyoruz.

Bir çokgenin alanını bulun YATAK onu oluşturan üç üçgenin alanları toplanarak yapılabilir. Ve onlardan biri, ERU, sadece dikdörtgen değil aynı zamanda ikizkenardır. Şunu da unutmayalım AB=CD, AC=ED Ve MÖ=GD– bu, kaydı basitleştirmemize ve aşırı yüklemememize olanak tanıyacaktır. Bu yüzden, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Aynı zamanda şu da açıktır ki YATAK- Bu bir yamuk. Bu nedenle alanını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Hesaplamalarımız için segmenti temsil etmek daha uygun ve nettir Reklam segmentlerin toplamı olarak AC Ve CD.

Bir şeklin alanını hesaplamanın her iki yolunu da aralarına eşittir işareti koyarak yazalım: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Basitleştirmek için zaten bildiğimiz ve yukarıda açıklanan segmentlerin eşitliğini kullanıyoruz Sağ Taraf girdileri: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Şimdi parantezleri açalım ve eşitliği dönüştürelim: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Tüm dönüşümleri tamamladıktan sonra tam olarak ihtiyacımız olanı elde ediyoruz: BC 2 = AC 2 + AB 2. Teoremi kanıtladık.

Elbette bu kanıt listesi tam olmaktan uzaktır. Pisagor teoremi ayrıca vektörler, karmaşık sayılar, diferansiyel denklemler, stereometri vb. Ve hatta fizikçiler bile: örneğin sıvı, çizimlerde gösterilenlere benzer kare ve üçgen hacimlere dökülürse. Sıvı dökerek alanların eşitliğini ve sonuç olarak teoremin kendisini kanıtlayabilirsiniz.

Pisagor üçüzleri hakkında birkaç söz

Bu konu okul müfredatında çok az işleniyor veya hiç çalışılmıyor. Bu arada kendisi çok ilginç ve büyük önem geometride. Pisagor üçlüleri birçok matematik problemini çözmek için kullanılır. Bunları anlamak ileriki eğitiminizde işinize yarayabilir.

Peki Pisagor üçlüleri nelerdir? Ona böyle diyorlar tamsayılarÜçlü olarak toplanmış, ikisinin karelerinin toplamı karedeki üçüncü sayıya eşittir.

Pisagor üçlüleri şunlar olabilir:

• ilkel (her üç sayı da nispeten asaldır);
• ilkel değil (eğer bir üçlünün her sayısı aynı sayı ile çarpılırsa, yeni bir üçlü elde edilir ki bu ilkel değildir).

Çağımızdan önce bile, eski Mısırlılar Pisagor üçlülerinin sayılarına olan tutkudan büyülenmişlerdi: problemlerde kenarları 3, 4 ve 5 birim olan bir dik üçgeni düşünüyorlardı. Bu arada, kenarları Pisagor üçlüsündeki sayılara eşit olan herhangi bir üçgen varsayılan olarak dikdörtgendir.

Pisagor üçlülerine örnekler: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), vb.

Teoremin pratik uygulaması

Pisagor teoremi sadece matematikte değil aynı zamanda mimarlık ve inşaatta, astronomide ve hatta edebiyatta da kullanılmaktadır.

İlk olarak inşaatla ilgili: Pisagor teoremi çeşitli karmaşıklık seviyelerindeki problemlerde yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, Romanesk bir pencereye bakın:

Pencerenin genişliğini şu şekilde gösterelim: B, o zaman büyük yarım dairenin yarıçapı şu şekilde gösterilebilir: R ve aracılığıyla ifade edin b: R=b/2. Daha küçük yarım dairelerin yarıçapı da şu şekilde ifade edilebilir: b: r=b/4. Bu problemde pencerenin iç çemberinin yarıçapıyla ilgileniyoruz (buna diyelim) P).

Pisagor teoremi sadece hesaplamak için kullanışlıdır R. Bunu yapmak için şekilde noktalı çizgiyle gösterilen dik üçgeni kullanıyoruz. Bir üçgenin hipotenüsü iki yarıçaptan oluşur: b/4+p. Bir bacak yarıçapı temsil eder b/4, bir diğer b/2-p. Pisagor teoremini kullanarak şunu yazıyoruz: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Daha sonra parantezleri açıyoruz ve b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Bu ifadeyi şuna dönüştürelim: bp/2=b 2 /4-bp. Daha sonra tüm terimleri şuna böleriz: B, almak için benzerlerini sunuyoruz 3/2*p=b/4. Ve sonunda bunu buluyoruz p=b/6- ihtiyacımız olan da buydu.

Teoremi kullanarak kirişlerin uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. üçgen çatı. Kulenin ne kadar yüksek olduğunu belirleyin mobil iletişim sinyalin belirli bir seviyeye ulaşması gerekiyor yerleşme. Ve hatta istikrarlı bir şekilde yükleyin Noel ağacışehir meydanında. Gördüğünüz gibi bu teorem yalnızca ders kitaplarının sayfalarında değil, aynı zamanda gerçek hayatta da sıklıkla faydalıdır.

Edebiyatta Pisagor teoremi antik çağlardan beri yazarlara ilham kaynağı olmuştur ve günümüzde de bunu yapmaya devam etmektedir. Örneğin, on dokuzuncu yüzyıl Alman yazarı Adelbert von Chamisso bir sone yazmaktan ilham almıştı:

Gerçeğin ışığı yakın zamanda sönmeyecek,
Ancak parladıktan sonra dağılması pek mümkün değil
Ve binlerce yıl önce olduğu gibi,
Şüpheye veya tartışmaya neden olmayacaktır.

Bakışlarına dokunduğunda en akıllısı
Gerçeğin ışığı, tanrılara şükürler olsun;
Ve katledilen yüz boğa yalan söylüyor -
Şanslı Pisagor'dan bir karşılık hediyesi.

O zamandan beri boğalar umutsuzca kükrüyor:
Boğa kabilesini sonsuza dek alarma geçirdi
Burada bahsedilen olay.

Onlara öyle geliyor ki, zamanı gelmek üzere,
Ve yine kurban edilecekler
Harika bir teorem.

(Viktor Toporov'un çevirisi)

Ve yirminci yüzyılda Sovyet yazar Evgeny Veltistov, "Elektroniğin Maceraları" adlı kitabında bütün bir bölümü Pisagor teoreminin kanıtlarına ayırdı. Ve Pisagor teoreminin tek bir dünya için temel bir yasa ve hatta bir din haline gelmesi durumunda var olabilecek iki boyutlu dünyanın hikayesine ilişkin bir yarım bölüm daha. Orada yaşamak çok daha kolay ama aynı zamanda çok daha sıkıcı olurdu: Mesela orada kimse “yuvarlak” ve “kabarık” kelimelerinin anlamını anlamıyor.

Yazar, "Elektroniğin Maceraları" kitabında matematik öğretmeni Taratar'ın ağzından şöyle diyor: "Matematikte asıl şey düşüncenin hareketi, yeni fikirlerdir." Pisagor teoremine yol açan şey tam da bu yaratıcı düşünce uçuşudur - bu kadar çok çeşitli kanıta sahip olması boşuna değildir. Tanıdık olanın sınırlarının ötesine geçmenize ve tanıdık şeylere yeni bir açıdan bakmanıza yardımcı olur.

Çözüm

Bu makale ötesine bakmanıza yardımcı olmak için tasarlandı Okul müfredatı matematikte ve yalnızca “Geometri 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) ve “Geometri 7-11” (A.V. Pogorelov) ders kitaplarında verilen Pisagor teoreminin kanıtlarını değil, aynı zamanda ve kanıtlamanın diğer ilginç yollarını da öğrenin ünlü teorem. Ayrıca Pisagor teoreminin günlük yaşamda nasıl uygulanabileceğine dair örneklere bakın.

İlk olarak, bu bilgi matematik derslerinde daha yüksek puanlar almanıza olanak sağlayacaktır; konuyla ilgili ek kaynaklardan gelen bilgiler her zaman çok takdir edilmektedir.

İkinci olarak matematiğin ne kadar ilginç olduğunu hissetmenize yardımcı olmak istedik. Emin olmak spesifik örnekler içinde her zaman yaratıcılığa yer vardır. Pisagor teoreminin ve bu makalenin size matematik ve diğer bilimleri bağımsız olarak keşfetmeniz ve heyecan verici keşifler yapmanız için ilham vereceğini umuyoruz.

Makalede sunulan kanıtları ilginç bulduysanız yorumlarda bize bildirin. Bu bilgiyi çalışmalarınızda yararlı buldunuz mu? Pisagor teoremi ve bu makale hakkında ne düşündüğünüzü bize yazın; tüm bunları sizinle tartışmaktan mutluluk duyarız.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.