Eski sayı sistemleri. Sayıların ve sayı sistemlerinin tarihi – Bilgi Hipermarketi

Bu, sayıları ve sayılarla çalışmaya ilişkin kuralları temsil etmenin bir yoludur.

Çeşitlilik farklı sistemler Daha önce var olan ve zamanımızda kullanılan sayılar konumsal olmayan ve konumsal olarak ayrılabilir.

Antik çağın konumsal olmayan sistemleri

Arkeologların kemik, taş ve ahşap üzerine Paleolitik çağlara ait "notlar" üzerine yaptığı bir araştırma, insanların 3, 5, 7 ve 10 parçadan oluşan işaretleri gruplandırmaya çalıştıklarını gösterdi. Bu gruplandırma saymayı kolaylaştırdı. İnsanlar yalnızca birimler halinde değil, aynı zamanda üçlü, beşli vb. şeklinde de saymayı öğrendiler. bilgi işlem aracı insanların parmakları vardı, bu nedenle sayma çoğunlukla 5 veya 10 öğeden oluşan gruplar halinde yapılıyordu.

Daha sonra on onluk (yüz), on yüz (bin) vb. İsimleri verildi.Kayıt kolaylığı için, bu tür anahtar sayılar özel simgelerle - sayılarla belirlenmeye başlandı. Nesneleri sayarken 2 yüzlük, 5 onluk ve 4 nesne daha varsa, bu değeri kaydederken yüzler işareti iki kez, onlar işareti beş kez ve birimler işareti dört kez tekrarlandı.

Bu tür sayı sistemlerinde işaretin sayı kaydındaki konumu, gösterdiği değere bağlı değildir; bu nedenle konumsal olmayan sayı sistemleri olarak adlandırılırlar.

Konumsal olmayan sistemler eski Mısırlılar, Yunanlılar, Romalılar ve diğer bazı antik halklar tarafından kullanıldı.

Maya sayıları

Aşina olduğunuz konumsal ondalık sayı sistemiyle erken çocukluk ama belki de buna böyle denildiğini bilmiyorlardı.

Bir sayı sisteminin konumsal özelliğinin ne anlama geldiğini, herhangi bir çok değerli örnek kullanarak anlamak kolaydır. ondalık sayı. Örneğin, 333 sayısında ilk üç, üç yüz, ikinci - üç onluk, üçüncü - üç birlik anlamına gelir. Aynı rakam, sayı notasyonundaki konumuna bağlı olarak farklı anlamlara gelir.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Başka bir örnek:

32.478 = 3 10 000 + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 = 3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0.

Bu, herhangi bir ondalık sayının, kendisini oluşturan rakamların on'un karşılık gelen kuvvetlerinin çarpımlarının toplamı olarak temsil edilebileceğini gösterir. Aynı şey ondalık sayılar için de geçerlidir.

26,387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3.

Açıkçası, konumsal sistemin tek olası temeli "on" sayısı değildir. Ünlü Rus matematikçi N. N. Luzin bunu şu şekilde ifade etti: “Ondalık sistemin avantajları matematiksel değil zoolojiktir. Ellerimizde on yerine sekiz parmağımız olsaydı insanlık sekizlik sistemi kullanırdı.”

Konumsal sayı sisteminin temeli olarak 1'den büyük her doğal sayı alınabilir.Yukarıda bahsettiğimiz Babil sistemi 60 tabanına sahipti.Bu sistemin izleri zaman birimlerine göre (1 saat =) günümüze kadar gelmiştir. 60 dakika, 1 dakika = 60 saniye).

N tabanlı konumsal sistemde sayıları yazmak için n basamaklı bir alfabeye sahip olmanız gerekir. Genellikle bu amaç için n < 10, ilk n Arap rakamını kullanır ve n > 10 olduğunda, on Arap rakamına harfler eklenir.

İşte çeşitli sistemlerin alfabe örnekleri:

Bir sayının ait olduğu sistemin tabanı genellikle o sayının alt simgesiyle gösterilir:

101101 2, 3671 8, ЗВ8F 16.

Farklı konumsal sayı sistemlerinde bir dizi doğal sayı nasıl oluşturulur? Bu, ondalık sistemdekiyle aynı prensibe göre gerçekleşir. Önce tek basamaklı sayılar, sonra iki basamaklı sayılar, sonra üç basamaklı sayılar vb. vb. Ondalık sistemdeki en büyük tek basamaklı sayı 9'dur. Ardından iki basamaklı sayıları takip edin - 10, 11,12, ... İki basamaklı en büyük sayı 99, ardından 100, 101, 102 vb. 999'a, sonra 1000'e vb. d.

Örneğin beşli sistemi düşünün. İçinde doğal sayılar dizisi şöyle görünür:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, …, 444, 1000, ... .

Burada rakam sayısının ondalık sisteme göre daha hızlı “arttığı” görülmektedir. İkili sayı sisteminde basamak sayısı en hızlı şekilde artar. Aşağıdaki tablo, ondalık ve ikili sayıların doğal serisinin başlangıçlarını karşılaştırmaktadır:

Kısaca ana şey hakkında

Sayı sistemi, sayıları ve sayıların çalıştırılmasıyla ilgili kuralları yazmanın özel bir yoludur.

Sayı sistemleri konumsal veya konumsal olmayabilir. Konumsal olmayan sisteme bir örnek Roma sayı sistemidir.

Konumsal sayı sisteminde, her basamağın niceliksel değeri, sayı içindeki basamağın konumuna bağlıdır.

Bir sayı sisteminin alfabesi, içinde kullanılan sayılar kümesidir. Sayı sisteminin tabanı alfabenin kuvvetine (rakam sayısına) eşittir.

Konumsal sayı sisteminin mümkün olan en küçük tabanı 2'dir. Böyle bir sisteme ikili sistem denir.

Arap sayı sistemi ondalık ve konumsaldır.

Sorular ve görevler

1. Sayı sistemi nedir?
2. Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri arasındaki temel fark nedir?
3. Sayı sisteminin temeli nedir?
4. Arap sayı sistemine neden ondalık konumsal denir?
5. Konumsal bir sistemin en küçük tabanı nedir?
6. Ondalık sistemde eşit olarak Romen rakamlarıyla yazılan aşağıdaki sayılar nelerdir:
XI; IX; LX; CLX; MDXLVIII?
7. Aşağıdaki ondalık sayılara eşit olan sayıları Romen rakamlarıyla yazın:
13; 99; 666; 444; 1692.
8. 2, 3, 5, 8 tabanlı konum sistemleri için birden başlayarak doğal serideki yirmi sayıdan oluşan bir diziyi yazın. Sonuçları bir tablo şeklinde sunun:

9. Çarpım tablosunu oluşturun tek haneli sayılarİkili ve üçlü sayı sistemlerinde.

I. Semakin, L. Zalogova, S. Rusakov, L. Shestakova, Bilgisayar Bilimleri, 9. sınıf
İnternet sitelerinden okuyucular tarafından gönderildi

Bilgisayar bilimleri ders notlarının toplanması, Eğitim programı bilgisayar bilimleri 9. sınıf, derslere hazırlık materyalleri, hazır ödevler

Bu derse ilişkin düzeltmeleriniz veya önerileriniz varsa,

Sayıların tarihi ve sayı sistemi birbiriyle yakından ilişkilidir, çünkü sayı sistemi sayı gibi soyut bir kavramı kaydetmenin bir yoludur. Bu konu özellikle matematik alanıyla ilgili değildir çünkü bunların hepsi bir bütün olarak halk kültürünün önemli bir parçasıdır. Dolayısıyla sayıların ve sayı sistemlerinin tarihi incelendiğinde onları yaratan uygarlıkların tarihinin daha birçok yönüne kısaca değinilmektedir. Sistemler genel olarak konumsal, konumsal olmayan ve karma olarak ikiye ayrılır. Sayıların ve sayı sistemlerinin tüm tarihi onların değişiminden oluşur. Konumsal sistemler, bir sayının gösteriminde bir rakamla gösterilen miktarın, o rakamın konumuna bağlı olduğu sistemlerdir. Buna göre konumsal olmayan sistemlerde böyle bir bağımlılık yoktur. İnsanlık da karma sistemler yaratmıştır.

Okulda sayı sistemlerini incelemek

Bugün 9. sınıfta bilgisayar bilimleri dersi kapsamında “Sayıların tarihi ve sayı sistemleri” dersi işleniyor. Temel pratik önemi, sayıların bir sayı sisteminden diğerine (öncelikle ondalık sayıdan ikili sayıya) nasıl dönüştürüleceğini öğretmektir. Ancak sayıların tarihi ve sayı sistemleri bir bütün olarak tarihin organik bir parçasıdır ve bu konuyu da tamamlayabilir. Okul müfredatı. Aynı zamanda bugün savunulan disiplinler arası yaklaşımı da geliştirebilir. Genel tarih dersinin bir parçası olarak prensipte yalnızca tarih çalışılamaz. ekonomik gelişme sosyo-politik hareketler, hükümdarlıklar ve savaşlar, aynı zamanda küçük bir ölçüde sayıların ve sayı sistemlerinin tarihi. Bu durumda, 9. sınıf bilgisayar bilimleri dersinde sayıları bir sistemden diğerine dönüştürme açısından, daha önce ele alınan materyalden çok daha fazla sayıda örnek sağlamak mümkün olacaktır. Ve bu örnekler aşağıda da görüleceği üzere büyüleyicidir.

Sayı sistemlerinin ortaya çıkışı

Bir kişinin saymayı ne zaman ve en önemlisi nasıl öğrendiğini söylemek zordur (tıpkı dilin ne zaman ve en önemlisi nasıl ortaya çıktığını kesin olarak bulmanın imkansız olması gibi). Sadece tüm eski uygarlıkların kendi sayma sistemlerine sahip olduğu biliniyor, bu da sayıların tarihinin ve sayı sisteminin uygarlık öncesi dönemlerden kaynaklandığı anlamına geliyor. Taşlar ve kemikler bize neler olduğunu anlatamaz. insan bilinci ve yazılı kaynaklar henüz oluşturulmamıştı. Belki de kişinin ganimeti bölüşürken ya da çok daha sonra, zaten o dönemde hesaba ihtiyacı vardı. neolitik devrim yani tarıma geçiş döneminde tarla parsellerinin bölünmesi için. Bu konuyla ilgili herhangi bir teori aynı derecede temelsiz olacaktır. Ancak çeşitli dillerin tarihi incelenerek hâlâ bazı varsayımlarda bulunulabilir.

En eski sayı sisteminin izleri

En mantıklı ilk sayma sistemi “bir” ve “çok” kavramları arasındaki karşıtlıktır. Bu bizim için mantıklı çünkü modern Rus dilinde sadece bir tane var ve çoğul. Ancak birçoğunda iki nesneyi belirtmek için de kullanılıyordu. İlk zamanlarda vardı Hint-Avrupa dilleri Eski Rusça dahil. Böylece sayıların tarihi ve sayı sistemi “bir”, “iki” ve “çok” kavramlarının ayrılmasıyla başlamıştır. Ancak zaten bildiğimiz en eski uygarlıklarda daha ayrıntılı sayı sistemleri geliştirildi.

Mezopotamya sayı gösterimi

Sayı sisteminin ondalık olmasına alışığız. Bu anlaşılabilir bir durumdur: Ellerde 10 parmak vardır. Ancak yine de sayıların ve sayı sistemlerinin ortaya çıkış tarihi daha karmaşık aşamalardan geçti. Mezopotamya sayı sistemi altmışlıktır. Bu nedenle bir saatte 60 dakika, bir dakikada ise 60 saniye vardır. Bu nedenle yıl, 60'ın katı olan ay sayısına, gün ise aynı sayıda saate bölünür. Başlangıçta bunlar güneş saatleriydi, yani her biri günün 1/12'si ışıktı (modern Irak topraklarında süresi çok fazla değişmedi). Ancak çok sonra saatin süresini güneşe göre belirlememeye başladılar ve buna 12 gece saati de eklediler.

Bu altmışlık sistemin işaretlerinin sanki ondalık sayıymış gibi yazılması ilginçtir - yalnızca iki işaret vardı (bir ve on'u belirtmek için, altı veya altmış değil, on'u belirtmek için), sayılar bu işaretlerin birleştirilmesiyle elde ediliyordu. Herhangi bir büyük sayıyı bu şekilde yazmanın ne kadar zor olduğunu hayal etmek bile korkutucu.

Eski Mısır sayı sistemi

Gerek ondalık sayı sistemindeki sayıların tarihi, gerekse sayıları belirtmek için çok sayıda sembolün kullanılması eski Mısırlılarla başlamıştır. Bir, yüz, bin, on bin, yüz bin, bir milyon ve on milyonu temsil eden hiyeroglifleri birleştirerek istenilen sayıyı belirtiyorlardı. Bu sistem, yalnızca iki işaretin kullanıldığı Mezopotamya sisteminden çok daha kullanışlıydı. Ancak aynı zamanda bariz bir sınırlaması da vardı: On milyonun çok üzerinde bir rakamı yazmak zordu. Doğru, çoğu medeniyet gibi eski Mısır medeniyeti de Antik Dünya, ben böyle rakamlara rastlamadım.

Matematiksel gösterimde Helenik harfler

Avrupa felsefesinin tarihi, bilimi, siyasi düşünce ve çok daha fazlası, büyük ölçüde Antik Hellas'ta başlıyor ("Hellas" bir kişisel isimdir, Romalılar tarafından icat edilen "Yunanistan" yerine tercih edilir). Bu medeniyette matematik bilgisi de gelişmiştir. Helenler sayıları harflerle yazarlardı. 1'den 9'a kadar her sayı, 10'dan 90'a kadar her on ve 100'den 900'e kadar her yüz ayrı bir harfle temsil ediliyordu. Yalnızca bin, bir ile aynı harfle ancak harfin yanında farklı bir işaretle temsil ediliyordu. Sistem, büyük sayıların bile nispeten kısa yazılarla gösterilmesine izin verdi.

Helenik sayı sisteminin halefi olarak Slav sayı sistemi

Sayıların ve sayı sistemlerinin tarihi, atalarımız hakkında birkaç söz söylemeden tamamlanmış sayılmaz. Kiril alfabesi bildiğiniz gibi Helen alfabesine dayanmaktadır, bu nedenle Slav sayı yazma sistemi de Helen alfabesine dayanmaktadır. Burada da 1'den 9'a kadar her sayı, 10'dan 90'a kadar her on ve 100'den 900'e kadar her yüz ayrı harflerle gösterildi, sadece Helen harfleri değil, Kiril veya Glagolitik harfler kullanıldı. Ayrıca vardı ilginç özellik: Hem o dönemdeki Helen metinleri hem de tarihlerinin başlangıcından itibaren Slav metinleri soldan sağa yazılmış olmasına rağmen, Slav rakamları sanki sağdan sola yazılmış, yani onlu gösteren harfler sağa yerleştirilmişti. Birimleri ifade eden harfler, yüzleri ifade eden harfler, onlarcayı ifade eden harflerin sağına yerleştirildi, vb.

Tavan arası sadeleştirme

Helen bilim adamları muazzam boyutlara ulaştı. Roma'nın fethi araştırmalarını kesintiye uğratmadı. Örneğin, dolaylı kanıtlara bakılırsa, Kopernik'in Güneş merkezliyi geliştirmesinden 18 yüzyıl önce, tüm bu karmaşık hesaplamalarda Helen bilim adamlarına sayıları kaydetme sistemi yardımcı oldu.

Ama için sıradan insanlarörneğin tüccarlar, sistemin genellikle çok karmaşık olduğu ortaya çıktı: onu kullanmak için, 27 harfin sayısal değerlerini ezberlemek gerekiyordu (modern okul çocuklarının öğrendiği 10 sembolün sayısal değerleri yerine) ). Bu nedenle, Attika sistemi adı verilen basitleştirilmiş bir sistem ortaya çıktı (Attika, bir zamanlar bir bütün olarak bölgede ve özellikle de bölgenin deniz ticaretinde lider olan Hellas bölgesidir, çünkü Attika'nın başkenti ünlüdür). Atina). Bu sistemde sadece bir, beş, on, yüz, bin ve on bin rakamları ayrı harflerle gösterilmeye başlandı. Yalnızca altı karakter olduğu ortaya çıktı - hatırlanması çok daha kolay ve tüccarlar hala çok karmaşık hesaplamalar yapmadı.

Roma rakamları

Eski Romalıların hem sayı sistemi hem de sayıların tarihi ve prensip olarak bilimlerinin tarihi, Helen tarihinin bir devamıdır. Attic sistemi esas alındı, Helenik harfler basitçe Latin harfleriyle değiştirildi ve elli ve beş yüz için ayrı bir isim eklendi. burada karmaşık hesaplamalar Bilim adamları incelemelerinde 27 harflik Helen sistemiyle yazmaya devam ettiler (ve genellikle incelemeleri kendileri Helen dilinde yazdılar).

Roma sayı kayıt sistemine özellikle mükemmel denemez. Özellikle Eski Rus'a göre çok daha ilkeldir. Ancak tarihsel olarak öyle gelişti ki, hala Arap (sözde) rakamlarla aynı seviyede korunuyor. Siz de bu alternatif sistemi unutmamalı ve kullanmayı bırakmalısınız. Özellikle günümüzde Arap rakamları, Romen rakamları kullanılarak sıralı sayıları belirtmek için sıklıkla kullanılmaktadır.

Büyük eski Hint icadı

Bugün kullandığımız sayılar ilk olarak Hindistan'da ortaya çıktı. Sayıların tarihi ve sayı sisteminin bu önemli dönüşü tam olarak ne zaman yaptığı bilinmemektedir, ancak büyük olasılıkla MS 5. yüzyıldan daha geç bir tarihte olmadığı düşünülmektedir. Sıfır kavramını geliştirenlerin Hintliler olduğu sıklıkla vurgulanır. Bu kavram diğer uygarlıkların matematikçileri tarafından biliniyordu, ancak gerçekte yalnızca Hint sistemi onu tam olarak dahil etmeyi mümkün kıldı. matematiksel gösterimler ve dolayısıyla hesaplamalarda.

Hint Sayı Sisteminin Dünyaya Yayılması

Muhtemelen 9. yüzyılda Hint rakamları Araplar tarafından ödünç alındı. Avrupalılar eski mirası küçümserken ve hatta bazı bölgelerde onu pagan olarak nitelendirerek kasıtlı olarak yok ederken, Araplar eski Yunanlıların ve Romalıların başarılarını özenle korudular. Fetihlerin en başından beri, eski yazarların Arapçaya çevirileri popüler bir ürün haline geldi. Ortaçağ Avrupalıları, esas olarak Arap bilim adamlarının incelemeleri aracılığıyla eski düşünürlerin mirasını yeniden kazandılar. Bu risalelerle birlikte Avrupa'da Arapça olarak anılmaya başlanan Hint rakamları da ortaya çıktı. Hemen kabul edilmediler çünkü çoğu insan için Romalılardan daha az anlaşılır oldukları ortaya çıktı. Ancak yavaş yavaş bu işaretleri kullanan matematiksel hesaplamaların rahatlığı cehaleti yendi. Avrupa'nın sanayileşmiş ülkelerinin liderliği, Arap rakamları olarak adlandırılan rakamların bugün tüm dünyaya yayılmasına ve neredeyse her yerde kullanılmasına yol açmıştır.

Modern bilgisayarların ikili sayı sistemi

Bilgisayarların ortaya çıkışıyla birlikte birçok bilgi alanı yavaş yavaş önemli bir dönüşüme uğradı. Sayıların ve sayı sistemlerinin tarihi bir istisna değildi. İlk bilgisayarın fotoğrafı çok az benzerlik taşıyor modern cihaz, bu makaleyi okuduğunuz monitörde, ancak her ikisinin de çalışması yalnızca sıfırlardan ve birlerden oluşan bir kod olan notasyona dayanmaktadır. Sıradan bilinç için, yalnızca iki sembolün (aslında bir sinyal veya yokluğu) birleşiminin yardımıyla en karmaşık hesaplamaları gerçekleştirebilmeniz ve (uygun programa sahipseniz) sayıları otomatik olarak ondalık basamağa dönüştürebilmeniz hala şaşırtıcı olmaya devam ediyor. sayı sistemini ikili, onaltılı, altmış altılı ve diğer herhangi bir sistemdeki sayılara dönüştürür. Ve böyle bir ikili kod yardımıyla sayıların tarihini ve tarihteki farklı medeniyetlerin sayı sistemini yansıtan bu makale monitörde görüntüleniyor.

Bu konuyu inceledikten sonra şunları öğrenecek ve tekrarlayacaksınız:

Hangi sayı sistemleri mevcut;
- sayıların bir sayı sisteminden diğerine nasıl dönüştürüldüğü;
- bilgisayarın hangi sayı sistemleriyle çalıştığı;
- bilgisayar belleğinde farklı sayıların nasıl temsil edildiği.

Antik çağlardan beri insanlar sayısal bilgileri belirleme (kodlama) sorunuyla karşı karşıya kalmıştır.

Küçük çocuklar yaşlarını parmaklarıyla gösterirler. Bir pilot uçağı düşürdü, bunun için yıldız işareti aldı, Robinson Crusoe günleri çentiklerle saydı.

Sayı, özellikleri aynı olan bazı gerçek nesneleri ifade ediyordu. Bir şeyi saydığımızda veya anlattığımızda, nesneleri kişiliksizleştiriyor gibiyiz. özelliklerinin aynı olduğunu ima ediyoruz. Ancak bir sayının en önemli özelliği bir nesnenin varlığıdır. birim ve onun yokluğu, yani. sıfır.

Sayı nedir?

Bu, sayıları kodladığımız bir dizi sembol olan sayıların alfabesidir. Sayılar sayısal alfabedir.

Sayılar ve sayılar iki farklı şeydir! İki sayıyı ele alalım: 5 2 ve 2 5. Sayılar aynı - 5 ve 2.

Bu sayılar nasıl farklı?

Sayı sırasına göre mi? - Evet! Ancak rakamın sayıdaki konumunu söylemek daha iyidir.

Sayı sisteminin ne olduğunu düşünelim mi?

Bu rakam mı yazıyor? Evet! Ama istediğimiz gibi yazamayız; diğer insanların bizi anlaması gerekir. Bu nedenle aynı zamanda kullanılması da gereklidir. belirli kurallar onların kayıtları.

Sayı sistemi kavramı

Sayılar nesnelerin sayısı hakkındaki bilgileri kaydetmek için kullanılır. Sayılar, sayı sistemi adı verilen özel işaret sistemleri kullanılarak yazılır. Sayı sistemlerinin alfabesi rakam adı verilen sembollerden oluşur. Örneğin ondalık sayı sisteminde sayılar bilinen on rakam kullanılarak yazılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Sayı sistemi, sayıların şu kurallara göre yazıldığı bir işaret sistemidir: belirli kurallar sayılar adı verilen bazı alfabelerdeki karakterleri kullanma.

Tüm sayı sistemleri iki büyük gruba ayrılır: konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri. Konumsal sayı sistemlerinde bir rakamın değeri sayı içindeki konumuna bağlıdır, ancak konumsal olmayan sayı sistemlerinde bu bağlı değildir.

Konumsal olmayan sayı sistemleri konumsal olanlardan daha önce ortaya çıkmıştır, bu nedenle öncelikle çeşitli konumsal olmayan sayı sistemlerini ele alacağız.

Konumsal olmayan sayı sistemleri

Konumsal olmayan sayı sistemi, bir rakamın niceliksel eşdeğerinin (“ağırlık”) sayı kaydındaki konumuna bağlı olmadığı bir sayı sistemidir.

Konumsal olmayan sistemler şunları içerir: Roma sayı sistemi, alfabetik sayı sistemleri ve diğerleri.

İlk başta insanlar önlerindeki TEK nesnenin olup olmadığını ayırt edebiliyordu. Birden fazla madde varsa “ÇOK” dediler.

Matematiğin ilk kavramları “az”, “çok”, “aynı” idi.

Bir kabile, yakaladığı balığı başka bir kabilenin insanlarının yaptığı taş bıçaklarla takas ederse, kaç balık ve kaç bıçak getirdiklerini saymaya gerek kalmıyordu. Kabileler arası alışverişin gerçekleşmesi için her balığın yanına bir bıçak koymak yeterliydi.

Hesap, bir kişinin bulduğu nesnelerin sayısı hakkında kabile arkadaşlarına bilgi vermesi gerektiğinde ortaya çıktı.

Ve eski zamanlarda birçok halk birbiriyle iletişim kurmadığından, farklı halklar farklı sayı sistemleri ve sayı ve sayıların temsillerini geliştirdiler.

Pek çok dildeki rakamlar, ilkel insanın sayma araçlarının öncelikle parmaklardan oluştuğunu gösteriyor.

Parmakların mükemmel bir bilgi işlem makinesi olduğu ortaya çıktı. Onların yardımıyla 5'e kadar sayılabilir, iki elinizi tutarsanız 10'a kadar sayabilirsiniz. Eski zamanlarda insanlar çıplak ayakla yürürdü. Bu nedenle saymak için el ve ayak parmaklarını kullanabiliyorlardı. Polinezya'da hâlâ 20'nci sayı sistemini kullanan kabileler var.

Ancak sayma birimi parmak değil eklem olan halklar da bilinmektedir.

On ikilik sayı sistemi oldukça yaygındı. Kökeni parmakla saymayla bağlantılıdır. Diğer dört parmağın falankslarını başparmakla saydılar: Toplamda 12 tane var.

On ikilik sayı sisteminin unsurları İngiltere'de ölçü sisteminde (1 ayak = 12 inç) ve para sisteminde (1 şilin = 12 peni) korundu. Günlük yaşamda sıklıkla on ikilik sayı sistemine rastlıyoruz: 12 kişilik çay ve masa takımları, bir mendil seti - 12 adet.

Sayılar ingilizce dili birden on ikiye kadar kendi adları vardır, sonraki sayılar bileşiktir:

13'ten 19'a kadar olan sayılar için kelimelerin sonları gençtir. Örneğin 15-15.

Parmak sayımı bazı yerlerde günümüze kadar korunmuştur. Örneğin Chicago'daki dünyanın en büyük tahıl borsasında teklifler, talepler ve fiyatlar tek kelime etmeden brokerlerin parmaklarıyla duyuruluyor.

Büyük sayıları ezberlemek zordu, bu nedenle kolların ve bacakların "sayma makinesine" çeşitli cihazlar eklendi. Rakamların yazılması gerekiyordu.

Nesnelerin sayısı herhangi bir sert yüzeye tire veya serif çizilerek tasvir ediliyordu: taş, kil...

Birim (“çubuk”) sayı sistemi

Sayı yazma ihtiyacı çok eski zamanlarda, insanlar saymaya başlar başlamaz ortaya çıktı. Nesnelerin sayısı herhangi bir sert yüzey üzerine çizgiler veya serifler çizilerek tasvir ediliyordu: taş, kil, ahşap (kağıdın icadı hâlâ çok ama çok uzaktaydı). Böyle bir kayıttaki her nesne bir satıra karşılık geliyordu. Arkeologlar, Paleolitik döneme (MÖ 10 - 11 bin yıl) kadar uzanan kültürel katmanların kazıları sırasında bu tür "kayıtlar" buldular.

Bilim adamları bu sayıları yazma yöntemine birim (“çubuk”) sayı sistemi adını verdiler. İçinde sayıları kaydetmek için yalnızca bir tür işaret kullanıldı - "çubuk". Böyle bir sayı sistemindeki her sayı, sayısı belirlenen sayıya eşit olan çubuklardan oluşan bir çizgi kullanılarak belirlendi. Perulular sayıları hatırlamak için üzerlerine düğümler atılmış çok renkli ipler kullanıyorlardı. İlginç yol MÖ 8. yüzyılda Hint uygarlıkları tarafından sayıları kaydetmek için kullanıldı yeni Çağ. “Düğüm yazısını” yani birbirine bağlanmış iplikleri kullandılar. Bu ipliklerin üzerindeki semboller genellikle içlerine taş veya deniz kabuğu dokunmuş düğümlerdi. Sayıların düğümlü kaydı, İnkaların savaşçı sayısı hakkında bilgi iletmesine, belirli bir eyaletteki ölüm veya doğum sayısını göstermesine vb. olanak sağladı.

MS 1100 civarında e. İngiliz kralı Henry I, tarihteki en sıra dışı para sistemlerinden birini icat etti; buna "ölçüm çubuğu" sistemi adı verildi. Bu para sistemi 726 yıl sürdü ve 1826'da kaldırıldı.

Mezhebi gösteren çentiklere sahip cilalı ahşap şerit, çentikleri korumak için tüm uzunluğu boyunca bölündü.

Böyle bir sayı yazma sisteminin sakıncaları ve uygulamasının sınırlamaları açıktır: Yazılması gereken sayı ne kadar büyükse, çubuk dizisi de o kadar uzun olur. Evet ve kayıt yaparken çok sayıdaÇok fazla çubuk uygulayarak veya tam tersine onları bitirmeyerek hata yapmak kolaydır.

Eski Mısır ondalık sayı sistemi (MÖ 2,5 bin)

MÖ 3. binyıl civarında eski Mısırlılar, anahtar sayıların 1, 10, 100 vb. olduğu kendi sayısal sistemlerini geliştirdiler. özel simgeler kullanıldı - hiyeroglifler.

Diğer tüm sayılar, toplama işlemi kullanılarak bu anahtar sayılardan oluşturulmuştur. Eski Mısır'ın sayı sistemi ondalıktır ancak konumsal değildir ve toplamsaldır.

Numaranın rakamları 'dan başlayarak kaydedildi. büyük değerler ve daha küçük olanlarla bitiyor. Onlar, birlikler veya başka bir rakam yoksa bir sonraki rakama geçtik.

9'dan fazla aynı hiyeroglifi kullanamayacağınızı bilerek bu iki sayıyı eklemeyi deneyin ve bu sistemle çalışmak için özel bir kişiye ihtiyaç olduğunu hemen anlayacaksınız. Sıradan bir insana Bu mümkün değil.

Roma ondalık sayı sistemi (MÖ 2 bin yıldan günümüze)

Konumsal olmayan sayı sistemlerinden en yaygın olanı Roma sistemidir.

Romen rakamlarıyla ilgili temel sorun çarpma ve bölmenin zor olmasıdır. Roma sisteminin bir diğer dezavantajı ise şudur: Büyük sayıları yazmak yeni sembollerin kullanılmasını gerektirir. Kesirli sayılar yalnızca iki sayının oranı şeklinde yazılabilir. Ancak Orta Çağ'ın sonuna kadar temel düzeydeydiler. Ancak zamanımızda hala kullanılıyorlar.

Nerede olduğunu hatırlıyor musun?

Bir rakamın anlamı sayı içindeki konumuna bağlı değildir.

Örneğin, XXX (30) sayısında, X sayısı üç kez görünür ve her durumda aynı değeri belirtir - 10 sayısı, 10'un üç sayısının toplamı 30'a eşittir.

Romen rakamı sisteminde bir sayının büyüklüğü, sayıdaki rakamların toplamı veya farkı olarak tanımlanır. Küçük sayı büyük sayının solundaysa çıkarılır, sağındaysa eklenir.

Unutmayın: 5, 50, 500 tekrarlanmaz!

Hangileri tekrarlanabilir?

Büyük rakamın solunda küçük rakam varsa çıkarılır. En düşük rakam en yüksek rakamın sağındaysa eklenir - I, X, C, M 3 defaya kadar tekrarlanabilir.

Örneğin:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 = (Yüz C, kırk XL ve dokuz ise IX) = CXLIX

Örneğin, 1998 ondalık sayısını Romen rakamı sisteminde yazmak şu şekilde görünecektir: MSMХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Alfabetik sayı sistemleri
Slav Kiril ondalık alfabetik

Bu numaralandırma, 9. yüzyılda Yunan keşiş kardeşler Cyril ve Methodius tarafından Slavlar için kutsal İncil kitaplarının tercüme edilmesi amacıyla Slav alfabe sistemi ile birlikte oluşturulmuştur. Bu sayı yazma biçimi, Yunanca sayı gösterimine tamamen benzemesi nedeniyle yaygınlaştı. 17. yüzyıla kadar, sayıların bu şekilde kaydedilmesi bölgede resmiydi. modern Rusya, Belarus, Ukrayna, Bulgaristan, Macaristan, Sırbistan ve Hırvatistan. Şimdiye kadar Ortodoks kilise kitapları bu numaralandırmayı kullanıyordu.

Sayılar rakamlardan soldan sağa, büyükten küçüğe aynı şekilde yazılıyordu. 11'den 19'a kadar olan sayılar, birimi ondan önce gelecek şekilde iki haneli olarak yazılmıştır:

Kelimenin tam anlamıyla "on dört" - "dört ve on" okuyoruz. Duyduğumuz gibi yazıyoruz: 10+4 değil, 4+10, - dört ve on. 21 ve üzeri sayılar tersten yazılarak tam onluk işareti ilk sıraya konuldu.

Slavların kullandığı sayı gösterimi toplamsaldır, yani yalnızca toplamayı kullanır:

= 800+60+3

Harfleri ve sayıları karıştırmamak için, şekilde gördüğümüz sayıların üzerinde yatay çizgiler olan başlıklar kullanıldı.

900'den büyük sayıları belirtmek için mektuba eklenen özel simgeler kullanıldı. Rakamlar şu şekilde oluştu:

Slav numaralandırması 17. yüzyılın sonuna kadar, konumsal ondalık sayı sistemi Peter I'in reformlarıyla Avrupa'dan Rusya'ya gelene kadar mevcuttu.

Eski Hint sayı sistemleri

Kharoshti sayı sistemi Hindistan'da MÖ 6. yüzyıl ile MS 3. yüzyıl arasında kullanılıyordu. Bu konumsal olmayan bir toplamsal sayı sistemiydi. Çok az şey hayatta kaldığı için onun hakkında çok az şey biliniyor yazılı belgeler o dönem. Kharoshti sistemi, dört sayısının bir ile on arasında bir ara adım olarak seçilmesi açısından ilginçtir. Sayılar sağdan sola doğru yazılıyordu.

Hindistan'da bu sistemle birlikte bir Brahmi sayı sistemi daha vardı.

Brahmi sayıları soldan sağa yazılmıştır. Ancak her iki sistemin de oldukça ortak noktaları vardı. Özellikle ilk üç rakam birbirine çok benziyor. Ortak nokta yüze kadar toplama yönteminin kullanılması, bundan sonra ise çarpım yönteminin kullanılmasıydı. Önemli bir fark Brahmi sayıları, 4'ten 90'a kadar olan sayıların yalnızca bir işaretle temsil edilmesiydi. Brahmi rakamlarının bu özelliği daha sonra Hindistan'da konumsal bir ondalık sistem oluşturmak için kullanıldı.

Eski Hindistan'da da sözlü bir sayı sistemi vardı. Çarpımsal ve konumsaldı. Sıfır işareti "boş", "gökyüzü" veya "delik" olarak telaffuz ediliyordu. Birim “ay” veya “dünya” gibidir. İki, “ikizler”, “gözler”, “burun delikleri” veya “dudaklar” gibidir. Dördü “okyanuslar”, “ana yönler”. Örneğin 2441 sayısı şu şekilde telaffuz ediliyordu: Okyanusların gözleri ayın ana yönleridir.

Konumsal olmayan sayı sistemlerinin dezavantajları:

1. Büyük sayıların kaydedilmesi için yeni sembollerin kullanılmasına sürekli bir ihtiyaç vardır.

2. Kesirli temsil etmek imkansızdır ve negatif sayılar.

3. Aritmetik işlemleri gerçekleştirmek zordur çünkü bunları gerçekleştirecek algoritmalar yoktur. Özellikle, sayı sistemleriyle birlikte tüm ulusların parmak sayma yöntemleri vardı ve Yunanlıların bizim abaküsümüze benzeyen bir abaküs sayma tahtası vardı.

Orta Çağ'ın sonuna kadar sayıların kaydedilmesi için evrensel bir sistem yoktu. Ancak matematik, fizik, teknoloji, ticaret ve finansal sistemin gelişmesiyle birlikte tek bir evrensel sayı sistemine olan ihtiyaç ortaya çıktı, ancak şimdi bile birçok kabile, ulus ve milliyet başka sayı sistemleri kullanıyor.

Ancak günlük konuşmada hala konumsal olmayan sayı sisteminin unsurlarını kullanıyoruz, özellikle yüz diyoruz, on onluk değil, bin, bir milyon, bir milyar, bir trilyon.

Konumsal sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemi, bir rakamın niceliksel eşdeğerinin (“ağırlık”) sayı gösterimindeki konumuna bağlı olduğu bir sayı sistemidir.

Herhangi konumlandırma Sistemi Sayı, temeli ile karakterize edilir.

Konumsal sayı sisteminin temeli - Belirli bir sayı sistemindeki sayıları temsil etmek için kullanılan farklı basamakların sayısı.

Herhangi bir doğal sayı temel olarak alınabilir - iki, üç, dört, ..., yeni bir konum sistemi oluşturur: ikili, üçlü, dörtlü, vb.

Babil ondalık / altmışlık

MÖ 2. binyıl civarında eski Babil'de böyle bir sayı sistemi vardı - 60'tan az sayılar iki işaretle gösteriliyordu: bir ve on için. Babillilerin kil tabletler üzerine sopalarla yazdıklarından dolayı kama şeklinde bir görünüme sahiplerdi. üçgen şekli. Bu işaretler gerekli sayıda tekrarlandı, örneğin

Sümerlerin ondalık sayı sistemine sahip oldukları, Samilerin eline geçtikten sonra ise Samilerin altmışlık sistemine uyarlandığı sanılmaktadır.

Tam sayıların altmışlık gösterimi Asur-Babil krallığı dışında yaygın olarak kullanılmıyordu, ancak altmışlık kesirler hala zamanı ölçmede kullanılıyor. Örneğin bir dakika = 60 saniye, bir saat = 60 dakika.

Antik Çin ondalık sayısı

Bu sistem, kullandığımız modern "Arap" sistemiyle aynı ilkeleri içerdiğinden en eski ve en ilerici sistemlerden biridir. Bu sistem yaklaşık 4.000 bin yıl önce Çin'de ortaya çıktı.

Bu sistemde sayılar tıpkı bizimki gibi soldan sağa, büyükten küçüğe doğru yazılıyordu. Onlar, birlikler veya başka bir rakam yoksa, ilk başta hiçbir şey koymadılar ve bir sonraki rakama geçtiler. (Ming Hanedanlığı döneminde, boş rakam için bir işaret tanıtıldı - bir daire - sıfırımızın bir benzeri). Rakamları karıştırmamak için, ana hiyerogliften sonra yazılan ve belirli bir rakamda hiyeroglif rakamının hangi değeri aldığını gösteren birkaç hizmet hiyeroglifi kullanıldı.

Bu çarpımlı gösterimdir çünkü çarpmayı kullanır. Ondalık sayıdır, sıfır işareti vardır ve bunun yanında konumsaldır. Onlar. neredeyse “Arapça” sayı sistemine karşılık gelmektedir.

Maya temel sayı sistemi veya uzun sayma

Bu sistem çok ilginçtir çünkü gelişimi Avrupa ve Asya'daki hiçbir medeniyetten etkilenmemiştir. Bu sistem takvim ve astronomik gözlemler için kullanıldı. Karakteristik özellik onunki bir sıfırın (kabuk görüntüsü) varlığıydı. Bu sistemin temeli 20 sayısıydı, ancak beşli sistemin izleri de oldukça belirgindi. İlk 19 sayı, noktalar (bir) ve tirelerin (beş) birleştirilmesiyle elde edildi.

20 sayısı üstte sıfır ve bir olmak üzere iki rakamla tasvir ediliyordu ve uinalu olarak adlandırılıyordu. Sayılar, en küçük rakamlar altta ve en büyük rakamlar üstte olacak şekilde bir sütuna yazıldı ve sonuçta raflı bir "kitaplık" ortaya çıktı. Sıfır rakamı üstte birimsiz görünüyorsa bu, bu rakam için birim olmadığı anlamına geliyordu. Ancak bu rakamda en az bir birim varsa, sıfır işareti kayboldu, örneğin 21 sayısı, bu olacaktır. Ayrıca sayı sistemimizde: 10 – sıfırla, 11 – onsuz. İşte bazı örnek numaralar:

Antik Maya'nın 20 tabanlı sayma sisteminin bir istisnası vardır: 359 sayısına yalnızca birinci dereceden bir birim eklerseniz, bu istisna hemen geçerli olur. Özü şu şekilde özetlenebilir: 360 üçüncü dereceden bir başlangıç ​​numarasıdır ve yeri artık ikinci değil üçüncü raftır.

Ancak daha sonra üçüncü derecenin ilk sayısının ikincinin ilk sayısından yirmi kat daha büyük olmadığı (20x20 = 400, 360 değil!), yalnızca on sekiz olduğu ortaya çıktı! Bu, yirmi kat ilkesinin ihlal edildiği anlamına gelir! Bu doğru. Bu istisnadır.

Gerçek şu ki, Maya Kızılderilileri arasında ayda 20 akraba günü veya uinal oluştu. Bir yılda 18 aylık bir dönem veya ton balığı (yılda 360 gün) oluşur ve bu şekilde devam eder:

K"in = 1 gün. Vinal = 20 k"in = 20 gün. Tun = 18 Vinal = 360 gün = yaklaşık 1 yıl. K"atun = 20 bak"tun = 7200 gün = yaklaşık 20 yıl. Bak"tun = 20 k"atun = 144.000 gün = yaklaşık 400 yıl. Pictun = 20 bak"tun = 2.880.000 gün = yaklaşık 8.000 yıl. Kalabtun = 20 piktun = 57.600.000 gün = yaklaşık 160.000 yıl. K"inçiltun = 20 kalabtun = 1152000000 gün = yaklaşık 3200000 yıl. Alavtun = 20 k"inçiltun = 23040000000 gün = yaklaşık 64000000 yıl.

Bu güzel karmaşık bir sistem notasyon esas olarak rahipler tarafından astronomik gözlemler için kullanılıyordu, başka bir Maya sistemi Mısır sistemine benzer şekilde katkı maddesiydi ve günlük yaşamda kullanılıyordu.

"Arapça" sayıların tarihi.

Tanıdık “Arapça” rakamlarımızın tarihi oldukça kafa karıştırıcıdır. Nasıl olduklarını tam ve güvenilir bir şekilde söylemek imkansızdır. İşte bu başlangıç ​​hikayesinin bir versiyonu. Kesin olan bir şey var: Eski gökbilimciler, yani onların kesin hesaplamaları sayesinde sayılarımıza ulaşabiliyoruz.

Zaten bildiğimiz gibi Babil sayı sisteminde eksik rakamları gösteren bir işaret var. MÖ 2. yüzyıl civarında. Yunan gökbilimciler (örneğin Claudius Ptolemy) Babillilerin astronomik gözlemleriyle tanıştı. Konumsal sayı sistemini benimsediler, ancak tam sayıları takozlar kullanarak değil, kendi alfabetik numaralandırmalarıyla ve kesirleri Babil'in altmışlık sayı sistemiyle yazdılar. Ancak Yunan gökbilimciler rakamın sıfır değerini belirtmek için “0” (ilk harf) sembolünü kullanmaya başladılar. Yunan kelimesi Ouden - hiçbir şey).

MS 2. ve 6. yüzyıllar arasında. Hintli gökbilimciler Yunan astronomisiyle tanıştı. Altmışlık sistemi ve yuvarlak Yunan sıfırını benimsediler. Hintliler, Yunan numaralandırma ilkelerini Çin'den alınan ondalık çarpım sistemiyle birleştirdiler. Ayrıca eski Hint Brahmi numaralandırmasında alışılageldiği gibi sayıları tek işaretle göstermeye başladılar. Bu, konumsal ondalık sayı sistemini oluşturmanın son adımıydı.

Hintli matematikçilerin parlak çalışması Arap matematikçiler tarafından benimsendi ve 9. yüzyılda El-Harezmi, ondalık konumsal sayı sistemini tanımladığı “Hint Sayma Sanatı” kitabını yazdı. Basit ve uygun kurallar Konumsal sistemde yazılan keyfi büyük sayıların toplanması ve çıkarılması, onu özellikle Avrupalı ​​​​tüccarlar arasında popüler hale getirdi.

12. yüzyılda. Sevillalı Juan, “Hint Sayma Sanatı” kitabını Latince'ye çevirdi ve Hint sayma sistemi Avrupa'ya geniş bir şekilde yayıldı. Ve Harizmi'nin eseri yazıldığından beri Arapça, daha sonra Avrupa'daki Hint numaralandırmasına yanlış "Arapça" adı verildi. Ancak Arapların kendileri sayılara Hint diyorlar ve ondalık sisteme dayalı aritmetik - Hint sayımı.

"Arap" rakamlarının biçimi zamanla büyük ölçüde değişti. Bunları yazdığımız biçim 16. yüzyılda kuruldu.

Puşkin bile Arap sayıları biçiminin kendi versiyonunu önerdi. Sıfır dahil on Arap rakamının tamamının sihirli bir kareye sığmasına karar verdi.

Ondalık konumsal sayı sistemi

Hintli bilim adamları matematikteki en önemli keşiflerden birini yaptılar; şu anda tüm dünyanın kullandığı konumsal sayı sistemini icat ettiler. El-Harizmi kitabında Hint aritmetiğini detaylı bir şekilde anlatmıştır.

Muhammed bin Musa el-Harezm

MS 850 civarında. hakkında bir kitap yazdı Genel kurallar Denklemleri kullanarak aritmetik problemlerini çözme. Buna "Kitab el-Jabr" adı verildi. Bu kitap cebir bilimine adını vermiştir.

Üç yüz yıl sonra (1120'de) bu kitap Türkçeye çevrildi. Latin dili ve tüm Avrupa şehirleri için “Hint” aritmetiğinin ilk ders kitabı oldu.

Sıfırın tarihi.

Sıfır farklı olabilir. Birincisi, sıfır, boş bir yeri belirtmek için kullanılan bir rakamdır; ikincisi, sıfır olağandışı bir sayıdır, çünkü sıfıra bölünemezsiniz ve sıfırla çarpıldığında herhangi bir sayı sıfır olur; üçüncüsü, çıkarma ve toplama için sıfıra ihtiyaç vardır, aksi takdirde 5'ten 5'i çıkarırsanız ne kadar olur?

Sıfır ilk olarak eski Babil sayı sisteminde ortaya çıktı; sayılardaki eksik rakamları belirtmek için kullanıldı ancak 1 ve 60 gibi sayılar, sayının sonuna sıfır konulmadığı için aynı şekilde yazılıyordu. Onların sisteminde sıfır, metinde boşluk görevi görüyordu.

Büyük Yunan gökbilimci Ptolemy, metinlerinde boşluk işaretinin yerini aldığı için sıfır formunun mucidi olarak kabul edilebilir. Yunan harfi omicron, modern sıfır işaretini çok anımsatıyor. Ancak Batlamyus sıfırı Babillilerle aynı anlamda kullanıyor. MS 9. yüzyılda Hindistan'da bir duvar yazıtı. Sıfır sembolü ilk kez bir sayının sonunda ortaya çıkar. Bu, modern sıfır işaretinin genel olarak kabul edilen ilk tanımıdır. Sıfırın üç anlamını da icat edenler Hintli matematikçilerdi. Örneğin, MS 7. yüzyılda Hintli matematikçi Brahmagupta. Negatif sayıları ve sıfırla işlemleri aktif olarak kullanmaya başladım. Ancak sıfıra bölünen bir sayının sıfır olduğunu, bunun elbette bir hata olduğunu, ancak Hintli matematikçilerin başka bir dikkate değer keşfine yol açan gerçek bir matematiksel cesaret olduğunu savundu. Ve 12. yüzyılda başka bir Hintli matematikçi Bhaskara, sıfıra bölündüğünde ne olacağını anlamak için başka bir girişimde bulunur. Şöyle yazıyor: "Sıfıra bölünen bir miktar, paydası sıfır olan bir kesir haline gelir. Bu kesire sonsuzluk denir."

Leonardo Fibonacci, “Liber abaci” (1202) adlı eserinde Arapçadaki 0 ​​işaretini zephirum olarak adlandırır. Zephirum kelimesi, Hintçe sunya yani boş kelimesinden gelen ve sıfırın adı olarak kullanılan Arapça as-sifr kelimesidir. Zephirum kelimesinden Fransızca sıfır (sıfır) kelimesi ve İtalyanca sıfır kelimesi gelir. Öte yandan Arapça es-sifr kelimesinden gelir. Rusça kelime sayı. 17. yüzyılın ortalarına kadar bu kelime özellikle sıfırı ifade etmek için kullanılıyordu. Latince kelime nullus (hayır) 16. yüzyılda sıfırı belirtmek için kullanılmaya başlandı.

Sıfır benzersiz bir işarettir. Sıfır saftır soyut kavram, insanoğlunun en büyük başarılarından biri. Çevremizdeki doğada bulunmaz. Zihinsel hesaplamalarda sıfır olmadan kolaylıkla yapabilirsiniz, ancak sayıları doğru bir şekilde kaydetmeden yapmak imkansızdır. Ayrıca sıfır, diğer tüm rakamlarla zıtlık teşkil eder ve sonsuz dünyayı simgelemektedir. Ve eğer “her şey sayıysa”, o zaman hiçbir şey her şey değildir!

Günümüzde kullanılan bazlar:

10 - olağan ondalık sayı sistemi (ellerde on parmak). Alfabe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - Eski Babil'de icat edildi: Bir saati 60 dakikaya, dakikayı 60 saniyeye ve bir açıyı 360 dereceye bölmek.

12 - Anglo-Saksonlar tarafından yayıldı: yılda 12 ay, günde 12 saatlik iki dönem, 12 inç

7 - haftanın günlerini saymak için kullanılır

Sayıları temsil etmenin en mükemmel ilkesi konumsal(yerel) prensip buna göre aynı sayısal işaret (rakam), bulunduğu yere bağlı olarak farklı anlamlara sahiptir.

Bu sayı sistemi, belirli sayıda N birimin (SS tabanı) ikinci basamağın bir biriminde, ikinci basamağın N biriminin üçüncü basamağın bir biriminde birleştirilmesi vb. gerçeğine dayanmaktadır.

Sayı sistemlerinin tabanı birden büyük herhangi bir sayı olabilir. Bu tür sistemler modern ondalık sayı sistemini (N = 10 tabanıyla) içerir. İçinde ilk on sayıyı belirtmek için 0,...,9 sayıları kullanılır.

Böyle bir sistem görünürdeki doğallığına rağmen uzun bir tarihsel gelişimin sonucuydu.

Ortaya Çıkış ondalık sayı sistemi parmakla saymakla ilişkilendirilir. Başka tabanlara sahip sayı sistemleri de vardı: 5, 6, 12 (düzinelerce sayma), 20 (böyle bir sistemin izleri Fransızca'da korunmuştur, örneğin quatre - vingts, yani kelimenin tam anlamıyla dört - yirmi, 80 anlamına gelir), 40, 60 ve benzeri.

PC'de hesaplamalar yapılırken 2 tabanlı bir sayı sistemi kullanılır.Bilginin ikili sistemdeki temsili, eski çağlardan beri insan tarafından kullanılmaktadır. Böylece, Polinezya adalarının sakinleri gerekli bilgileri davulların yardımıyla aktardılar: alternatif çınlama ve donuk vuruşlar. Su yüzeyinin üzerindeki ses yeterince uzağa yayıldı uzun mesafe Polinezya telgrafı bu şekilde "çalıştı". 19.-20. yüzyıllarda telgrafta. bilgi kullanılarak aktarıldı Mors kodu- bir dizi nokta ve çizgi şeklinde. Çoğu zaman ön kapıyı yalnızca kısa ve uzun zillerin birleşimi olan “geleneksel bir sinyal” ile açmayı kabul ederiz. İkili sistem, bazı oyunlarda bulmacaları çözmek ve kazanma stratejileri oluşturmak için kullanılır.

Modern ondalık konumsal Sayı sistemi, en geç 5. yüzyılda ortaya çıkan numaralandırma temelinde ortaya çıktı. V Hindistan. Bundan önce Hindistan'da yalnızca toplama ilkesini değil aynı zamanda çarpma ilkesini de kullanan sayı sistemleri vardı (bazı rakamların birimi soldaki sayıyla çarpılır).

O zamanlar pek çok farklı numaralandırma sistemi vardı. Çeşitli bölgeler Hindistan da bunlardan biri olup tüm dünyaya yayılmış ve şu anda genel kabul görmektedir. Buradaki sayılar, eski Hint dilinde karşılık gelen sayıların ilk harflerine benziyordu - Sanskritçe(Devangari alfabesi).

Başlangıçta bu işaretler 1, 2, 3... 9, 10, 20, 30... 90, 100, 1000 sayılarını temsil ediyordu; onların yardımıyla diğer sayılar açıklandı. Daha sonra boş bir rakamı belirtmek için özel bir işaret (koyu nokta, daire) tanıtıldı; 9'dan büyük sayılar için kullanılan işaretler kullanım dışı kaldı ve Devangari numaralandırma sistemi ondalık basamak sistemine dönüştü.Bu geçişin nasıl ve ne zaman gerçekleştiği hala bilinmiyor.8. yüzyılın ortalarına gelindiğinde konumsal numaralandırma sistemi yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Hindistan.

Aynı sıralarda diğer ülkelere de girdi ( Çinhindi, Çin, Tibet, bizim topraklarımıza Orta Asya cumhuriyetleri, V İran ve benzeri.). 9. yüzyılın başında derlenen bir el kitabı, Hint numaralandırmasının Arap ülkelerinde yayılmasında belirleyici rol oynadı. Harezmli Muhammed(şimdi Özbekistan'ın Harezm bölgesi). 12. yüzyılda Batı Avrupa'da Latince'ye çevrildi. 13. yüzyılda Hint numaralandırması önceliklidir İtalya. Başka ülkelerde Batı Avrupa 16. yüzyılda kurulmuştur. Hint numaralandırmasını Araplardan ödünç alan Avrupalılar buna adını verdiler. Arapça(Tarihsel olarak yanlış olan isim bugün hala kullanılmaktadır).

Arap dilinden ve katmanından ödünç alınmıştır " sayı" (Arapça'da "syfr"), kelimenin tam anlamıyla "boş yer" anlamına gelir (aynı anlama gelen Sanskritçe "sunya" kelimesinden gelir). Bu kelime başlangıçta boş bir rakamın işaretini adlandırmak için kullanıldı ve bu anlamı 15. yüzyılda olmasına rağmen 18. yüzyılda da korudu. Latince terim " sıfır" Hint rakamlarının şekli çeşitli değişikliklere uğradı. Bunları yazdığımız biçim 16. yüzyılda kuruldu.

9. yüzyılda Bu sayı sistemini ortaya koyan Arapça el yazmaları 10. yüzyılda ortaya çıktı. ondalık konumsal numaralandırma şuna kadar gider: ispanya 12. yüzyılın başında. diğer Avrupa ülkelerinde de görülmektedir. Yeni sistem hesaplama denir Arapça, Çünkü Avrupa'da onunla ilk kez Arapça'dan Latince çeviriler aracılığıyla tanıştılar. Sadece 16. yüzyılda. yeni numaralandırma bilimde ve günlük yaşamda yaygınlaştı. Rusya'da 17. yüzyılda yayılmaya başlar. ve 18. yüzyılın başında. alfabetik numaralandırmanın yerine geçer. Giriş ile ondalık sayılar Ondalık sistem, tüm gerçek sayıları kaydetmenin evrensel bir yolu haline geldi. Prensipte keyfi olarak büyük sayılar yazmayı mümkün kılar. İçine sayı yazmak, aritmetik işlemleri gerçekleştirmek için kompakt ve kullanışlıdır. Dolayısıyla bu sistem Hindistan'dan Batı'ya ve Doğu'ya hızla yayılmaya başlıyor.

Sayıların dilinin kendine ait bir alfabesi vardır. Bu sayı dilinde alfabe 0'dan 9'a kadar on rakamdan oluşur. Bu ondalık sayı sistemidir.

Sayı sistemi bir sayıyı, rakam adı verilen bir alfabenin sembolleriyle temsil etmenin bir yoludur. Ondalık rakamların eski görüntüsü tesadüfi değildir: her rakam, içindeki açı sayısına göre bir sayıyı temsil eder. Örneğin, 0 - köşe yok, 1 - bir köşe, 2 - iki köşe vb. Ondalık sayıların yazımı önemli değişikliklere uğradı. Kullandığımız form 16. yüzyılda kuruldu.

Benzer şekilde inşa edildiler eski Çin sayı sistemi ve diğerleri.

Ünlü Afrikalı kaşif Stanley'e göre, bir takım Afrika kabileleri beş kat SS. Uzun bir süre beş katlı sayı sistemini kullandılar ve Çin. Bu sayı sistemi ile yapı arasındaki bağlantı açıktır insan eli. Böylece, bir kişinin elinde görsel sayma için kullanıma uygun beş parmağı vardır.

Yüzyıllar boyunca Amerika kıtasının geniş bölgelerinde yaşayan ve orada matematik de dahil olmak üzere en yüksek kültürü yaratan halklar olan Aztekler ve Mayalar, yirminci SS. Bu sayı sistemi aynı zamanda Keltler tarafından da benimsenmiştir. Batı Avrupa MÖ 2. binyıldan itibaren. Saymanın temeli el ve ayak parmaklarıdır. Fransız para sisteminde bu sistemin bazı izleri: Temel para birimi olan frank, 20'ye bölünür.

(1 frank = 20 metelik).

Yaygındı on ikilik sayı notasyon. Kökeni aynı zamanda parmakla saymayla da bağlantılıdır. Diğer dört parmağın başparmaklarını ve falankslarını saydılar: Toplamda 12 tane var On ikilik sayı sisteminin unsurları ölçü sisteminde (1 ayak = 12 inç) ve parasal sistemde korundu

(1 şilin = 12 peni). Günlük yaşamda sıklıkla on ikilik SS ile karşılaşırız: 12 kişilik çay ve masa takımları, bir mendil seti - 12 parça.

Güney ve doğu Slav halkları sayıları kaydetmek için alfabetik numaralandırmayı kullandılar. Bazı Slav halkları arasında, harflerin sayısal değerleri Slav alfabesine göre belirlenirken, diğerleri için (Ruslar dahil), tüm harfler sayıların rolünü değil, yalnızca Yunan alfabesindeki harflerin rolünü oynadı. Aynı zamanda harflerin sayısal değerleri de Yunan alfabesindeki harflerle aynı sırada arttı (Slav alfabesindeki harflerin sırası biraz farklıydı)

Slav numaraları 18. yüzyıla kadar Rusya'daki ana dijital atamaydı. Rusya'da Slav numaralandırması 17. yüzyılın sonuna kadar korundu. Peter I'in yönetiminde, sözde Arapça numaralandırma geçerliydi. Slav numaralandırması yalnızca ayinle ilgili kitaplarda korunmuştur. Ermeniler alfabetik numaralandırma ilkesini kullandılar. Ancak eski Ermeni ve eski Gürcü alfabelerinde çok şey vardı. daha fazla harf eski Yunancadan daha fazladır. Bu, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000 sayıları için özel gösterimlerin getirilmesini mümkün kıldı. Sayısal değerler Ermeni ve Gürcü alfabelerindeki harflerin sırasını takip etti.

Sayı sistemlerinin gelişim tarihi . 2

İkili sayı sistemleri 6

İkili aritmetik 10

Sayıların sabit ve kayan noktalı temsil biçimleri. 13

Sabit nokta sayıları ekleme. 16

Kayan nokta sayılarının eklenmesi. 16

Sabit noktalı sayıların çarpılması. 17

Kayan noktalı sayıların çarpılması. 18

9. Doğrudan, ters ve ek kodlar. Değiştirilmiş kod. 20

Sayı sistemlerinin gelişiminin tarihi.

Matematik, numaralandırma, doğal sayıları temsil etmeye yönelik bir dizi tekniktir. Herhangi bir sayı sisteminde, düğüm numaraları adı verilen belirli sayıları belirtmek için bazı semboller (kelime veya işaretler) kullanılır, geri kalan sayılar (algoritmik) düğüm numaralarından bazı işlemler sonucunda elde edilir. Sayı sistemleri, anahtar sayıların seçiminde ve algoritmik olanları üretme yöntemlerinde farklılık gösterir ve sayısal semboller için yazılı gösterimlerin ortaya çıkmasıyla birlikte sayı sistemleri, sayısal işaretlerin doğası ve kayıt ilkeleri açısından farklılık göstermeye başladı.

Sayıları temsil etmenin en mükemmel ilkesi, aynı sayısal işaretin (rakamın) bulunduğu yere bağlı olarak farklı anlamlara sahip olduğu konum ilkesidir. Böyle bir sayı sistemi, belirli bir n biriminin (sayı sisteminin temeli) ikinci basamağın bir biriminde birleştirilmesi, ikinci basamağın n biriminin üçüncü basamağın bir biriminde birleştirilmesi vb. gerçeğine dayanır. Sayı sisteminin tabanı birden büyük herhangi bir sayı olabilir. Bu tür sistemler modern ondalık sayı sistemini (n=10 tabanlı) içerir. İçinde ilk on sayıyı belirtmek için 0,1,...,9 sayıları kullanılır.

Böyle bir sistem görünürdeki doğallığına rağmen uzun bir tarihsel gelişimin sonucuydu. Ondalık sayı sisteminin ortaya çıkışı parmakla saymayla ilişkilidir. Başka bir tabana sahip sayı sistemleri vardı: 5.12 (düzinelerce sayma), 20 (böyle bir sistemin izleri Fransızca dilinde korunur, örneğin quatre - vingts, yani kelimenin tam anlamıyla dört - yirmi, 80 anlamına gelir), 40, 60 vb. Hesaplama yaparken Bilgisayarlar genellikle 2 tabanlı sayı sistemini kullanır.

İlkel halkların gelişmiş bir sayı sistemi yoktu. 19. yüzyılda Avustralya ve Polinezya'daki birçok kabilenin yalnızca iki rakamı vardı: bir ve iki; bunların kombinasyonları sayıları oluşturuyordu: 3 - iki - bir, 4 - iki - iki, 5 - iki - iki - bir ve 6 - iki - iki - iki. 6’dan büyük sayıların tamamı bireyselleştirilmeden “çok” konuşuldu. Sosyal ve ekonomik yaşamın gelişmesiyle birlikte, gittikçe genişleyen nesne koleksiyonlarını belirlemeyi mümkün kılacak sayı sistemleri oluşturma ihtiyacı ortaya çıktı. En eski sayı sistemlerinden biri, MÖ 2500 - 3000 gibi erken bir tarihte ortaya çıkan Mısır hiyeroglif numaralandırmasıdır. e. Bu, sayıları kaydetmek için yalnızca toplama ilkesinin kullanıldığı (bitişik basamaklarla ifade edilen sayıların toplanması) ondalık, konumsal olmayan bir sayı sistemiydi. Birim için özel işaretler vardı ▯ , on ⋓, yüz ve diğer ondalık basamaklara kadar. 343 sayısı şu şekilde yazılmıştır:

Benzer sayı sistemleri Yunan Herodian, Roma, Süryanice vb. idi.

Roma rakamları - geleneksel isim ondalık basamaklar için özel sembollerin kullanımına dayanan sayıları belirtmek için işaret sistemi:

1 5 10 50 100 500 1000

MÖ 500 civarında ortaya çıktı. e. Etrüskler arasında kullanılmıştı Antik Roma; bazen bugün hala kullanılmaktadır. Bu sayı sisteminde tamsayılar bu sayıların tekrarlanmasıyla yazılır. Ayrıca, daha büyük bir sayı, daha küçük bir sayının önündeyse toplanır (toplama ilkesi), ancak daha küçük bir sayı, daha büyük bir sayının önündeyse, daha küçük olan, daha büyük olandan çıkarılır (toplama ilkesi). çıkarma ilkesi). Son kural yalnızca aynı sayının dört kez tekrarlanmasını önlemek için geçerlidir. Örneğin, I, X, C sırasıyla 9, 90, 900'ü belirtmek için X, C, M'nin önüne veya 4, 40, 400'ü belirtmek için V, L, D'nin önüne yerleştirilir.

Örneğin VI=5+1=6, IV=5-1=4 (IIII yerine), XIX=10+10-1=19 (XVIIII yerine), XL=50-10=40 (XXXX yerine) ), XXXIII= 10+10+10+1+1+1=33 vb. Üzerinde aritmetik işlemlerin yapılması çok basamaklı sayılar Bu sistem çok sakıncalıdır.

Daha gelişmiş sayı sistemleri alfabetiktir: İyonca, Slavca, İbranice, Arapça'nın yanı sıra Gürcüce ve Ermenice. İlk alfabetik sayı sistemi, görünüşe göre, MÖ 5. yüzyılın ortalarında Küçük Asya'daki Yunan kolonilerinde ortaya çıkan İyonya diliydi. e. Alfabetik sayı sistemlerinde, 1'den 9'a kadar olan sayılar ile onlar ve yüzler, genellikle alfabenin ardışık harfleriyle gösterilir (sayı girişlerini sözcüklerden ayırmak için üzerine tireler konur). İyonya sisteminde 343 sayısı şu şekilde yazılmıştır:
(Burada - 300, - 40, - 3).

Dijital değer Slav alfabesi. Yani Kiril için:

Harflerin üstündeki sayıları belirtmek için başlık özel bir işarettir (bazen her harfin üstüne, bazen sadece ilkinin üstüne veya tüm sayının üstüne).10'dan büyük sayılar yazarken, sayılar soldan sağa doğru azalan sırayla yazılırdı. ondalık basamaklar (ancak bazen 11'den 19'a kadar olan sayılar için ondan önce yazılmıştır). Binlerce kişiyi belirtmek için numaralarının önüne (sol altta) özel bir işaret yerleştirildi. Örneğin:

Daha yüksek ondalık basamakları belirlemek ve adlandırmak için (daha fazla bilgi)
) iki sistem vardı: “küçük sayı” ve “büyük sayı”; ikinci sistem şuna kadar sayıları içeriyordu:
ya da
(“İnsan aklı bundan fazlasını kavrayamaz”):

Slav numaraları, 18. yüzyıla kadar Rusya'daki ana dijital isimdi.

Alfabetik sayı sistemlerinde sayılar öncekilere göre çok daha kısa yazılır; Ayrıca alfabetik numaralandırmayla yazılan sayılar üzerinde aritmetik işlemler yapmak çok daha kolaydır. Ancak alfabetik sayı sistemlerinde keyfi olarak büyük sayılar yazamazsınız. Yunanlılar İyon numaralandırmasını genişlettiler: 1000, 2000,...,9000 rakamlarını 1,2,...,9 ile aynı harflerle gösterdiler, ancak sol alt tarafa bir vuruş koydular: yani,
1000'i temsil ediyordu - 2000 vb. 10.000 için yeni bir tabela tanıtıldı. Bununla birlikte, İyon sayı sisteminin Helenistik dönemin astronomik hesaplamaları için uygun olmadığı ortaya çıktı ve o zamanın Yunan gökbilimcileri alfabetik sistemi, konum ilkesine dayalı olarak bildiğimiz ilk sayı sistemi olan Babil altmışlık sistemiyle birleştirmeye başladılar. Yaklaşık MÖ 2000 yıllarında ortaya çıkan eski Babillerin sayı sisteminde. e. tüm sayılar iki işaret kullanılarak yazılmıştır: (bir için) ve (on için). 60'a kadar olan sayılar bu iki işaretin birleşimi şeklinde toplama ilkesine göre yazılıyordu. 60 sayısı yine en yüksek kategorideki bir birim olan bir işaretle belirlendi. 60'dan 3600'e kadar olan sayıları kaydetmek için yine toplama prensibi uygulandı ve 36.000 sayısı bir ile aynı işaretle gösterildi vb. Bu sistemde 343 = 5*60+4*10+3 sayısı şu şekilde yazılmıştır: Bu:

Bununla birlikte, eksik rakamları işaretlemek için kullanılabilecek sıfır işaretinin bulunmaması nedeniyle, bu sayı sisteminde sayıların kaydı kesin değildi. Babil sayı sisteminin özelliği, sayıların mutlak değerinin belirsiz kalmasıydı.

Konum ilkesine dayanan başka bir sayı sistemi, MS 1. binyılın ortalarında Yucatan Yarımadası'nın (Orta Amerika) sakinleri olan Maya Kızılderilileri arasında ortaya çıktı. e. Mayaların iki sayı sistemi vardı: Biri Mısır sistemini anımsatan, günlük yaşamda kullanılıyordu, diğeri - 20 tabanlı ve sıfır için özel bir işarete sahip konumsal, takvim hesaplamalarında kullanılıyordu. Modern sistemimizde olduğu gibi bu sistemde kayıt mutlaktı.

Modern ondalık konumsal sayı sistemi, en geç 5. yüzyılda ortaya çıkan numaralandırma temelinde ortaya çıktı. Hindistan'da. Bundan önce Hindistan'da yalnızca toplama ilkesini değil aynı zamanda çarpma ilkesini de kullanan sayı sistemleri vardı (bazı rakamların birimi soldaki sayıyla çarpılır). Eski Çin sayı sistemi ve bazı diğerleri de benzer şekilde inşa edildi. Örneğin, geleneksel olarak 3 sayısını III sembolü olarak ve 10 sayısını X sembolü olarak belirlersek, 30 sayısı IIIX (üç onluk) olarak yazılacaktır. Bu tür sayı sistemleri, ondalık konumsal numaralandırma oluşturmaya yönelik bir yaklaşım olarak hizmet edebilir.

Ondalık konum sistemi prensipte keyfi olarak büyük sayılar yazmayı mümkün kılar. İçine sayı yazmak, aritmetik işlemleri gerçekleştirmek için kompakt ve kullanışlıdır. Bu nedenle, ondalık konumsal sayı sistemi, başlangıcından kısa bir süre sonra Hindistan'dan Batı'ya ve Doğu'ya yayılmaya başlar. 9. yüzyılda bu sayı sistemini ortaya koyan Arapça el yazmaları ortaya çıktı; 10. yüzyılda ondalık konumsal numaralandırma İspanya'ya ulaştı; 12. yüzyılın başlarında diğer Avrupa ülkelerinde de ortaya çıktı. Yeni sayı sistemine Arapça adı verilmesinin nedeni, Avrupa'da ilk kez Arapça'dan Latince çeviriler yoluyla tanıtılmasıydı. Yeni numaralandırma bilimde ve günlük yaşamda ancak 16. yüzyılda yaygınlaştı. Rusya'da 17. yüzyılda ve 18. yüzyılın başlarında yayılmaya başlar. alfabetik olanın yerini alır. Ondalık kesirlerin kullanıma sunulmasıyla birlikte, ondalık konumsal sayı sistemi, tüm gerçek sayıları yazmanın evrensel bir yolu haline geldi.