Geometrik hacimsel figürler ve isimleri: top, küp, piramit, prizma, tetrahedron. Hacimsel cisimler

Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Kullanarak yetkin ve hızlı bir grafik tekniğinde ustalaşabilirsiniz. öğretim materyalleri ve Geometrik Grafik Dönüşümleri. Ama aslında derste çizimlerin öneminden defalarca bahsetmiştim.

Genel olarak, integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır, belirli bir integralin yardımıyla bir şeklin alanını, bir dönüş gövdesinin hacmini, yay uzunluğunu, yüzey alanını hesaplayabilirsiniz. ​​rotasyon ve çok daha fazlası. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser olun!

Koordinat düzleminde düz bir şekil hayal edin. Temsil mi? ... Acaba kim neyi sundu ... =))) Biz zaten alanını bulduk. Ancak ek olarak, bu şekil döndürülebilir ve iki şekilde döndürülebilir:

- apsis ekseni etrafında;
- y ekseni etrafında.

Bu yazıda her iki durum da tartışılacaktır. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir, en büyük zorluklara neden olur, ancak aslında çözüm, x ekseni etrafında daha yaygın olan döndürme ile hemen hemen aynıdır. Bonus olarak geri döneceğim bir şeklin alanını bulma sorunu, ve alanı ikinci şekilde - eksen boyunca nasıl bulacağınızı söyleyin. Materyal temaya iyi uyduğu için bir bonus bile değil.

En popüler döndürme türüyle başlayalım.

bir eksen etrafında düz şekil

örnek 1

Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Alan probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani düzlemde, denklemin ekseni tanımladığını unutmadan çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir. Daha rasyonel ve daha hızlı bir çizimin nasıl yapıldığını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel Fonksiyonların Grafikleri ve Özellikleri Ve Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Bu bir Çince hatırlatıcıdır ve şu an Artık durmuyorum.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi ile gölgelendirilir ve eksen etrafında dönen bu şekildir Döndürme sonucunda eksene göre simetrik olan böyle hafif yumurta şeklinde bir uçan daire elde edilir. Aslında, vücudun matematiksel bir adı var, ancak referans kitabında bir şey belirtmek için çok tembel, bu yüzden devam ediyoruz.

Bir devrim gövdesinin hacmi nasıl hesaplanır?

Dönen bir cismin hacmi formülle hesaplanabilir.:

Formülde, integralden önce bir sayı olmalıdır. Öyle oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılı.

"a" ve "be" entegrasyonunun sınırlarının nasıl belirleneceğini, tamamlanmış çizimden tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

fonksiyon... bu fonksiyon nedir? Çizime bakalım. Düz şekil yukarıdan parabol grafiği ile sınırlanmıştır. Bu, formülde ima edilen işlevdir.

Pratik görevlerde, bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki integralin karesi alınır: , yani integral her zaman negatif değildir, bu oldukça mantıklı.

Bu formülü kullanarak devrim gövdesinin hacmini hesaplayın:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl mesele dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevapta, boyutu - kübik birimleri belirtmek gerekir. Yani, dönüş bedenimizde yaklaşık 3.35 "küp" vardır. Neden tam olarak kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyon. Santimetreküp olabilir, olabilir Metreküp, belki kilometreküp vb., hayal gücünüzün bir uçan daireye sığdırabileceği bu kadar küçük yeşil adam.

Örnek 2

Vücudun hacmini bulun döndürme ile oluşançizgilerle sınırlanan şeklin ekseni etrafında , ,

Bu için bir örnek bağımsız çözüm. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Uygulamada da sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

, , ve çizgileriyle sınırlandırılmış şeklin apsis ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizin:

İstenen şekil mavi gölgeli. Eksen etrafında döndüğünde, dört köşeli böyle gerçeküstü bir halka elde edilir.

Devir gövdesinin hacmi şu şekilde hesaplanır: vücut hacmi farkı.

İlk önce kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Eksen etrafında döndüğünde kesik bir koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini olarak gösterelim.

Daire içine alınmış şekli düşünün yeşil. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çöreğimizin" hacmidir.

Dönen bir cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanıyoruz:

1) Kırmızı daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgi ile sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgi ile sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenen devir gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda, kesik bir koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak çözümün kontrol edilebileceği merak edilmektedir.

Kararın kendisi genellikle şuna benzer şekilde kısaltılır:

Şimdi biraz ara verelim ve geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle, Perelman'ın (başka bir) kitapta fark ettiği ciltlerle ilişkili illüzyonlara sahiptir. ilginç geometri. Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrim gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, ki bu çok büyük görünüyor. Bu arada, hayatı boyunca ortalama bir insan, 18 alana sahip bir oda hacminde bir sıvı içiyor. metrekare, aksine, çok küçük görünüyor.

Genel olarak, SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. Perelman'ın 1950'de yayınlanan aynı kitabı, mizahçının dediği gibi, akıl yürütmeyi çok iyi geliştirir ve size orijinali aramayı öğretir. standart dışı çözümler problemler. Son zamanlarda bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ediyorum, insani yardım isteyenler için bile erişilebilir. Hayır, ısmarlama bir eğlence, bilgelik ve iletişimde geniş bir bakış açısı önerdiğim için gülümsemenize gerek yok, harika bir şey.

Lirik bir konudan sonra, karar vermek sadece uygun yaratıcı görev:

Örnek 4

, , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şeklin ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan bir cismin hacmini hesaplayınız .

Bu bir kendin yap örneğidir. Her şeyin bantta gerçekleştiğine dikkat edin, yani hazır entegrasyon limitleri aslında verilmiştir. Grafikleri doğru yapın trigonometrik fonksiyonlar, dersin materyalini hatırlayın grafiklerin geometrik dönüşümleri: bağımsız değişken ikiye bölünebilirse: , grafikler eksen boyunca iki kez uzatılır. En az 3-4 puan bulunması arzu edilir trigonometrik tablolara göreçizimi daha doğru bir şekilde tamamlamak için. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev rasyonel olarak çözülebilir ve çok rasyonel değil.

Dönme ile oluşan bir cismin hacminin hesaplanması
bir eksen etrafında düz şekil

İkinci paragraf birinciden daha da ilginç olacak. Y ekseni etrafında dönen bir cismin hacmini hesaplama görevi de kontrol işi. geçerken dikkate alınacak bir şeklin alanını bulma problemi ikinci yol - eksen boyunca entegrasyon, bu sadece becerilerinizi geliştirmenize değil, aynı zamanda size en karlı çözümü nasıl bulacağınızı da öğretecektir. Ayrıca pratik bir anlamı var! Matematik öğretim yöntemleri öğretmenimin gülümseyerek hatırladığı gibi, birçok mezun ona şu sözlerle teşekkür etti: "Konunun bize çok yardımcı oldu, artık etkili yöneticileriz ve kadromuzu en iyi şekilde yönetiyoruz." Bu fırsatı değerlendirerek, özellikle edinilen bilgileri amacına uygun kullandığım için ona büyük şükranlarımı sunuyorum =).

Herkesin okumasını tavsiye ederim, hatta tam mankenler bile. Ayrıca, ikinci paragrafın asimile edilmiş materyali, çift katlı integrallerin hesaplanmasında paha biçilmez bir yardımcı olacaktır..

Örnek 5

Düz bir rakam verildiğinde çizgilerle sınırlanmış , , .

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun.
2) Bu çizgilerle çevrelenmiş düz bir şekli eksen etrafında döndürerek elde edilen cismin hacmini bulunuz.

Dikkat! Sadece ikinci paragrafı okumak isteseniz bile, önce zorunlu olarak ilkini oku!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşmaktadır. Kare ile başlayalım.

1) Çizimi çalıştıralım:

Fonksiyonun parabolün üst kolunu tanımladığını ve fonksiyonun parabolün alt kolunu tanımladığını görmek kolaydır. Önümüzde "yan yatmış" önemsiz bir parabol var.

Alanı bulunacak istenen şekil mavi renkle gölgelendirilir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? Derste ele alınan "olağan" şekilde bulunabilir. Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Ayrıca şeklin alanı, alanların toplamı olarak bulunur:
- segmentte ;
- segmentte.

Bu yüzden:

Bu durumda olağan çözümde yanlış olan ne? İlk olarak, iki integral vardır. İkincisi, integraller altındaki kökler ve integrallerdeki kökler bir hediye değildir, ayrıca entegrasyonun sınırlarını değiştirirken kafanız karışabilir. Aslında, integraller elbette ölümcül değil, ancak pratikte her şey çok daha üzücü, görev için sadece "daha iyi" işlevler aldım.

Daha akılcı bir çözüm var: ters fonksiyonlar ve eksen boyunca entegrasyon.

Ters fonksiyonlara nasıl geçilir? Kabaca konuşursak, "x"i "y" ile ifade etmeniz gerekir. İlk olarak, parabol ile ilgilenelim:

Bu kadar yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da türetilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgi ile her şey daha kolay:

Şimdi eksene bakın: lütfen açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan rakam, kırmızı noktalı çizgi ile gösterilen segmentte yer almaktadır. Ayrıca, segmentte düz çizgi parabolün üzerinde bulunur, bu da şeklin alanının size zaten tanıdık gelen formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir: . Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve daha fazlası değil.

! Not: Eksen boyunca entegrasyon limitleri ayarlanmalıdır kesinlikle aşağıdan yukarıya!

Alanı bulmak:

Bu nedenle segmentte:

Entegrasyonu nasıl yaptığıma dikkat edin, bu en rasyonel yol ve ödevin bir sonraki paragrafında bunun nedeni açık olacaktır.

Entegrasyonun doğruluğundan şüphe duyan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integral elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayınız.

Çizimi biraz farklı bir tasarımla yeniden çizeceğim:

Böylece mavi gölgeli şekil eksen etrafında döner. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "uçan kelebek".

Dönen cismin hacmini bulmak için eksen boyunca integral alacağız. İlk önce ters fonksiyonlara geçmeliyiz. Bu zaten yapılmış ve önceki paragrafta ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

Şimdi başımızı tekrar sağa eğerek figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, devrim gövdesinin hacmi, hacimler arasındaki fark olarak bulunmalıdır.

Kırmızı daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde ediyoruz. Bu hacmi ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürüyoruz ve ortaya çıkan dönüş gövdesinin hacmiyle gösteriyoruz.

Kelebeğimizin hacmi hacim farkına eşittir.

Dönen bir cismin hacmini bulmak için formülü kullanıyoruz:

Önceki paragrafın formülünden farkı nedir? Sadece harflerle.

Ve işte yakın zamanda bahsettiğim entegrasyonun avantajı, bulunması çok daha kolay integrali 4. kuvvete yükseltmektense.

Cevap:

Ancak hasta bir kelebek.

Aynı düz şekil eksen etrafında döndürülürse, doğal olarak farklı bir hacimde tamamen farklı bir dönüş gövdesi ortaya çıkacağına dikkat edin.

Örnek 6

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şekil ve bir eksen verilir.

1) Ters fonksiyonlara gidin ve bu doğrularla sınırlanan düz bir şeklin alanını değişken üzerinden integral alarak bulun.
2) Bu çizgilerle çevrelenmiş düz bir şekli eksen etrafında döndürerek elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Bu bir kendin yap örneğidir. Dileyenler ayrıca şeklin alanını "olağan" şekilde bulabilir ve böylece 1. noktadaki testi tamamlayabilirler). Ama tekrar ediyorum, düz bir şekli eksen etrafında döndürürseniz, o zaman farklı bir hacme sahip tamamen farklı bir dönüş gövdesi elde edersiniz, bu arada, doğru cevap (çözmeyi sevenler için de).

Dersin sonunda görevin önerilen iki öğesinin tam çözümü.

Oh, ve rotasyon cisimlerini ve entegrasyon içinde anlamak için başınızı sağa yatırmayı unutmayın!

Konu: “Uçak figürleri ve hacimli cisimler»

Hedefler:

düz geometrik şekiller ve üç boyutlu geometrik cisimler hakkındaki fikirleri genelleştirmek;

öğrencilerin üç boyutlu bir şekil elde etmenin bir yolunu "keşfedecekleri" koşullar yaratın.

Görevler:

düz figürlerin ve üç boyutlu cisimlerin sınıflandırılması, temel farklılıkları hakkındaki bilgileri pekiştirmek;

"devrim gövdesi" ve "çokyüzlüler" kavramlarını tanıtmak;

geometri bilimi ile güzel sanatlar arasında bağlantı kurmak;

bir origami küp modeli oluşturun;

mantıksal ve mekansal düşünme, dikkat, hafıza, hayal gücü, yaratıcılık geliştirmek;

aletlerle çalışırken doğruluğu, güvenlik düzenlemelerine uyumu geliştirmek.

Teçhizat: interaktif beyaz tahta, sunum, üç boyutlu geometrik şekillerin modelleri, dinleyici notları (bireysel kartlar).

Dersler sırasında.

Organizasyon zamanı. Bir başarı durumu yaratmak.

III . Temel bilgilerin güncellenmesi.

İlkokul öğretmeni: - Çocuklar, bugün dersimiz geometri ile ilgili.

Geometrinin ne olduğunu hatırlayalım mı? (Yunancadan tercüme edilen "geometri" kelimesi "ölçme" anlamına gelir. Matematikte "geometri", inceleyen bir bilimdir. geometrik şekiller ve özellikleri)

İlkokul öğretmeni: Hangi geometrik şekilleri biliyorsunuz? (Kare, dikdörtgen, küp, top vb.)

İlkokul öğretmeni: - Bu geometrik şekiller hangi tiplere ayrılabilir? (Hacimsel geometrik cisimler, düz geometrik şekiller, temel geometrik kavramlar)

İlkokul öğretmeni: - Dersimizin konusu "Düz figürler ve üç boyutlu cisimler."

Tüm nesneler düz veya hacimlidir.

Düz figürler ile üç boyutlu bedenler arasındaki fark nedir? (Düzlemsel şekiller yalnızca uzunluk ve genişliğe sahipken, katı şekiller uzunluk, yükseklik ve genişliğe sahiptir.)

Güzel Sanatlar Öğretmeni: - İşte buradasınilk görev (seçeneklere göre):düz şekiller boyamak sıcak renkler ve iri vücutlar soğuktur. Hangi renklere sıcak, hangilerine soğuk denildiğini hatırlayalım mı?

İlkokul öğretmeni: - Hacimsel cisimlerin yapısı nedir? (Kenarlar, yüzler, taban, üst).

- Üç boyutlu cisimlerin listelenen kısımlarını mizanpajda kim gösterecek?

İlkokul öğretmeni: - Takviye olarak yapalımikinci görev

(seçeneklere göre):

1 seçenek - Küpün ön ve üst yüzlerini gölgeleyin.

seçenek 2 - Eksik kenarları çizin.

3 seçenek - Beşgen prizmadaki köşe sayısını sayın.

İlkokul öğretmeni: - Ve şimdi oynayalım. Kimin kiminle "arkadaş" olduğunu bulalım (Toplu portakal, konili havuç, oval limon, dikdörtgen kutu).

Güzel sanatlar öğretmeni: - Geometri sanatta da bulunabilir. Örneğin, geometrik şekillere ait anıtlar:

Zabeel Park'ta Heykel Küpü, Dubai Birleşik Arap Emirlikleri

Pekin'de parlayan küp

bunun gibimermer top Rostov-on-Don şehrinin ana caddesi olan Bolshaya Sadovaya'da kuruldu. Bu topun şaşırtıcı derecede doğru şekilleri, tüm matematik ve özellikle geometri severleri şaşırtıyor.

Almanya'da düzenli çokyüzlüler anıtı

Belçika kırsalında düzensiz üçgen

Moskova bölgesinde sanatçı Kazimir Malevich'e bir anıt projesi

Kazemir Malevich, 20. yüzyılda yaşamış, geometrik şekillerden oluşan objektif olmayan eserler yaratan bir Sovyet sanatçısıdır. başrol kare oynuyor.

Kazimir Malevich'in otoportresi

Bu sanata "Suprematizm" (üstünlük, üstünlük) denir. Örneğin, ilk resimlerinden biri olan "Kara Meydan".

su taşıyan kadın

III . Yeni açılıyor.

1. Devrim organları ve çokyüzlüler.

İlkokul öğretmeni: - Hacimsel cisimler de iki gruba ayrılır: dönme cisimleri ve çokyüzlüler.

Neden düşünüyorsundevrim organları ? (Silindir, bir dikdörtgenin kendi kenarı etrafında eksen olarak döndürülmesiyle elde edilen bir cisim olarak kabul edilebilir. Koni, döndürülerek elde edilen bir cisim olarak kabul edilebilir. sağ üçgen bir eksen olarak yan tarafında.)

Güzel sanatlar öğretmeni: - Düzene bakın.

İlkokul öğretmeni: - Ve polyhedra nasıl karakterize edilir? ( çokyüzlü - geometrik gövde her tarafı kenarlarla sınırlanmıştır. Yüzlerin kenarlarına çokyüzlünün kenarları, kenarların uçlarına çokyüzlünün köşeleri denir.)

Güzel sanatlar öğretmeni: - Üç boyutlu figürler nasıl tasvir edilir?

Hacimsel figürler, chiaroscuro yardımıyla tasvir edilmiştir, aksi takdirde bir kağıdın üzerinde "yükseldiklerini" göstermek imkansızdır. Ve noktalı bir çizgi yardımıyla görünmez bir kontur tasvir edilir. Chiaroscuro kullanarak dönme katılarının ve çokyüzlülerin hacmini göstermeye çalışalım.Üçüncü görev :

Seçenek 1 - koni;

Seçenek 2 - piramit;

Seçenek 3 - silindir.( İş analizi.)

IV . Fizkultminutka. ( "Nokta, nokta, virgül ...") şarkısında seslendirildi

Nokta, nokta, virgül.

Elleriyle çömelerek gösterirler.

Ortaya komik bir surat çıktı.

Eller kulaklara, gövde döner.

Kollar, bacaklar, salatalık

Kolları, bacakları gösterin, ellerinizle bir oval çizin

Bir erkek olduğu ortaya çıktı.

Eller kemerde, gövde sola, sağa döner.

Bu noktalar ne görüyor?

Kırpma kirpikleri - parmaklar

Bu kalemler ne yapacak

Eller öne, omuzlara

bu bacaklar uzak mı

onu alıp götürüyorlar

Yerinde adımlar

Dünyada nasıl yaşayacak -

Bundan biz sorumlu değiliz.

Eller kemerde - gövde sola-sağa doğru eğilir

biz çizdik

oturdu

Sadece ve her şey!

kalktı

V . Pratik iş.

Güzel sanatlar öğretmeni: - Önemli uzamsal geometrik şekillerden biri de küptür.

Küpün yüzü hangi düzlem şeklidir? (Kare)

Küpün kaç yüzü vardır? (6)

Ve şimdi origami tekniğini kullanarak bir küp oluşturacağız. Böyle bir küp aynı parçalardan katlanabilir. Küpün yüzleri kadar çok olmalıdır. Parçaları şemaya göre bağlayın. keskin köşeler cebinize koyun. Unutmayın: her köşe bir cebe yerleştirilmelidir. Çiftler halinde çalışacaksınız. Her çift küpünü tamamlayacak. Toplanan küplerden başka bir geometrik şekil ekleyeceğiz - basamaklı bir piramit.

VI . Eserlerin sergilenmesi ve analizi.

7. . Dersin özeti. Hacimsel cisimler hangi gruplara ayrılabilir? (Devrim gövdesi ve çokyüzlüler)

Devrim organlarına örnekler verin. Koninin, kürenin, silindirin altında hangi düz şekil vardır?

Çokyüzlülere örnekler veriniz. Küpün kaç yüzü vardır?

8. .Refleks.

8. . Ev ödevi. G.s.46-47 (prizmanın, silindirin, piramidin hacmini gösterin, görünen ve görünmeyen kenarları ve yüzleri yazın)

Geometrik şekiller katı cisimler, Öklid (üç boyutlu) uzayda sıfır olmayan bir hacmi kaplar. Bu rakamlar, "uzaysal geometri" adı verilen bir matematik dalı tarafından incelenir. Üç boyutlu şekillerin özellikleri hakkındaki bilgiler mühendislikte ve doğa bilimlerinde kullanılmaktadır. Makalede soruyu, geometrik üç boyutlu şekilleri ve isimlerini ele alalım.

geometrik katılar

Bu cisimlerin üç uzamsal yönde sonlu bir boyutu olduğundan, onları geometride tanımlamak için üç koordinat eksenli bir sistem kullanılır. Bu eksenler aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Birbirlerine dik yani diktirler.
2. Bu eksenler normalleştirilir, yani her eksenin temel vektörleri aynı uzunluktadır.
3. Koordinat eksenlerinden herhangi biri sonuçtur vektör ürünü diğer ikisi

Hacimsel geometrik şekiller ve adlarından bahsetmişken, hepsinin 2 büyük sınıftan birine ait olduğuna dikkat edilmelidir:

1. Çokyüzlüler sınıfı. Sınıfın adına göre bu figürler düz kenarlara ve düz yüzlere sahiptir. Yüz, bir şekli sınırlayan bir düzlemdir. İki yüzün birleşimine kenar, üç yüzün birleşimine ise tepe noktası denir. Polyhedra, bir küpün geometrik figürünü, tetrahedrayı, prizmaları, piramitleri içerir. Bu şekiller için, her bir polihedron için kenar (C), kenar (P) ve köşe (B) sayısı arasında bir ilişki kuran Euler teoremi geçerlidir. Matematiksel olarak bu teorem şu şekilde yazılır: C + B = P + 2.
2. Yuvarlak gövdeler veya devrim gövdeleri sınıfı. Bu şekiller, onları oluşturan en az bir kavisli yüzeye sahiptir. Örneğin top, koni, silindir, simit.

Üç boyutlu şekillerin özelliklerine gelince, bunlardan en önemli ikisi ayırt edilmelidir:

1. Figürün uzayda kapladığı belli bir hacmin varlığı.
2. Her hacimsel figürün varlığı

Her şekil için her iki özellik de belirli matematiksel formüllerle açıklanmıştır.

En basit geometrik hacimsel şekilleri ve isimlerini aşağıda düşünün: küp, piramit, prizma, tetrahedron ve top.

Şekil küpü: açıklama

Küpün geometrik şeklinin altından, 6 adet kare düzlem veya yüzeyden oluşan üç boyutlu bir cisim anlaşılmaktadır. Bu şekle ayrıca 6 kenarı olduğu için normal altı yüzlü veya karşılıklı olarak birbirine dik 3 çift paralel kenardan oluştuğu için dikdörtgen paralel yüzlü denir. Küp denir ve tabanı bir karedir ve yüksekliği tabanın kenarına eşittir.

Küp bir çokyüzlü veya çokyüzlü olduğundan, kenar sayısını belirlemek için ona Euler teoremi uygulanabilir. Kenar sayısının 6 olduğunu ve küpün 8 köşesi olduğunu bilerek, kenar sayısı: P \u003d C + B - 2 \u003d 6 + 8 - 2 \u003d 12'dir.

Küpün kenar uzunluğunu "a" harfiyle belirtirsek, hacmi ve yüzey alanı için formüller sırasıyla şu şekilde görünecektir: V = a 3 ve S = 6 * a 2.

şekil piramit

Bir piramit, basit bir çokyüzlüden (piramidin tabanı) ve tabana bağlanan ve bir ortak köşeye (piramidin tepesi) sahip üçgenlerden oluşan bir çokyüzlüdür. Üçgenlere piramidin yan yüzleri denir.

Bir piramidin geometrik özellikleri, tabanında hangi çokgenin bulunduğuna ve ayrıca piramidin düz veya eğik olmasına bağlıdır. Düz piramitten, tabanına dik olan ve piramidin tepesinden geçen düz bir çizginin tabanı geometrik merkezinde kestiği bir piramit anlaşılır.

Basit piramitlerden biri, tabanında "a" kenarı olan bir kare bulunan, bu piramidin yüksekliği "h" olan dörtgen düz bir piramittir. Bu piramit figürü için hacim ve yüzey alanı eşit olacaktır: sırasıyla V \u003d a 2 * h / 3 ve S \u003d 2 * a * √ (h 2 + a 2 / 4) + a 2. Bunun için başvurarak, yüz sayısının 5 ve köşe sayısının 5 olduğunu dikkate alarak kenar sayısını elde ederiz: P \u003d 5 + 5 - 2 \u003d 8.

Tetrahedron figürü: açıklama

Bir tetrahedronun geometrik şeklinin altından 4 yüzden oluşan üç boyutlu bir cisim anlaşılmaktadır. Uzayın özelliklerine bağlı olarak, bu tür yüzler yalnızca üçgenleri temsil edebilir. Böylece, tetrahedron, tabanında bir üçgen bulunan piramidin özel bir halidir.

Bir tetrahedronun yüzlerini oluşturan 4 üçgenin tümü eşkenar ve birbirine eşitse, böyle bir tetrahedrona düzgün denir. Bu tetrahedronun 4 yüzü ve 4 köşesi vardır, kenar sayısı 4 + 4 - 2 = 6'dır. Söz konusu şekil için düz geometriden standart formüller uygulayarak şunu elde ederiz: V = a 3 * √2/12 ve S = √ 3*a 2, burada a bir eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğudur.

Doğada bazı moleküllerin düzenli bir tetrahedron şekline sahip olduğunu not etmek ilginçtir. Örneğin, hidrojen atomlarının bir tetrahedronun köşelerinde bulunduğu ve bir karbon atomuna kovalent olarak bağlandığı bir CH4 metan molekülü Kimyasal bağlar. Karbon atomu, tetrahedronun geometrik merkezinde bulunur.

İmalatı kolay olan tetrahedron şekli mühendislikte de kullanılmaktadır. Örneğin, gemiler için çapaların imalatında dört yüzlü şekil kullanılır. 4 Temmuz 1997'de Mars yüzeyine inen NASA uzay sondası Mars Pathfinder'ın da bir tetrahedron şekline sahip olduğuna dikkat edin.

Şekil prizması

Bu geometrik şekil, iki çokyüzlü alınarak, bunların uzayın farklı düzlemlerinde birbirine paralel yerleştirilmesi ve köşelerinin uygun bir şekilde birbirine bağlanmasıyla elde edilebilir. Sonuç bir prizmadır, iki çokyüzlüye tabanı denir ve bu çokyüzlüleri birleştiren yüzeyler paralelkenar şeklinde olacaktır. Kenarları (paralelkenarları) dikdörtgen olan bir prizmaya düz bir çizgi denir.

Prizma bir polihedrondur, bu nedenle Euler teoremi onun için doğrudur. Örneğin, prizmanın tabanı bir altıgen ise, prizmanın kenar sayısı 8 ve köşe sayısı 12'dir. Kenar sayısı şöyle olacaktır: P = 8 + 12 - 2 = 18. altıgen a kenarı ile hacim: V = a 2 *h*√3/4, yüzey alanı: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).

Basit geometrik hacimsel figürler ve isimlerinden bahsetmişken toptan bahsetmeliyiz. Top adı verilen hacimsel bir cisim, bir küre ile sınırlı bir cisim olarak anlaşılır. Buna karşılık, bir küre, uzayda kürenin merkezi olarak adlandırılan bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların bir koleksiyonudur.

Top, yuvarlak cisimler sınıfına ait olduğu için, onun için kenarlar, kenarlar ve köşeler kavramı yoktur. Topu sınırlayan kürenin yüzey alanı şu formülle bulunur: S \u003d 4 * pi * r 2 ve topun hacmi şu formülle hesaplanabilir: V \u003d 4 * pi * r 3 / 3, burada pi, pi sayısıdır (3.14), r, kürenin (topun) yarıçapıdır.

Hacimsel cisimler Etrafınıza bakın ve her yerde hacimsel cisimler bulacaksınız. Bunlar üç boyutu olan geometrik şekillerdir: uzunluk, genişlik ve yükseklik. Örneğin, sunmak çok katlı bina, "Bu ev üç revak uzunluğunda, iki pencere genişliğinde ve altı kat yüksekliğinde" demek yeterlidir. senden bilinen ilkokul küboid ve küp tamamen üç boyutla tanımlanmıştır. Çevremizdeki tüm nesnelerin üç boyutu vardır, ancak hepsine uzunluk, genişlik ve yükseklik denilemez. Örneğin, bir ağaç için sadece yüksekliği, bir ip için - uzunluk, bir çukur için - derinliği belirtebiliriz. Ve top için? Ayrıca üç boyutu var mı? İçine bir küp veya bir top konulabiliyorsa, bir cismin üç boyutu vardır (hacimlidir) deriz. Hem küre hem de silindir ve koninin üç boyutu vardır.

Çokyüzlü Düz çokgenlerle sınırlanmış bir gövdeye çokyüzlü denir. Örneğin, bir küp eşit karelerle sınırlandırılmıştır. Bir çokyüzlünün yüzeyini oluşturan çokgenlere yüz denir. Bu çokgenlerin kenarları çokyüzlünün kenarlarıdır. Çokgenlerin köşeleri Çokyüzlülerin köşeleri. Örneğin, bir küpün 6 ​​yüzü (hepsi eşit karelerdir), 12 kenarı ve 8 köşesi vardır.

Polihedra. Piramit. Sağdaki çokyüzlünün özel bir adı var: düzenli bir dörtgen piramit. Bu, ünlü Cheops piramidinin şeklidir: tabanında bir kare bulunur ve yan yüzler eşit üçgenlerdir. Bu çokyüzlünün kaç tane yüzü, kenarı ve köşesi vardır? Resimdeki figürlerin bazıları çokyüzlüdür, bazıları değildir. Çokyüzlüler için sayılar nelerdir?

Dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenler Bildiğimiz gibi çokgenler dışbükeydir ve dışbükey değildir. Dışbükey bir çokgen, çokgenin herhangi bir tarafını içeren herhangi bir çizginin bir tarafında yer alır. Ve dışbükey olmayan bir taraf için, onu içeren düz çizginin çokgeni parçalara "keseceği" bir taraf bulunabilir. Şekilde sarı çokgen dışbükey, mavi çokgen dışbükey değil. Polyhedra ayrıca dışbükey ve dışbükey değildir. Dışbükey bir çokyüzlü, yüzlerinden herhangi birini içeren herhangi bir düzlemin bir tarafında yer alır. Ve dışbükey olmayan bir çokyüzlü için, içinden geçen düzlemin onu parçalara "keseceği" bir yüz bulabilirsiniz. Şekildeki sarı çokyüzlü dışbükeydir, mavi çokyüzlü dışbükey değildir. Şekilde dışbükey çokyüzlüler hangi sayıların altında ve hangi dışbükey olmayanların altında gösterilmiştir?

Soruları cevaplayın: 1. Küpün yüzü nedir: a) doğru parçası; b) noktası; c) kare. 2. Küpün kenarı nedir: a) doğru parçası, b) noktası, c) karesi. 3. Küpün tepesi nedir: a) bir parça; b) bir nokta; c) bir kare. 4. Kaç tane yüz var? küboid: a) 8b) 6c) 12 5. Çokyüzlü a) herhangi bir üç boyutlu cisimdir b) düz çokgenlerle sınırlanmış bir cisimdir

Soruları cevaplayın: 6. Temel nedir? doğru piramit a) dikdörtgenb) karec) paralelkenar 7. Düzgün piramidin yüzü nedir a) dikdörtgenb) karec) düzgün üçgen 8. Dışbükey çokyüzlü a) herhangi bir yüzünü içeren herhangi bir düzlemin bir tarafında yer alır b) herhangi bir üç- boyutlu cisim c) yüzlerinden herhangi birini içeren herhangi bir düzlemin her iki yanında yer alır. 9. Şekilde dışbükey çokyüzlüler hangi sayıların altında gösterilmiştir?

Kullanılan kaynaklar: Okul web sitesi uzaktan Eğitim(Moskova) uzaktan eğitim okulları (Moskova) Dünya Çapında Çevrimiçi Ansiklopedi OGRANNIK.html OGRANNIK.html Yandex / resimler %D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD% D0% B0%D 1%8F%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1 %85%D1%83%D0%B3%D0%BE %D0 %BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0 %D1%8F%20%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8 %D0%B4 %D0 %B0&spsite=ru%3A8080%2For%2Fget_att.jsp%3Fatt_id%3D2493&rpt=simage Geometri Eğitimi 6-9