Bir üçgenin dikkat çekici noktaları ve özellikleri. Üçgenin dikkat çekici noktaları

Önce açıortay teoremini kanıtlayalım.

Teorem

Kanıt

1) BAC açısının açıortayı üzerinde rastgele bir M noktası alın, AB ve AC düz çizgilerine MK ve ML dik çizgileri çizin ve MK = ML olduğunu kanıtlayın (Şekil 224). AM K ve AML dik üçgenlerini düşünün. Hipotenüsleri eşittir ve keskin köşe(AM ortak hipotenüstür, geleneksel olarak ∠1 = ∠2). Bu nedenle MK = ML'dir.

2) M noktası BAC açısının içinde olsun ve AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta olsun. AM ışınının BAC açısının açıortayı olduğunu kanıtlayalım (bkz. Şekil 224). AB ve AC düz çizgilerine MK ve ML dik çizgilerini çizin. Dik açılı AMK ve AML üçgenleri hipotenüs ve kenar bakımından eşittir (AM - ortak hipotenüs, duruma göre MK = ML). Bu nedenle ∠1 = ∠2. Ancak bu, AM ışınının BAC açısının açıortayı olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.

Pirinç. 224

Sonuç 1

Sonuç 2

Aslında, ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu noktadan AB, BC ve CA çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM diklerini çizelim (Şekil 1). 225). Kanıtlanmış teoreme göre OK = OM ve OK = OL. Bu nedenle, OM \u003d OL, yani O noktası ACB açısının kenarlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle bu açının CC 1 açıortayında yer alır. Sonuç olarak, ABC üçgeninin üç açıortayı da kanıtlanacak olan O noktasında kesişir.

Pirinç. 225

Bir doğru parçasına dik açıortayın özellikleri

Bir doğru parçasının dik açıortayı, verilen parçanın orta noktasından geçen ve ona dik olan düz bir çizgidir.

Pirinç. 226

Bir doğru parçasına dik açıortay teoremini kanıtlayalım.

Teorem

Kanıt

M çizgisinin AB segmentine dik açıortay olmasına izin verin, O noktası bu segmentin orta noktasıdır (Şekil 227, a).

Pirinç. 227

1) m doğrusu üzerinde rastgele bir M noktası düşünün ve AM = VM olduğunu kanıtlayın. M noktası O noktasıyla çakışıyorsa bu eşitlik doğrudur, çünkü O AB doğru parçasının orta noktasıdır. M ve O farklı noktalar olsun. Dik açılı üçgenler OAM ve OBM iki ayakta eşittir (OA = OB, OM - ortak bacak), dolayısıyla AM = VM.

2) AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta keyfi bir N noktası düşünün ve N noktasının m doğrusu üzerinde bulunduğunu kanıtlayın. Eğer N, AB doğrusu üzerinde bir nokta ise, AB doğru parçasının O orta noktası ile çakışır ve dolayısıyla m doğrusu üzerinde yer alır. N noktası AB çizgisi üzerinde değilse, AN \u003d BN'den beri ANB üçgeni ikizkenardır (Şekil 227, b). NO segmenti bu üçgenin ortancasıdır ve dolayısıyla yüksekliğidir. Dolayısıyla NO ⊥ AB; dolayısıyla ON ve m doğruları çakışır, yani N, m doğrusunun bir noktasıdır. Teorem kanıtlandı.

Sonuç 1

Sonuç 2

Bu ifadeyi kanıtlamak için ABC üçgeninin AB ve BC kenarlarına dik olan m ve n orta açılarını düşünün (Şekil 228). Bu çizgiler bir O noktasında kesişiyor. Aslında bunun tersini varsayarsak, yani m || n ise, m doğrusuna dik olan BA doğrusu, ona paralel n doğrusuna da dik olacaktır ve o zaman n doğrusuna dik iki BA ve BC doğrusu B noktasından geçecektir ki bu imkansızdır. .

Pirinç. 228

Kanıtlanmış teoreme göre OB = OA ve OB = OS. Bu nedenle, OA \u003d OC, yani O noktası AC segmentinin uçlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle bu segmente dik açıortay p üzerinde yer alır. Bu nedenle, ABC üçgeninin kenarlarına dik olan m, n ve p açıortaylarının tümü O noktasında kesişir.

Üçgen kesişim teoremi

Üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiğini, üçgenin kenarlarına dik açıortayların da bir noktada kesiştiğini kanıtladık. Daha önce bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiği kanıtlanmıştı (bölüm 64). Bir üçgenin yüksekliklerinin de benzer bir özelliğe sahip olduğu ortaya çıktı.

Teorem

Kanıt

Rastgele bir ABC üçgeni düşünün ve yüksekliklerini içeren AA 1 BB 1 ve CC 1 çizgilerinin bir noktada kesiştiğini kanıtlayın (Şekil 229).

Pirinç. 229

ABC üçgeninin her köşesinden karşı kenara paralel bir çizgi çizin. Bir A 2 B 2 C 2 üçgeni elde ediyoruz. A, B ve C noktaları bu üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır. Aslında, AB \u003d A 2 C ve AB \u003d CB 2, ABA 2 C ve ABCB 2 paralelkenarlarının karşıt kenarlarıdır, dolayısıyla A 2 C \u003d CB 2. Benzer şekilde, C 2 A \u003d AB 2 ve C 2 B \u003d BA 2. Ayrıca yapıdan aşağıdaki gibi CC 1 ⊥ A 2 B 2 , AA 1 ⊥ B 2 C 2 ve BB 1 ⊥ A 2 C 2 . Dolayısıyla, AA 1, BB 1 ve CC 1 çizgileri, A 2 B 2 C 2 üçgeninin kenarlarına dik açıortaylardır. Bu nedenle bir noktada kesişirler. Teorem kanıtlandı.

Yani, her üçgenle dört nokta ilişkilidir: kenarortayların kesişme noktası, açıortayların kesişme noktası, orta dikmelerin kenarlara kesişme noktası ve yüksekliklerin (veya bunların uzantılarının) kesişme noktası. . Bu dört noktaya denir Üçgenin harika noktaları.

Görevler

674. Genişletilmemiş O açısının açıortayının M noktasından, bu açının kenarlarına MA ve MB dikleri çizilir. AB ⊥ OM olduğunu kanıtlayın.

675. O açısının kenarları, A noktasında ortak teğetleri olan iki daireye dokunuyor. Bu dairelerin merkezlerinin O A doğrusu üzerinde bulunduğunu kanıtlayın.

676. A açısının kenarları O merkezi ve r yarıçaplı bir daireye dokunuyor. Bul: a) OA, eğer r = 5 cm ise, ∠A = 60°; b) d, eğer ОА = 14 dm, ∠A = 90°.

677. Bisektörler dış köşeler ABC üçgeninin B ve C köşeleri O noktasında kesişiyor. O noktasının AB, BC, AC doğrularına teğet bir çemberin merkezi olduğunu kanıtlayın.

678. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortayları M noktasında kesişir. Aşağıdaki durumda ACM ve BCM açılarını bulun: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.

679. ABC üçgeninin BC kenarına dik açıortayı AC kenarını D noktasında keser. Bul: a) BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm ise AD ve CD; b) AC, BD = 11,4 cm ise AD = 3,2 cm.

680. ABC üçgeninin AB ve AC kenarlarına dik açıortayları BC kenarının D noktasında kesişiyor. Şunu kanıtlayın: a) D noktası BC kenarının orta noktasıdır; b) ∠A - ∠B + ∠C.

681. ABC ikizkenar üçgeninin AB kenarına dik açıortayı BC kenarını E noktasında kesiyor. AEC üçgeninin çevresi 27 cm ve AB = 18 cm ise AC tabanını bulun.

682. ABC ve ABD ikizkenar üçgenlerinin AB tabanı ortaktır. CD çizgisinin AB doğru parçasının orta noktasından geçtiğini kanıtlayın.

683. Bir ABC üçgeninde AB ve AC kenarları eşit değilse, üçgenin ortancasının AM'nin bir yükseklik olmadığını kanıtlayın.

684. Bir ABC ikizkenar üçgeninin AB tabanındaki açıortayları M noktasında kesişir. CM çizgisinin AB doğrusuna dik olduğunu kanıtlayın.

685. Yanlara doğru çizilen ABC ikizkenar üçgeninin AA 1 ve BB 1 yükseklikleri M noktasında kesişir. MC çizgisinin AB doğru parçasına dik açıortay olduğunu kanıtlayın.

686. Verilen parçaya dik açıortayı oluşturun.

Çözüm

Verilen doğru parçası AB olsun. AB yarıçaplı A ve B noktalarında merkezleri olan iki daire oluşturalım (Şekil 230). Bu daireler M 1 ve M 2 noktasında kesişiyor. AM 1 , AM 2 , VM 1 , VM 2 parçaları bu dairelerin yarıçapları olarak birbirine eşittir.

Pirinç. 230

M 1 M 2 düz bir çizgi çizelim. AB segmentine gerekli dik açıortaydır. Aslında M1 ve M2 noktaları AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğundan bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alırlar. Bu nedenle, M 1 M 2 çizgisi AB segmentine dik açıortaydır.

687. Bir a doğrusu ve bu doğrunun aynı tarafında bulunan iki A ve B noktası veriliyor. a doğrusu üzerinde A noktasından B noktasına eşit uzaklıkta bir M noktası oluşturun.

688. Bir açı ve bir doğru parçası verilmiştir. Verilen açının içinde, kenarlarından eşit uzaklıkta ve verilen doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta bir nokta oluşturun.

Görevlere verilen yanıtlar

674. Talimat. Öncelikle AOB üçgeninin ikizkenar olduğunu kanıtlayın.

676.a) 10 cm; b) 7√2 dm.

678. a) 46° ve 46°; b) 21° ve 21°.

679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) AC = 14,6 cm.

683. Talimat. Çelişki yoluyla ispat yöntemini kullanın.

687. Talimat. 75. maddenin teoremini kullanın.

688. Talimat. İstenilen noktanın verilen açının açıortayında olduğuna dikkat edin.

1 Yani açının kenarlarını içeren doğrulara eşit uzaklıktadır.

İçerik

Giriş………………………………………………………………………………………3

Bölüm 1.

1.1 Üçgen………………………………………………………………………………..4

1.2. Üçgen medyanları

1.4. Bir üçgende yükseklikler

Çözüm

Kullanılmış literatür listesi

Kitapçık

giriiş

Geometri, çeşitli şekiller ve bunların özellikleriyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur; ama bu sadece bir sembol değil, üçgen geometrinin bir atomudur.

Çalışmamda bir üçgenin açıortaylarının, kenarortaylarının ve yüksekliklerinin kesişme noktalarının özelliklerini ele alacağım, dikkat çekici özelliklerinden ve üçgenin çizgilerinden bahsedeceğim.

İncelenen bu noktalar arasında okul kursu geometriler şunları içerir:

a) açıortayların kesişme noktası (yazılı dairenin merkezi);

b) orta dikmelerin kesişme noktası (sınırlandırılmış dairenin merkezi);

c) yüksekliklerin kesişme noktası (ortomerkez);

d) medyanların kesişme noktası (merkez).

Uygunluk: üçgen hakkındaki bilginizi genişletin,onun özellikleriharika noktalar.

Hedef: Bir üçgenin dikkat çekici noktaları üzerinde incelenmesi,onları incelemekSınıflandırmalar ve özellikler.

Görevler:

1. Gerekli literatürü inceleyin

2. Üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceleyin

3. Bir üçgenin harika noktalarını oluşturabileceksiniz.

4. Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetleyin.

Proje hipotezi:

Herhangi bir üçgende dikkat çekici noktalar bulma yeteneği, geometrik inşaat problemlerini çözmenize olanak sağlar.

Bölüm 1. Üçgenin dikkat çekici noktaları hakkında tarihi bilgiler

"Başlangıçlar" ın dördüncü kitabında Öklid sorunu çözüyor: "Belirli bir üçgene bir daire yazın." Çözümden şu sonuç çıkıyor: üç açıortay iç köşelerüçgenler bir noktada kesişir - yazılı dairenin merkezi. Öklid'in başka bir probleminin çözümünden, üçgenin kenarlarına orta noktalarında geri getirilen dikmelerin de bir noktada - çevrelenen dairenin merkezinde - kesiştiği sonucu çıkar. Elementler bir üçgenin üç yüksekliğinin diklik merkezi adı verilen bir noktada kesiştiğini söylemez ( Yunan kelimesi"orthos", "düz", "doğru" anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimet, Pappus ve Proclus tarafından biliniyordu.

Üçgenin dördüncü tekil noktası kenarortayların kesişme noktasıdır. Arşimet, üçgenin ağırlık merkezi (barycenter) olduğunu kanıtladı. Yukarıdaki dört nokta çekildi Özel dikkat 18. yüzyıldan beri üçgenin "dikkat çekici" veya "özel" noktaları olarak adlandırılıyorlar.

Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, kurucularından biri Leonhard Euler olan yeni bir temel matematik dalının - "üçgen geometrisi" veya "yeni üçgen geometrisi" yaratılmasının başlangıcı oldu. 1765 yılında Euler, herhangi bir üçgende diklik merkezinin, ağırlık merkezinin ve çevrelenen dairenin merkezinin daha sonra "Euler çizgisi" olarak adlandırılan aynı çizgi üzerinde yer aldığını kanıtladı.

1. Üçgen

Üçgen - geometrik şekil Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan. Puanlar -zirveler üçgenler, doğru parçalarıtaraflar üçgen.

İÇİNDE A, B, C - zirveler

AB, BC, SA - taraflar

AC

Her üçgenin kendisiyle ilişkili dört noktası vardır:

Medyanların kesişme noktası;

Açıortay kesişme noktası;

Yükseklik geçiş noktası.

Dik açıortayların kesişme noktası;

1.2. Üçgen medyanları

Üçgen Medine - , üst kısmı birleştiriyor karşı tarafın ortasıyla (Şekil 1). Medyanın üçgenin kenarı ile kesiştiği noktaya medyanın tabanı denir.

Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları

Üçgenin kenarlarının orta noktalarını oluşturalım ve her bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlayan bir doğru parçası çizelim. Bu tür bölümlere medyan denir.

Ve yine bu parçaların bir noktada kesiştiğini görüyoruz. Medyanların ortaya çıkan bölümlerinin uzunluklarını ölçersek, bir özelliği daha kontrol edebiliriz: Medyanların kesişme noktası, tüm medyanları köşelerden sayılarak 2: 1 oranında böler. Ancak yine de kenarortayların kesiştiği noktada iğnenin ucunda duran üçgen dengededir! Bu özelliğe sahip bir noktaya ağırlık merkezi (barycenter) adı verilir. Eşit kütlelerin merkezine bazen ağırlık merkezi denir. Bu nedenle, bir üçgenin kenarortaylarının özellikleri şu şekilde formüle edilebilir: Bir üçgenin kenarortayları ağırlık merkezinde kesişir ve kesişme noktası tepe noktasından sayılarak 2:1 oranında bölünür.

1.3. Üçgen bisektörler

açıortay isminde açının köşe noktasından karşı kenarla kesiştiği noktaya kadar çizilen açının açıortayı. Üçgenin üç köşesine karşılık gelen üç açıortayı vardır (Şekil 2).

Şekil 2. Bir üçgenin açıortayı

Rastgele bir ABC üçgeninde açılarının ortaylarını çiziyoruz. Ve yine, tam bir yapıyla, üç açıortay da bir D noktasında kesişecektir. D noktası da alışılmadık bir durumdur: üçgenin üç kenarına da eşit uzaklıktadır. Bu, DA 1, DB 1 ve DC1 dikmelerinin üçgenin kenarlarına bırakılmasıyla doğrulanabilir. Hepsi eşittir: DA1=DB1=DC1.

Merkezi D noktasında ve yarıçapı DA 1 olan bir daire çizerseniz, üçgenin üç kenarına da dokunacaktır (yani yalnızca bir tane olacaktır). ortak nokta). Böyle bir daireye üçgen içine yazılı denir. Yani bir üçgenin açılarının açıortayları yazılı dairenin merkezinde kesişir.

1.4. Bir üçgende yükseklikler

Üçgen Yüksekliği - , üstten düştü karşı tarafa veya karşı tarafa denk gelen düz bir çizgiye. Üçgenin türüne bağlı olarak yükseklik üçgenin içinde kalabilir (örneğin üçgen), kendi tarafıyla çakışır (olur) üçgen) veya geniş bir üçgende üçgenin dışından geçin (Şekil 3).

Şekil 3. Üçgenlerde yükseklikler

Bir üçgende üç yükseklik oluşturursanız, hepsi bir H noktasında kesişir. Bu noktaya diklik merkezi denir. (Şekil 4).

Yapıları kullanarak, üçgenin türüne bağlı olarak ortomerkezin farklı şekilde yerleştirilip yerleştirilmediğini kontrol edebilirsiniz:

dar bir üçgende - içeride;

dikdörtgen şeklinde - hipotenüs üzerinde;

geniş - dışarıda.

Şekil 4. Bir üçgenin dik merkezi

Böylece üçgenin dikkat çekici bir noktasıyla daha tanıştık ve şunu söyleyebiliriz: Üçgenin yükseklikleri diklik merkezinde kesişir.

1.5. Bir üçgenin kenarlarına orta dikmeler

Bir doğru parçasının dik açıortayı, verilen parçaya dik olan ve onun orta noktasından geçen bir çizgidir.

Rastgele bir ABC üçgeni çizelim ve dik açıortaylarını kenarlarına çizelim. İnşaat tam olarak yapılırsa, tüm dikmeler bir noktada kesişecektir - O noktası. Bu nokta, üçgenin tüm köşelerinden eşit uzaklıktadır. Yani merkezi O noktasında olan ve üçgenin köşelerinden birinden geçen bir daire çizerseniz, bu daire diğer iki köşeden de geçecektir.

Bir üçgenin tüm köşelerinden geçen daireye çevrel daire denir. Bu nedenle, bir üçgenin belirlenmiş özelliği şu şekilde formüle edilebilir: Üçgenin kenarlarına dik açıortaylar, çevrelenen dairenin merkezinde kesişir (Şekil 5).

Şekil 5. Bir daire içine yazılan üçgen

Bölüm 2

Üçgenlerde Yüksekliği Keşfetmek

Bir üçgenin üç yüksekliği de bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.

Dar açılı bir üçgenin yükseklikleri kesinlikle üçgenin içinde bulunur.

Buna göre yüksekliklerin kesişme noktası da üçgenin içindedir.

Dik üçgende iki yükseklik kenarlarla aynıdır. (Bunlar dar açıların köşelerinden bacaklara çizilen yüksekliklerdir).

Hipotenüse çizilen yükseklik üçgenin içindedir.

AC, C köşesinden AB kenarına çizilen yüksekliktir.

AB, B köşesinden AC kenarına çizilen yüksekliktir.

AK - üstten çizilen yükseklik dik açı Ve BC hipotenüsüne.

Bir dik üçgenin yükseklikleri dik açının tepe noktasında kesişir (A diklik merkezidir).

Geniş bir üçgende, üçgenin içinde yalnızca bir yükseklik vardır; geniş açının tepe noktasından çizilen yükseklik.

Diğer iki yükseklik üçgenin dışındadır ve üçgenin kenarlarının uzantısına kadar alçaltılmıştır.

AK, BC kenarına çizilen yüksekliktir.

BF, AC tarafının uzantısına çizilen yüksekliktir.

CD, AB kenarının uzantısına çizilen yüksekliktir.

Geniş açılı bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası da üçgenin dışındadır:

H, ABC üçgeninin diklik merkezidir.

Bir Üçgendeki Ortaortayların İncelenmesi

Bir üçgenin açıortayı, üçgenin açıortayının (bir ışın) üçgenin içindeki kısmıdır.

Bir üçgenin üç açıortayı da bir noktada kesişir.

Açıortayların akut, geniş ve geniş açılarda kesişme noktası dik üçgenler, üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir ve içinde bulunur.

Üçgenin medyanlarını araştırın

Üçgenin üç köşesi ve üç kenarı olduğundan, köşeyi ve karşı kenarın orta noktasını birleştiren üç doğru parçası da vardır.

Bu üçgenleri inceledikten sonra herhangi bir üçgende kenarortayların bir noktada kesiştiğini fark ettim. Bu noktaya denir üçgenin ağırlık merkezi.

Bir üçgenin kenarına dik açıortayların incelenmesi

Orta dik Üçgen, bir üçgenin bir kenarının orta noktasına dik olandır.

Bir üçgenin üç dik açıortayı bir noktada kesişir ve çevrelenen dairenin merkezidir.

Dar bir üçgende dik açıortayların kesişme noktası üçgenin içinde yer alır; geniş - üçgenin dışında; dikdörtgen şeklinde - hipotenüsün ortasında.

Çözüm

Yapılan çalışma sırasında aşağıdaki sonuçlara varıyoruz:

Hedefe ulaşıldı:üçgeni araştırdı ve dikkat çekici noktalarını buldu.

Belirlenen görevler çözüldü:

1). Gerekli literatürü inceledik;

2). Üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılması incelendi;

3). Bir üçgenin harika noktalarının nasıl oluşturulacağını öğrendim;

4). Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetledi.

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını bulma yeteneğinin inşaat problemlerinin çözümüne yardımcı olduğu hipotezi doğrulandı.

Makale tutarlı bir şekilde bir üçgenin dikkate değer noktalarını oluşturma tekniklerini özetlemektedir. tarihi bilgi Geometrik yapılar hakkında.

Bu çalışmadan elde edilen bilgiler 7. sınıftaki geometri derslerinde faydalı olabilir. Kitapçık, sunulan konuyla ilgili geometri konusunda bir referans kitabı haline gelebilir.

Kaynakça

Ders Kitabı. L.S. Atanasyan "Geometri 7-9. SınıflarMnemosyne, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Portal Scarlet Yelkenleri

Lider eğitim portalı Rusya http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157

Baranova Elena

Bu makale üçgenin dikkat çekici noktalarını, bunların özelliklerini ve düzenliliklerini (dokuz noktadan oluşan daire ve Euler çizgisi gibi) tartışmaktadır. Verilen tarihsel referans Euler çizgisinin ve dokuz noktalı dairenin keşfi. Projemin uygulanmasının pratik yönelimi önerildi.

İndirmek:

Ön izleme:

Sunumların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesap) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

"ÜÇGENİN ÖNEMLİ NOKTALARI". (Uygulamalı ve temel matematik soruları) Baranova Elena 8. Sınıf, MKOU "Ortaokul No. 20" Poz. Novoizobilny, Dukhanina Tatyana Vasilievna, matematik öğretmeni MKOU "Ortaokul No. 20" Novoizobilny Yerleşimi 2013. Belediye hazinesi Eğitim kurumu"Ortalama Kapsamlı okul№20"

Amaç: Bir üçgenin dikkat çekici noktaları üzerinde incelenmesi, sınıflandırılmalarının ve özelliklerinin incelenmesi. Görevler: 1. Gerekli literatürü incelemek 2. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını incelemek 3. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının özelliklerini tanımak 4. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını oluşturabilmek. 5. Harika noktaların kapsamını keşfedin. Çalışmanın amacı - matematiğin bir dalı - geometri Çalışmanın konusu - bir üçgen Uygunluk: üçgen, dikkat çekici noktalarının özellikleri hakkındaki bilginizi genişletmek. Hipotez: üçgen ve doğanın bağlantısı

Orta diklerin kesişme noktası Üçgenin köşelerinden eşit uzaklıkta ve çevrelenen dairenin merkezidir. Köşeleri üçgenin kenarlarının orta noktaları olan ve üçgenin köşeleri dik açıortayların kesişme noktasıyla çakışan bir noktada kesişen üçgenler etrafında çevrelenen daireler.

Açıortayların kesişme noktası Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası üçgenin kenarlarından eşit uzaklıktadır. OM=OA=OV

Yüksekliklerin kesişme noktası Köşeleri yüksekliklerin tabanları olan bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasıyla çakışır.

Kenarortayların kesişme noktası Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her kenarortay, tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında bölünür. Medyanların kesişme noktası köşelere bağlıysa, üçgen eşit alana sahip üç üçgene bölünecektir. Önemli bir mülk medyanların kesişme noktası, başlangıcı medyanların kesişme noktası ve uçları üçgenlerin köşeleri olan vektörlerin toplamının sıfıra eşit olmasıdır.

Torricelli noktası Not: Torricelli noktası, üçgenin tüm açıları 120'den küçükse var olur.

Dokuz B1, A1, C1 noktasından oluşan daire, yüksekliklerin tabanıdır; A2, B2, C2 - ilgili tarafların orta noktaları; A3, B3, C3, - AN, BH ve CH segmentlerinin orta noktaları.

Euler çizgisi Medyanların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası, dokuz noktadan oluşan dairenin merkezi tek bir düz çizgi üzerinde yer alır ve buna, bu modeli belirleyen matematikçinin onuruna Euler çizgisi adı verilir.

Dikkat çekici noktaların keşfinin tarihinden bir parça 1765 yılında Euler, bir üçgenin kenarlarının orta noktaları ile yükseklik tabanlarının aynı daire üzerinde bulunduğunu keşfetti. en çok muhteşem mülkÜçgenin dikkat çeken noktaları bazılarının birbirleriyle belirli bir oranda ilişkili olmasıdır. Medyanların (M) kesişme noktası, yüksekliklerin (H) kesişme noktası ve çevrelenen daire O'nun merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır ve M noktası, OH parçasını OM: OH = 1: 2 olacak şekilde böler. Bu teorem 1765 yılında Leonhard Euler tarafından kanıtlanmıştır.

Geometri ve doğa arasındaki ilişki. Bu pozisyonda potansiyel enerji Var en küçük değer ve MA + MB + MS bölümlerinin toplamı en küçük olacak ve Torricelli noktasında başlayan bu bölümler üzerinde yer alan vektörlerin toplamı sıfıra eşit olacaktır.

Sonuçlar Yüksekliklerin, kenarortayların, açıortayların ve orta dikmelerin harika kesişme noktalarına ek olarak bir üçgenin harika noktaları ve çizgileri de olduğunu öğrendim. Bu konuyla ilgili edindiğim bilgileri kendi çalışmalarımda kullanabilirim Öğrenme aktiviteleri, teoremleri belirli problemlere bağımsız olarak uygulayın, incelenen teoremleri gerçek bir durumda uygulayın. Matematik çalışmalarında üçgenin harika nokta ve çizgilerinin kullanılmasının etkili olduğuna inanıyorum. Bunları bilmek birçok görevin çözümünü büyük ölçüde hızlandırır. Önerilen materyal hem matematik derslerinde hem de müfredat dışı etkinlikler 5-9.sınıf öğrencileri.

Ön izleme:

Önizlemeyi kullanmak için kendinize bir Google hesabı (hesap) oluşturun ve giriş yapın:

© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometri, 8. Sınıf ÜÇGENLER DÖRT ÖNEMLİ NOKTA

Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası Üçgen ortaortaylarının kesişme noktası Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Bir üçgenin ortancası (BD), üçgenin tepe noktasını karşı kenarın orta noktasına birleştiren çizgi parçasıdır. A B C D Medyan

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada (üçgenin ağırlık merkezi) kesişir ve üstten sayılarak 2: 1 oranında bu noktaya bölünür. AM:MA 1 = VM:MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Bir üçgenin ortaortayı (A D), üçgenin iç açısının ortaortasının parçasıdır.

Açılmamış bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır. Tersine, bir açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde bulunur. AM B C

Bir üçgenin tüm açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin içine yazılan dairenin merkezi. C B 1 M A B A 1 C 1 O Çemberin yarıçapı (OM), merkezden (t.O) üçgenin kenarına bırakılan dik bir çizgidir.

YÜKSEKLİK Bir üçgenin yüksekliği (C D), üçgenin tepe noktasından karşı kenarı içeren çizgiye bırakılan dikmenin parçasıdır. A B C D

Bir üçgenin yükseklikleri (veya uzantıları) bir noktada kesişir. Bir A 1 B B 1 C C 1

ORTA DİK Dik açıortay (DF), bir üçgenin bir kenarına dik olan ve onu ikiye bölen bir çizgidir. AD F B C

A M B m O Bir doğru parçasına dik açıortayın (m) her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Tersine, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik açıortay üzerinde yer alır.

Bir üçgenin kenarlarının tüm dik açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin çevrelediği dairenin merkezi. A B C O Çevreleyen dairenin yarıçapı, dairenin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir (OA). m n p

Öğrenci görevleri Geniş bir üçgenin içinde yazılı bir daire oluşturmak için bir pusula ve cetvel kullanın. Bunu yapmak için: Pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgenin açıortaylarını oluşturun. Açıortayların kesişme noktası dairenin merkezidir. Çemberin yarıçapını oluşturun: çemberin merkezinden üçgenin kenarına dik. Üçgenin içine yazılmış bir daire oluşturun.

2. Geniş bir üçgeni çevreleyen bir daire oluşturmak için bir pergel ve bir cetvel kullanın. Bunu yapmak için: Geniş bir üçgenin kenarlarına dik açıortayları oluşturun. Bu dikmelerin kesişme noktası çevrel dairenin merkezidir. Bir dairenin yarıçapı, merkezden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir. Bir üçgeni çevreleyen bir daire oluşturun.

giriiş

Çevremizdeki dünyanın nesnelerinin çeşitli bilimler tarafından incelenen belirli özellikleri vardır.

Geometri, çeşitli şekilleri ve özelliklerini dikkate alan, kökleri uzak geçmişe dayanan bir matematik dalıdır.

"Başlangıçlar" ın dördüncü kitabında Öklid şu sorunu çözüyor: "Belirli bir üçgene bir daire yazın." Çözümden, bir üçgenin iç açılarının üç açıortayının bir noktada - yazılı dairenin merkezinde - kesiştiği sonucu çıkar. Öklid'in başka bir probleminin çözümünden, üçgenin kenarlarına orta noktalarında geri getirilen dikmelerin de bir noktada - çevrelenen dairenin merkezinde - kesiştiği sonucu çıkar. "İlkeler", bir üçgenin üç yüksekliğinin diklik merkezi adı verilen bir noktada kesiştiğini söylemez (Yunanca "orthos" kelimesi "düz", "doğru" anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimet tarafından biliniyordu. Üçgenin dördüncü tekil noktası kenarortayların kesişme noktasıdır. Arşimet, üçgenin ağırlık merkezi (barycenter) olduğunu kanıtladı.

Yukarıdaki dört noktaya özel önem verilmiş ve 18. yüzyıldan beri bunlara üçgenin "dikkate değer" veya "özel" noktaları adı verilmiştir. Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, yeni bir temel matematik dalının - kurucularından biri olan “üçgenin geometrisi” veya “üçgenin yeni geometrisi” nin yaratılmasının başlangıcı oldu. Bunlardan biri Leonhard Euler'di.

1765 yılında Euler, herhangi bir üçgende diklik merkezi, ağırlık merkezi ve çevrelenen dairenin merkezinin daha sonra "Euler çizgisi" olarak adlandırılan aynı düz çizgi üzerinde bulunduğunu kanıtladı. 19. yüzyılın yirmili yıllarında, Fransız matematikçiler J. Poncelet, Ch. Brianchon ve diğerleri bağımsız olarak şu teoremi oluşturdular: ortancaların tabanları, yüksekliklerin tabanları ve ortosenteri birbirine bağlayan yükseklik bölümlerinin orta noktaları. üçgenin köşeleri aynı çember üzerindedir. Bu daireye "dokuz noktalı daire" veya "Feuerbach dairesi" veya "Euler dairesi" denir. K. Feuerbach, bu dairenin merkezinin Euler çizgisi üzerinde olduğunu tespit etti.

“Daha önce hiç bu kadar geometrik bir dönemde yaşamadığımızı düşünüyorum. Etraftaki her şey geometridir. Büyük Fransız mimar Le Corbusier'in 20. yüzyılın başında söylediği bu sözler, zamanımızı çok doğru bir şekilde karakterize ediyor. İçinde yaşadığımız dünya, evlerin, sokakların, dağların ve tarlaların geometrisiyle, doğanın ve insanın yaratımlarıyla doludur.

"Üçgenin harika noktaları" olarak adlandırılan noktalarla ilgilendik.

Bu konuyla ilgili literatürü okuduktan sonra üçgenin dikkat çekici noktalarının tanımlarını ve özelliklerini kendimiz belirledik. Ancak işimiz burada bitmedi ve bu noktaları kendimiz araştırmak istedik.

Bu yüzden hedef verildi iş - Üçgenin bazı harika noktalarının ve çizgilerinin incelenmesi, kazanılan bilgilerin problem çözmede uygulanması. Bu hedefe ulaşma sürecinde aşağıdaki aşamalar ayırt edilebilir:

Seçim ve çalışma Eğitim materyali itibaren çeşitli kaynaklar bilgi, edebiyat;

Üçgenin dikkat çekici nokta ve doğrularının temel özelliklerinin incelenmesi;

Bu özelliklerin genelleştirilmesi ve gerekli teoremlerin ispatı;

Üçgenin dikkat çekici noktalarıyla ilgili problemlerin çözümü.

BölümBEN. harika noktalar ve üçgen çizgiler

1.1 Bir üçgenin kenarlarına orta dikmelerin kesişme noktası

Dik açıortay, bir parçanın orta noktasından ona dik olarak geçen düz bir çizgidir. Dik açıortayın özelliğini karakterize eden teoremi zaten biliyoruz: dik açıortayın parçaya olan her noktası, uçlarından eşit uzaklıktadır ve bunun tersi de geçerlidir; eğer nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaysa, o zaman dik açıortay üzerinde yer alır.

Çokgene yazılı denir tüm köşeleri daireye aitse bir daireye dönüştürün. Çokgenin yakınında çevrelenmiş daireye denir.

Herhangi bir üçgenin çevresine bir daire çizilebilir. Merkezi, orta diklerin üçgenin kenarlarına kesişme noktasıdır.

O noktası AB ve BC üçgeninin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktası olsun.

Çözüm: Dolayısıyla, eğer O noktası üçgenin kenarlarına orta dikmelerin kesişme noktası ise, o zaman OA = OS = OB, yani. O noktası ABC üçgeninin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır, bu da onun çevrel dairenin merkezi olduğu anlamına gelir.

Sonuçlar

sin γ \u003d c / 2R \u003d c / sin γ \u003d 2R.

Benzer şekilde kanıtlanmıştır A/ sin α =2R, b/sin β =2R.

Böylece:

Bu özelliğe sinüs teoremi denir.

Matematikte sıklıkla tamamen tanımlanmış nesnelerin olduğu görülür. farklı, eşleşecek şekilde ortaya çıkın.

Örnek. A1, B1, C1 sırasıyla ∆ABS BC, AC, AB kenarlarının orta noktaları olsun. AB1C1, A1B1C, A1BC1 üçgenlerinin çevrelediği dairelerin bir noktada kesiştiğini gösterin. Ayrıca bu nokta yaklaşık ∆ABS çemberinin merkezidir.

Genelleme.∆ABC AC, BC, AC kenarlarında rastgele A 1 , B 1 , C 1 noktaları alınırsa, AB 1 C 1 , A 1 B 1 C, A 1 BC 1 üçgenleri etrafında çevrelenen daireler bir noktada kesişir .

1.2 Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası

Tersi ifade de doğrudur: Bir nokta, bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaysa, açıortay üzerinde bulunur.

Bir köşenin yarısını aynı harflerle işaretlemek faydalıdır:

OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.

O noktası, A ve B açılarının ortaortaylarının kesişme noktası olsun. A açısının ortaortayı üzerinde bulunan bir noktanın özelliğine göre, OF=OD=r. B açısının açıortayı üzerinde bulunan bir noktanın özelliğine göre, OE=OD=r. Dolayısıyla, OE=OD= OF=r= O noktası ABC üçgeninin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır, yani. O, yazılı dairenin merkezidir. (O noktası tek noktadır).

Çözüm: Dolayısıyla, eğer O noktası üçgenin açılarının ortaortaylarının kesişme noktası ise, o zaman OE=OD= OF=r, yani. O noktası ABC üçgeninin tüm kenarlarına eşit uzaklıkta olup, bu onun yazılı çemberin merkezi olduğu anlamına gelir. O noktası - üçgenin açılarının açıortaylarının kesişimi üçgenin harika bir noktasıdır.

Sonuçlar:

AOF ve AOD üçgenlerinin hipotenüs ve dar açı boyunca eşitliğinden (Şekil 1) şu sonuç çıkar: AF = reklam . OBD ve OBE üçgenlerinin eşitliğinden şu sonuç çıkar: BD = OLMAK , COE ve COF üçgenlerinin eşitliğinden şu sonuç çıkar: İLE F = CE . Böylece çembere bir noktadan çizilen teğetlerin parçaları eşittir.

AF=AD= z, BD=BE= sen, СF=CE= X

a=x+y (1), B=x+z (2), c=x+y (3).

+ (2) – (3), o zaman şunu elde ederiz: a+B-c=X+ sen+ X+ z- z- sen = a+B-c= 2X =

x=( B + C -a)/2

Benzer şekilde: (1) + (3) - (2), şunu elde ederiz: y = (a + c -B)/2.

Benzer şekilde: (2) + (3) - (1), şunu elde ederiz: z= (bir +B - C)/2.

Bir üçgenin açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

1.3 Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası (merkez merkezi)

Kanıt 1. ABC üçgeninin sırasıyla BC, CA ve AB kenarlarının orta noktaları A1, B1 ve C1 olsun (Şekil 4).

G, iki medyan AA 1 ve BB 1'in kesişme noktası olsun. Önce AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2 olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için AG ve BG segmentlerinin P ve Q orta noktalarını alın. Üçgen orta hat teoremine göre, B 1 A 1 ve PQ segmentleri AB tarafının yarısına eşittir ve ona paraleldir. Bu nedenle, A 1 B 1 dörtgeni bir PQ paralelkenarıdır. Daha sonra PA 1 ve QB 1 köşegenlerinin kesişme noktası G bunların her birini ikiye böler. Dolayısıyla P ve G noktaları AA 1'in ortancasını üç eşit parçaya böler, Q ve G noktaları da BB 1'in ortancasını üç eşit parçaya böler. Yani üçgenin iki kenarortayının kesişimindeki G noktası, üstten sayılarak her birini 2:1 oranında böler.

Üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasına denir merkez veya ağırlık merkezi üçgen. Bu isim, homojen üçgen plakanın ağırlık merkezinin bu noktada bulunmasından kaynaklanmaktadır.

1.4 Üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası (ortomerkez)

1.5 Noktalı Torricelli

Verilen yol ABC üçgenidir. Bu üçgenin Torricelli noktası, bu üçgenin kenarlarının 120° açıyla görülebildiği bir O noktasıdır; AOB, AOC ve BOC açıları 120°'dir.

Üçgenin tüm açılarının 120°'den küçük olması durumunda Torricelli noktasının var olduğunu kanıtlayalım.

ABC üçgeninin AB tarafında, bir ABC "eşkenar üçgeni oluşturuyoruz (Şekil 6, a) ve onun etrafında bir daire tanımlıyoruz. AB segmenti, bu dairenin yayına 120 ° değeriyle karşılık gelir. Bu nedenle, bu yayın A ve B dışındaki noktaları, AB segmentinin onlardan 120 ° açıyla görülebilme özelliğine sahiptir. Benzer şekilde, ABC üçgeninin AC tarafında, bir ACB eşkenar üçgeni oluşturuyoruz "(Şek. 6, a) ve onun etrafındaki bir daireyi tanımlayın. İlgili yayın A ve C dışındaki noktaları, AC parçasının onlardan 120° açıyla görülebilme özelliğine sahiptir. Üçgenin açılarının 120°'den küçük olması durumunda bu yaylar bir iç O noktasında kesişir. Bu durumda ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120° olur. Bu nedenle ∟BOC = 120°. Bu nedenle O noktası istenilen noktadır.

Üçgenin açılarından birinin, örneğin ABC'nin 120°'ye eşit olması durumunda, daire yaylarının kesişme noktası B noktası olacaktır (Şekil 6, b). Bu durumda Torricelli noktası mevcut değildir, çünkü bu noktadan AB ve BC kenarlarının görülebildiği açılardan bahsetmek imkansızdır.

Üçgenin açılarından birinin, örneğin ABC'nin 120°'den büyük olması durumunda (Şekil 6, c), dairelerin karşılık gelen yayları kesişmez ve Torricelli noktası da mevcut değildir.

Fermat'ın (II. Bölüm'de ele alacağız) Torricelli noktasıyla ilgili problemi, belirli üç noktaya olan uzaklıkların toplamının en küçük olduğu noktayı bulma problemidir.

1.6 Dokuz noktadan oluşan daire

Aslında A 3 B 2 – orta hat AHC üçgeni ve dolayısıyla A 3 B 2 || CC1. B 2 A 2, ABC üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla B 2 A 2 || AB. CC 1 ┴ AB olduğundan A 3 B 2 A 2 = 90°. Benzer şekilde A 3 C 2 A 2 = 90°. Bu nedenle A 2 , B 2 , C 2 , A 3 noktaları A 2 A 3 çapındaki aynı çember üzerinde yer alır. AA 1 ┴BC olduğundan A 1 noktası da bu çembere aittir. Böylece A 1 ve A 3 noktaları A2B2C2 üçgeninin çevrel çemberi üzerinde yer alır. Benzer şekilde B 1 ve B 3 , C 1 ve C 3 noktalarının da bu çember üzerinde yer aldığı gösterilmiştir. Yani dokuz noktanın tümü aynı çember üzerinde yer alıyor.

Bu durumda dokuz noktadan oluşan dairenin merkezi, yüksekliklerin kesişme merkezi ile çevrelenen dairenin merkezi arasında ortada yer alır. Aslında, ABC üçgeninde (Şekil 9), O noktası çevrelenen dairenin merkezi olsun; G medyanların kesişme noktasıdır. H yüksekliklerin kesişme noktası. O, G, H noktalarının aynı düz çizgi üzerinde yer aldığını ve dokuz N noktasından oluşan dairenin merkezinin OH parçasını ikiye böldüğünü kanıtlamak gerekir.

G merkezli ve -0,5 katsayısına sahip bir homojenlik düşünün. ABC üçgeninin A, B, C köşeleri sırasıyla A 2 , B 2 , C 2 noktalarına gidecektir. ABC üçgeninin yükseklikleri A 2 B 2 C 2 üçgeninin yüksekliklerine gidecek ve sonuç olarak H noktası O noktasına gidecektir. Bu nedenle O, G, H noktaları tek bir düz çizgi üzerinde yer alacaktır.

OH doğru parçasının N orta noktasının dokuz noktalı çemberin merkezi olduğunu gösterelim. Aslında C1C2 çemberin dokuz noktalı akorudur. Dolayısıyla bu kirişin dik açıortayı çaptır ve OH ile N'nin orta noktasında kesişir. Benzer şekilde, B 1 B 2 kirişinin dik açıortayı da çaptır ve OH ile aynı N noktasında kesişir. Dolayısıyla N merkezdir. dokuz noktalı dairenin. Q.E.D.

Aslında P, ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde keyfi bir nokta olsun; D, E, F, P noktasından üçgenin kenarlarına bırakılan dikmelerin tabanlarıdır (Şekil 10). D, E, F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösterelim.

AP dairenin merkezinden geçiyorsa, D ve E noktalarının B ve C köşeleriyle çakıştığını unutmayın. Aksi takdirde, ABP veya ACP açılarından biri dar, diğeri geniş olur. Bundan D ve E noktalarının BC çizgisinin farklı taraflarında yer alacağı ve D, E ve F noktalarının aynı çizgide olduğunu kanıtlamak için ∟CEF =∟ olduğunu kontrol etmek yeterlidir. YATAK.

Çapı CP olan bir çember tanımlayalım. ∟CFP = ∟CEP = 90° olduğundan E ve F noktaları bu çemberin üzerindedir. Bu nedenle, bir dairesel yayı temel alan yazılı açılar olarak ∟CEF =∟CPF. Ayrıca, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. BP çapında bir çember tanımlayalım. ∟BEP = ∟BDP = 90° olduğundan F ve D noktaları bu çemberin üzerindedir. Bu nedenle, ∟BPD = ∟BED. Bu nedenle, sonunda ∟CEF =∟BED sonucunu elde ederiz. Yani D, E, F noktaları aynı düz çizgi üzerindedir.

BölümIIProblem çözme

Bir üçgenin açıortaylarının, kenarortaylarının ve yüksekliklerinin konumuyla ilgili problemlerle başlayalım. Çözümleri bir yandan daha önce ele alınan materyali hatırlamanıza olanak tanır, diğer yandan gerekli geometrik gösterimleri geliştirir, daha karmaşık problemleri çözmeye hazırlanır.

Görev 1. ABC üçgeninin A ve B açılarında (∟A

Çözüm. CD yükseklik, CE açıortay olsun, o zaman

∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.

Bu nedenle ∟DCE =.

Çözüm. ABC üçgeninin ortaortaylarının kesişme noktası O olsun (Şekil 1). Üçgenin büyük tarafının karşısında daha büyük bir açının bulunması gerçeğinden yararlanalım. AB BC ise ∟A

Çözüm. ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesişme noktası O olsun (Şekil 2). Eğer AC ∟B ise. BC çapında bir daire F ve G noktalarından geçecektir. İki kirişten küçük olanın, daha küçük yazılı açının dayandığı daire olduğunu düşünürsek, CG'yi elde ederiz.

Kanıt. ABC üçgeninin AC ve BC kenarlarında çaplarda olduğu gibi daireler oluşturuyoruz. A 1 , B 1 , C 1 noktaları bu çemberlere aittir. Bu nedenle, aynı dairesel yayı temel alan açılar olarak ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 kenarları birbirine dik olan açılardır. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 aynı dairesel yayı temel alan açılardır. Bu nedenle, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1 , yani. CC1, B 1 C 1 A 1 açısının açıortayıdır. Benzer şekilde, AA 1 ve BB 1'in B 1 A 1 C 1 ve A 1 B 1 C 1 açılarının ortaortayları olduğu gösterilmiştir.

Köşeleri belirli bir dar açılı üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan dikkate alınan üçgen, klasik ekstrem problemlerden birine cevap verir.

Çözüm. ABC belirli bir dar üçgen olsun. Yanlarında A 1 , B 1 , C 1 noktalarının bulunması gerekir, bunun için A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresi en küçük olacaktır (Şekil 4).

Önce C 1 noktasını sabitleyelim ve A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olduğu A 1 ve B 1 noktalarını arayalım (C 1 noktasının belirli konumu için).

Bunu yapmak için, AC ve BC doğrularına göre C1 noktasına simetrik olan D ve E noktalarını düşünün. O zaman B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E ve dolayısıyla A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresi DB 1 A 1 E çoklu çizgisinin uzunluğuna eşit olacaktır. B 1 , A 1 noktaları DE doğrusu üzerinde yer alıyorsa bu çoklu çizginin uzunluğunun en küçük olacağı açıktır.

Şimdi C1 noktasının konumunu değiştireceğiz ve karşılık gelen A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olduğu bir konum arayacağız.

D noktası AC'ye göre C1'e simetrik olduğundan, CD = CC 1 ve ACD=ACC 1 olur. Benzer şekilde CE=CC 1 ve BCE=BCC 1 . Bu nedenle CDE üçgeni ikizkenardır. Tarafı CC 1'e eşittir. DE tabanı çevreye eşittir Püçgen A 1 B 1 C 1 . DCE açısı, ABC üçgeninin ACB açısının iki katına eşittir ve bu nedenle C1 noktasının konumuna bağlı değildir.

Tepe noktasında belirli bir açıya sahip bir ikizkenar üçgende taban ne kadar küçükse kenar da o kadar küçüktür. Bu nedenle çevrenin en küçük değeri P CC1'in en küçük değeri durumunda elde edilir. Bu değer eğer CC 1 ABC üçgeninin yüksekliği ise alınır. Böylece AB tarafındaki gerekli C1 noktası, C tepesinden çizilen yüksekliğin tabanıdır.

Öncelikle C1 noktasını değil, A1 veya B1 noktasını sabitleyebileceğimizi ve A1 ve B1'in ABC üçgeninin karşılık gelen yüksekliklerinin tabanları olduğunu elde edebileceğimizi unutmayın.

Bundan, belirli bir dar açılı ABC üçgeninde yazılı olan istenen üçgenin, en küçük çevrenin, köşeleri ABC üçgeninin yüksekliklerinin tabanları olan bir üçgen olduğu sonucu çıkar.

Çözüm.Üçgenin açıları 120°'den küçükse Steiner probleminde istenen noktanın Torricelli noktası olduğunu kanıtlayalım.

ABC üçgenini C tepe noktası etrafında 60° açıyla döndürelim, şekil 2. 7. A'B'C üçgenini alın. ABC üçgeninde rastgele bir O noktası alın. Dönerken bir O' noktasına gidecektir. OO'C üçgeni eşkenardır çünkü CO = CO' ve ∟OCO' = 60°, dolayısıyla OC = OO'. Dolayısıyla OA + OB + OC uzunluklarının toplamı, AO + OO' + O'B' çoklu çizgisinin uzunluğuna eşit olacaktır. A, O, O', B' noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alıyorsa bu çoklu çizginin uzunluğunun en küçük değeri alacağı açıktır. Eğer O bir Torricelli noktası ise öyledir. Aslında, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Dolayısıyla A, O, O' noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Benzer şekilde, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120° Dolayısıyla O, O', B' noktaları aynı doğru üzerindedir, yani tüm A, O, O', B' noktaları aynı doğru üzerindedir.

Çözüm

Bir üçgenin geometrisi, temel matematiğin diğer bölümleriyle birlikte, genel olarak matematiğin güzelliğini hissetmeyi mümkün kılar ve birisi için "büyük bilime" giden yolun başlangıcı olabilir.

Geometri muhteşem bir bilimdir. Tarihi bir bin yıldan fazla bir süreyi kapsıyor, ancak onunla her buluşma (hem öğrenciye hem de öğretmene) küçük bir keşfin heyecan verici yeniliğini, yaratıcılığın inanılmaz neşesini bağışlayabilir ve zenginleştirebilir. Aslına bakılırsa, herhangi bir temel geometri problemi özünde bir teoremdir ve çözümü mütevazı (ve bazen çok büyük) bir matematiksel zaferdir.

Tarihsel olarak geometri bir üçgenle başlamıştır, dolayısıyla iki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Okul geometrisi ancak ilginç ve anlamlı hale gelebilir, ancak o zaman üçgenin derin ve kapsamlı bir çalışması ortaya çıktığında uygun geometri haline gelebilir. Şaşırtıcı bir şekilde, üçgen, görünürdeki basitliğine rağmen, tükenmez bir çalışma nesnesidir - zamanımızda bile hiç kimse bir üçgenin tüm özelliklerini incelediğini ve bildiğini söylemeye cesaret edemez.

Bu makalede, bir üçgenin açıortayları, kenarortayları, dik açıortayları ve yükseklikleri ele alınmış, bir üçgenin dikkate değer nokta ve doğrularının sayısı genişletilmiş, teoremler formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır. Bu teoremlerin uygulanmasına ilişkin bir takım problemler çözülmüştür.

Sunulan materyal hem ana derslerde hem de müfredat dışı etkinlikler ayrıca hazırlık aşamasında merkezi test ve matematik olimpiyatları.

Kaynakça

Berger M. Geometri iki cilt halinde - M: Mir, 1984.

Kiselev A.P. Temel geometri. – M.: Aydınlanma, 1980.

Kökseter G.S., Greitzer S.L. Geometri ile yeni karşılaşmalar. – M.: Nauka, 1978.

Latotin L.A., Chebotaravskiy B.D. Matematik 9. - Minsk: Narodnaya Asveta, 2014.

Prasolov V.V. Planimetride sorunlar. - M .: Nauka, 1986. - Bölüm 1.

Scanavi M. I. Matematik. Çözümlerle ilgili sorunlar. - Rostov-na-Donu: Phoenix, 1998.

Sharygin I.F. Geometri problemleri: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.